16.6: Interferência de ondas

objetivos de aprendizagem

• Explicar como as ondas mecânicas são refletidas e transmitidas nos limites de um meio
• Defina os termos interferência e superposição
• Encontre a onda resultante de duas ondas senoidais idênticas que diferem apenas por uma mudança de fase

Até agora, estudamos ondas mecânicas que se propagam continuamente por meio de um meio, mas não discutimos o que acontece quando as ondas encontram o limite do meio ou o que acontece quando uma onda encontra outra onda se propagando pelo mesmo meio. As ondas interagem com os limites do meio e toda ou parte da onda podem ser refletidas. Por exemplo, quando você fica a alguma distância de um penhasco rígido e grita, pode ouvir as ondas sonoras refletidas na superfície rígida como um eco. As ondas também podem interagir com outras ondas que se propagam no mesmo meio. Se você jogar duas pedras em um lago a alguma distância uma da outra, as ondulações circulares que resultam das duas pedras parecem passar uma pela outra à medida que se propagam para fora de onde as pedras entraram na água. Esse fenômeno é conhecido como interferência. Nesta seção, examinamos o que acontece com as ondas que encontram um limite de um meio ou outra onda se propagando no mesmo meio. Veremos que seu comportamento é bem diferente do comportamento de partículas e corpos rígidos. Mais tarde, quando estudarmos a física moderna, veremos que somente na escala dos átomos vemos semelhanças nas propriedades das ondas e partículas.

Reflexão e transmissão

Quando uma onda se propaga por um meio, ela reflete quando encontra o limite do meio. A onda antes de atingir o limite é conhecida como onda incidente. A onda após encontrar o limite é conhecida como onda refletida. A forma como a onda é refletida no limite do meio depende das condições de contorno; as ondas reagirão de forma diferente se o limite do meio estiver fixo no lugar ou se mover livremente (Figura\(\PageIndex{1}\)). Uma condição de limite fixa existe quando o meio em um limite é fixado no lugar para que não possa se mover. Existe uma condição de limite livre quando o meio no limite está livre para se mover.

Figura\(\PageIndex{1}\): (a) Uma extremidade de uma corda é fixada para que ela não possa se mover. Uma onda que se propaga na corda, encontrando essa condição de limite fixa, é refletida 180° (\(\pi\)rad) fora de fase em relação à onda incidente. (b) Uma extremidade de uma corda é amarrada a um anel sólido de massa insignificante em um poste de laboratório sem atrito, onde o anel está livre para se mover. Uma onda que se propaga na corda, encontrando essa condição de limite livre, é refletida na fase 0° (0 rad) em relação à onda.

A figura\(\PageIndex{1a}\) mostra uma condição de limite fixa. Aqui, uma extremidade da corda é fixada em uma parede para que a extremidade da corda seja fixada no lugar e o meio (a corda) no limite não possa se mover. Quando a onda é refletida, a amplitude da via refletida é exatamente igual à amplitude da onda incidente, mas a onda refletida é refletida (\(180^o \pi\)rad) fora de fase em relação à onda incidente. A mudança de fase pode ser explicada usando a terceira lei de Newton: Lembre-se de que a terceira lei de Newton afirma que quando o objeto A exerce uma força sobre o objeto B, o objeto B exerce uma força igual e oposta no objeto A. Quando a onda incidente encontra a parede, a corda exerce uma força ascendente na parede e a parede reage exercendo uma força igual e oposta na corda. A reflexão em um limite fixo é invertida. Observe que a figura mostra uma crista da onda incidente refletida como uma calha. Se a onda incidente fosse uma depressão, a onda refletida seria uma crista.

A figura\(\PageIndex{1b}\) mostra uma condição de limite livre. Aqui, uma extremidade da corda é amarrada a um anel sólido de massa insignificante em um poste sem atrito, então a extremidade da corda está livre para se mover para cima e para baixo. Quando a onda incidente encontra o limite do meio, ela também é refletida. No caso de uma condição de limite livre, a onda refletida está em fase em relação à onda incidente. Nesse caso, a onda encontra o limite livre aplicando uma força ascendente no anel, acelerando o anel para cima. O anel viaja até a altura máxima igual à amplitude da onda e depois acelera em direção à posição de equilíbrio devido à tensão na corda. A figura mostra a crista de uma onda incidente sendo refletida em fase em relação à onda incidente como uma crista. Se a onda incidente fosse uma depressão, a onda refletida também seria uma calha. A amplitude da onda refletida seria igual à amplitude da onda incidente.

