9.4: Fórmulas de soma para produto e produto para soma
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- Expresse os produtos como somas.
- Expresse somas como produtos.
Uma banda marcha pelo campo criando um som incrível que anima a multidão. Esse som viaja como uma onda que pode ser interpretada usando funções trigonométricas.
Figura\(\PageIndex{1}\): A banda marcial da UCLA (crédito: Eric Chan, Flickr).
Por exemplo,\(\PageIndex{2}\) a Figura representa uma onda sonora para a nota musical A. Nesta seção, investigaremos identidades trigonométricas que são a base de fenômenos cotidianos, como ondas sonoras.
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Figura\(\PageIndex{2}\)
Expressando produtos como somas
Já aprendemos várias fórmulas úteis para expandir ou simplificar expressões trigonométricas, mas às vezes talvez precisemos expressar o produto do cosseno e do seno como uma soma. Podemos usar as fórmulas de produto para soma, que expressam produtos de funções trigonométricas como somas. Vamos investigar primeiro a identidade do cosseno e depois a identidade do seno.
Expressando produtos como somas de cosseno
Podemos derivar a fórmula de produto para soma a partir das identidades de soma e diferença para o cosseno. Se somarmos as duas equações, obtemos:
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \underline{ \cos(\alpha+\beta) }\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\end{align*}\]
Em seguida, dividimos por 2 para isolar o produto dos cossenos:
\[ \cos \alpha \cos \beta= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \label{eq1}\]
- Escreva a fórmula para o produto dos cossenos.
- Substitua os ângulos fornecidos na fórmula.
- Simplifique.
Escreva o seguinte produto de cossenos como uma soma:\(2\cos\left(\dfrac{7x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)\).
Solução
Começamos escrevendo a fórmula para o produto dos cossenos (Equação\ ref {eq1}):
\[ \cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta) ] \nonumber \]
Podemos então substituir os ângulos dados na fórmula e simplificar.
\[\begin{align*} 2 \cos\left(\dfrac{7x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x}{2}\right)&= 2\left(\dfrac{1}{2}\right)[ \cos\left(\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{7x}{2}+\dfrac{3x}{2}\right) ]\\[4pt] &= \cos\left(\dfrac{4x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{10x}{2}\right) \\[4pt] &= \cos 2x+\cos 5x \end{align*}\]
Use a fórmula produto-a-soma (Equação\ ref {eq1}) para escrever o produto como uma soma ou diferença:\(\cos(2\theta)\cos(4\theta)\).
- Resposta
-
\(\dfrac{1}{2}(\cos 6\theta+\cos 2\theta)\)
Expressando o produto do seno e do cosseno como uma soma
Em seguida, derivaremos a fórmula produto-soma para seno e cosseno a partir das fórmulas de soma e diferença para seno. Se somarmos as identidades de soma e diferença, obtemos:
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta&= \cos(\alpha-\beta)\\[4pt] \underline{+ \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}&= \cos(\alpha+\beta)\\[4pt] 2 \cos \alpha \cos \beta&= \cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of cosines:}\\[4pt] \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align*}\]
Expresse o seguinte produto como uma soma contendo apenas seno ou cosseno e nenhum produto:\(\sin(4\theta)\cos(2\theta)\).
Solução
Escreva a fórmula para o produto de seno e cosseno. Em seguida, substitua os valores fornecidos na fórmula e simplifique.
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) ]\\[4pt] \sin(4\theta)\cos(2\theta)&= \dfrac{1}{2}[\sin(4\theta+2\theta)+\sin(4\theta-2\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\sin(6\theta)+\sin(2\theta)] \end{align*}\]
Use a fórmula de produto para soma para escrever o produto como uma soma:\(\sin(x+y)\cos(x−y)\).
- Resposta
-
\(\dfrac{1}{2}(\sin 2x+\sin 2y)\)
Expressando produtos de Sines em termos de cosseno
A expressão do produto dos senos em termos de cosseno também é derivada das identidades de soma e diferença do cosseno. Nesse caso, primeiro subtrairemos as duas fórmulas de cosseno:
\[\begin{align*} \cos(\alpha-\beta)&= \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \underline{-\cos(\alpha+\beta)}&= -(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)\\[4pt] \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)&= 2 \sin \alpha \sin \beta\\[4pt] \text{Then, we divide by 2 to isolate the product of sines:}\\[4pt] \sin \alpha \sin \beta&= \dfrac{1}{2}[ \cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta) ] \end{align*}\]
Da mesma forma, poderíamos expressar o produto dos cossenos em termos de seno ou derivar outras fórmulas do produto à soma.
As fórmulas do produto à soma são as seguintes:
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)]\]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)]\]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)]\]
Escreva\(\cos(3\theta) \cos(5\theta)\) como soma ou diferença.
Solução
Nós temos o produto dos cossenos, então começamos escrevendo a fórmula relacionada. Em seguida, substituímos os ângulos fornecidos e simplificamos.
\[\begin{align*} \cos \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\\[4pt] \cos(3\theta)\cos(5\theta)&= \dfrac{1}{2}[\cos(3\theta-5\theta)+\cos(3\theta+5\theta)]\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}[\cos(2\theta)+\cos(8\theta)]\qquad \text{Use even-odd identity} \end{align*}\]
Use a fórmula do produto à soma para avaliar\(\cos \dfrac{11\pi}{12} \cos \dfrac{\pi}{12}\).
- Resposta
-
\(\dfrac{−2−\sqrt{3}}{4}\)
Expressando somas como produtos
Alguns problemas exigem o inverso do processo que acabamos de usar. As fórmulas da soma do produto nos permitem expressar somas de seno ou cosseno como produtos. Essas fórmulas podem ser derivadas das identidades do produto à soma. Por exemplo, com algumas substituições, podemos derivar a identidade da soma em produto para seno. Deixe\(\dfrac{u+v}{2}=\alpha\)\(\dfrac{u−v}{2}=\beta\) e.
Então,
\[\begin{align*} \alpha+\beta&= \dfrac{u+v}{2}+\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2u}{2}\\[4pt] &= u \end{align*}\]
\[\begin{align*} \alpha-\beta&= \dfrac{u+v}{2}-\dfrac{u-v}{2}\\[4pt] &= \dfrac{2v}{2}\\[4pt] &= v \end{align*}\]
Assim, substituindo\(\alpha\) e\(\beta\) na fórmula produto-soma pelas expressões substitutas, temos
\[\begin{align*} \sin \alpha \cos \beta&= \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\[4pt] \sin \left ( \frac{u+v}{2} \right ) \cos \left ( \frac{u-v}{2} \right )&= \frac{1}{2}[\sin u + \sin v]\qquad \text{Substitute for } (\alpha+\beta) \text{ and } (\alpha\beta)\\[4pt] 2\sin\left(\dfrac{u+v}{2}\right) \cos\left(\dfrac{u-v}{2}\right)&= \sin u+\sin v \end{align*}\]
As outras identidades de soma em produto são derivadas de forma semelhante.
As fórmulas da soma do produto são as seguintes:
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha−\beta}{2}\right)\]
Escreva a seguinte diferença de expressão senoidal como um produto:\(\sin(4\theta)−\sin(2\theta)\).
Solução
Começamos escrevendo a fórmula para a diferença de senos.
\[\begin{align*} \sin \alpha-\sin \beta&= 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\\[4pt] \text {Substitute the values into the formula, and simplify.}\\[4pt] \sin(4\theta)-\sin(2\theta)&= 2\sin\left(\dfrac{4\theta-2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4\theta+2\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2\sin\left(\dfrac{2\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{6\theta}{2}\right)\\[4pt] &= 2 \sin \theta \cos(3\theta) \end{align*}\]
Use a fórmula da soma do produto para escrever a soma como um produto:\(\sin(3\theta)+\sin(\theta)\).
- Resposta
-
\(2\sin(2\theta)\cos(\theta)\)
Avalie\(\cos(15°)−\cos(75°)\). Verifique a resposta com uma calculadora gráfica.
Solução
Começamos escrevendo a fórmula para a diferença de cossenos.