Em algumas situações, o limite do meio não é fixo nem livre. Considere a Figura\(\PageIndex{2a}\), onde uma corda de baixa densidade de massa linear é anexada a uma corda de maior densidade de massa linear. Nesse caso, a onda refletida está fora de fase em relação à onda incidente. Há também uma onda transmitida que está em fase em relação à onda incidente. Tanto as ondas transmitidas quanto as refletidas têm amplitudes menores que a amplitude da onda incidente. Se a tensão for a mesma nas duas cordas, a velocidade da onda será maior na corda com a menor densidade de massa linear.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ondas viajando ao longo de dois tipos de cordas: uma corda grossa com alta densidade linear e uma corda fina com baixa densidade linear. Ambas as cordas estão sob a mesma tensão, então uma onda se move mais rápido na corda de baixa densidade do que na corda de alta densidade. (a) Uma onda que se move de um meio de baixa velocidade para um meio de alta velocidade resulta em uma onda refletida que está 180° (\(\pi\)rad) fora de fase em relação ao pulso incidente (ou onda) e em uma onda transmitida que está em fase com a onda incidente. (b) Quando uma onda se move de um meio de baixa velocidade para um meio de alta velocidade, tanto a onda refletida quanto a transmitida estão em fase em relação à onda incidente.

\(\PageIndex{2b}\)mostra que uma corda de alta densidade de massa linear é anexada a uma corda de menor densidade linear. Nesse caso, a onda refletida está em fase em relação à onda incidente. Há também uma onda transmitida que está em fase em relação à onda incidente. Tanto as ondas incidentes quanto as refletidas têm amplitudes menores que a amplitude da onda incidente. Aqui você pode notar que, se a tensão for a mesma nas duas cordas, a velocidade da onda é maior na corda com a menor densidade de massa linear.

Superposição e interferência

A maioria das ondas não parece muito simples. Ondas complexas são mais interessantes, até bonitas, mas parecem formidáveis. As ondas mecânicas mais interessantes consistem em uma combinação de duas ou mais ondas itinerantes que se propagam no mesmo meio. O princípio da superposição pode ser usado para analisar a combinação de ondas.

Considere dois pulsos simples da mesma amplitude se movendo um em direção ao outro no mesmo meio, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). Eventualmente, as ondas se sobrepõem, produzindo uma onda que tem o dobro da amplitude e depois continuam sem serem afetadas pelo encontro. Diz-se que os pulsos interferem, e esse fenômeno é conhecido como interferência.

Figura\(\PageIndex{3}\): Dois pulsos que se movem um em direção ao outro experimentam interferência. O termo interferência se refere ao que acontece quando duas ondas se sobrepõem.

Para analisar a interferência de duas ou mais ondas, usamos o princípio da superposição. Para ondas mecânicas, o princípio da superposição afirma que, se duas ou mais ondas itinerantes se combinarem no mesmo ponto, a posição resultante do elemento de massa do meio, nesse ponto, é a soma algébrica da posição devido às ondas individuais. Essa propriedade é exibida por muitas ondas observadas, como ondas em uma corda, ondas sonoras e ondas de água superficial. As ondas eletromagnéticas também obedecem ao princípio da superposição, mas os campos elétrico e magnético da onda combinada são adicionados em vez do deslocamento do meio. As ondas que obedecem ao princípio da superposição são ondas lineares; as ondas que não obedecem ao princípio da superposição são consideradas ondas não lineares. Neste capítulo, lidamos com ondas lineares, em particular, ondas senoidais.