\ [\ begin {align*}
\ cos\ alpha-\ cos\ beta&= -2\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha+\ beta} {2}\ right)\ sin\ left (\ dfrac {\ alpha-\ beta} {2}\ right)\\ [4pt]
\ text {Então substituímos os ângulos fornecidos e simplificamos.}\\ [4pt]
\ cos (15^ {\ circ}) -\ cos (75^ {\ circ}) &= -2\ sin\ left (\ dfrac {15^ {\ circ} +75^ {\ circ}} {2}\ direita)\ sin\ left (\ dfrac {15^ {\ circ} -75^ {\ circ}} {2}\ direita)\\ [4pt]
&= -2\ sin (45^ {\ circ})\ sin (-30^ {\ circ})\\ [4pt]
&= -2\ esquerda (dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ direita)\ esquerda (-\ dfrac {1} {2}\ direita)\\ [4pt]
&=\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}
\ end {align*}\]
Prove a identidade:
\[\dfrac{\cos(4t)−\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}=−\tan t\]
Solução
Começaremos com o lado esquerdo, o lado mais complicado da equação, e reescreveremos a expressão até que ela corresponda ao lado direito.
\[\begin{align*} \dfrac{\cos(4t)-\cos(2t)}{\sin(4t)+\sin(2t)}&= \dfrac{-2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2 \sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right) \cos\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}\\[4pt] &= \dfrac{-2 \sin(3t)\sin t}{2 \sin(3t)\cos t}\\[4pt] &= -\dfrac{\sin t}{\cos t}\\[4pt] &= -\tan t \end{align*}\]
Análise
Lembre-se de que a verificação de identidades trigonométricas tem seu próprio conjunto de regras. Os procedimentos para resolver uma equação não são os mesmos que os procedimentos para verificar uma identidade. Quando provamos uma identidade, escolhemos um lado para trabalhar e fazemos substituições até que esse lado seja transformado no outro lado.
Verifique a identidade\({\csc}^2 \theta−2=\cos(2\theta)\sin2\theta\).
Solução
Para verificar essa equação, estamos reunindo várias identidades. Usaremos a fórmula de ângulo duplo e as identidades recíprocas. Trabalharemos com o lado direito da equação e a reescreveremos até que ela corresponda ao lado esquerdo.
\[\begin{align*} \cos(2\theta)\sin2\theta&= \dfrac{1-2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= \dfrac{1}{{\sin}^2 \theta}-\dfrac{2 {\sin}^2 \theta}{{\sin}^2 \theta}\\[4pt] &= {\csc}^2 \theta - 2 \end{align*}\]
Verifique a identidade\(\tan \theta \cot \theta−{\cos}^2 \theta={\sin}^2 \theta\).
- Resposta
-
\[\begin{align*} \tan \theta \cot \theta-{\cos}^2 \theta&= \left(\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)\left(\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= 1-{\cos}^2 \theta\\[4pt] &= {\sin}^2 \theta \end{align*}\]
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com as identidades produto a soma e soma a produto.
Equações-chave
Fórmulas do produto à soma
\[\cos \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)+\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \cos \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
\[\sin \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha−\beta)−\cos(\alpha+\beta)] \nonumber \]
\[\cos \alpha \sin \beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)−\sin(\alpha−\beta)] \nonumber \]
Fórmulas de soma para produto
\[\sin \alpha+\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\sin \alpha-\sin \beta=2\sin(\dfrac{\alpha-\beta}{2})\cos(\dfrac{\alpha+\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha−\cos \beta=−2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
\[\cos \alpha+\cos \beta=2\sin(\dfrac{\alpha+\beta}{2})\sin(\dfrac{\alpha−\beta}{2}) \nonumber \]
Conceitos-chave
- A partir das identidades de soma e diferença, podemos derivar as fórmulas de produto para soma e as fórmulas de soma para produto para seno e cosseno.
- Podemos usar as fórmulas do produto à soma para reescrever produtos de senos, produtos de cossenos e produtos de seno e cosseno como somas ou diferenças de senos e cossenos. Veja exemplo\(\PageIndex{1}\)\(\PageIndex{2}\), exemplo e exemplo\(\PageIndex{3}\).
- Também podemos derivar as identidades soma-produto a partir das identidades produto-a-soma usando a substituição.
- Podemos usar as fórmulas da soma do produto para reescrever a soma ou diferença de senos, cossenos ou produtos seno e cosseno como produtos de senos e cossenos. Veja o exemplo\(\PageIndex{4}\).
- As expressões trigonométricas geralmente são mais simples de avaliar usando as fórmulas. Veja o exemplo\(\PageIndex{5}\).
- As identidades podem ser verificadas usando outras fórmulas ou convertendo as expressões em senos e cossenos. Para verificar uma identidade, escolhemos o lado mais complicado do sinal de igual e o reescrevemos até que seja transformado no outro lado. Veja o exemplo\(\PageIndex{6}\) e o exemplo\(\PageIndex{7}\).