O princípio da superposição pode ser entendido considerando a equação linear da onda. Em Matemática de uma Onda, definimos uma onda linear como uma onda cuja representação matemática obedece à equação linear da onda. Para uma onda transversal em uma corda com uma força de restauração elástica, a equação da onda linear é

\[\frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} \ldotp\]

Qualquer função de onda y (x, t) = y (x vt), onde o argumento da função é linear (x vt) é uma solução para a equação de onda linear e é uma função de onda linear. Se as funções de onda y ₁ (x, t) e y ₂ (x, t) são soluções para a equação de onda linear, a soma das duas funções y ₁ (x, t) + y ₂ (x, t) também é uma solução para a equação de onda linear. As ondas mecânicas que obedecem à superposição são normalmente restritas a ondas com amplitudes pequenas em relação aos seus comprimentos de onda. Se a amplitude for muito grande, o meio é distorcido além da região onde a força de restauração do meio é linear.

As ondas podem interferir de forma construtiva ou destrutiva. A figura\(\PageIndex{4}\) mostra duas ondas senoidais idênticas que chegam ao mesmo ponto exatamente na fase. Figura\(\PageIndex{4a}\) e\(\PageIndex{4b}\) mostra as duas ondas individuais, a Figura\(\PageIndex{4c}\) mostra a onda resultante que resulta da soma algébrica das duas ondas lineares. As cristas das duas ondas estão alinhadas com precisão, assim como as calhas. Essa superposição produz interferência construtiva. Como os distúrbios aumentam, a interferência construtiva produz uma onda que tem o dobro da amplitude das ondas individuais, mas tem o mesmo comprimento de onda.

Figura\(\PageIndex{4}\): A interferência construtiva de duas ondas idênticas produz uma onda com o dobro da amplitude, mas com o mesmo comprimento de onda.

A figura\(\PageIndex{5}\) mostra duas ondas idênticas que chegam exatamente 180° fora de fase, produzindo interferência destrutiva. Figura\(\PageIndex{5a}\) e\(\PageIndex{5b}\) mostre as ondas individuais, e a Figura\(\PageIndex{5c}\) mostra a superposição das duas ondas. Como os vales de uma onda adicionam a crista da outra onda, a amplitude resultante é zero para interferência destrutiva — as ondas se cancelam completamente.

Figura\(\PageIndex{5}\): A interferência destrutiva de duas ondas idênticas, uma com mudança de fase de 180° (\(\pi\)rad), produz amplitude zero ou cancelamento completo.

Quando ondas lineares interferem, a onda resultante é apenas a soma algébrica das ondas individuais, conforme declarado no princípio da superposição. A figura\(\PageIndex{6}\) mostra duas ondas (vermelha e azul) e a onda resultante (preta). A onda resultante é a soma algébrica das duas ondas individuais.

Figura\(\PageIndex{6}\): Quando duas ondas lineares no mesmo meio interferem, a altura da onda resultante é a soma das alturas das ondas individuais, tomadas ponto por ponto. Este gráfico mostra duas ondas (vermelha e azul) somadas, junto com a onda resultante (preta). Esses gráficos representam a altura da onda em cada ponto. As ondas podem ser qualquer onda linear, incluindo ondulações em um lago, distúrbios em uma corda, som ou ondas eletromagnéticas.

A superposição da maioria das ondas produz uma combinação de interferência construtiva e destrutiva e pode variar de um lugar para outro e de tempos em tempos. O som de um aparelho de som, por exemplo, pode ser alto em um local e baixo em outro. O volume variável significa que as ondas sonoras aumentam parcialmente de forma construtiva e parcialmente destrutiva em locais diferentes. Um aparelho de som tem pelo menos dois alto-falantes criando ondas sonoras, e as ondas podem ser refletidas nas paredes. Todas essas ondas interferem, e a onda resultante é a superposição das ondas.

Mostramos vários exemplos da superposição de ondas que são semelhantes. \(\PageIndex{7}\)A figura ilustra um exemplo da superposição de duas ondas diferentes. Aqui, novamente, os distúrbios se somam, produzindo uma onda resultante.

Figura\(\PageIndex{7}\): A superposição de ondas não idênticas exibe interferência construtiva e destrutiva.

Às vezes, quando duas ou mais ondas mecânicas interferem, o padrão produzido pela onda resultante pode ser rico em complexidade, algumas sem padrões facilmente discerníveis. Por exemplo, traçar a onda sonora de sua música favorita pode parecer bastante complexo e é a superposição das ondas sonoras individuais de muitos instrumentos; é a complexidade que torna a música interessante e vale a pena ouvir. Outras vezes, as ondas podem interferir e produzir fenômenos interessantes, que são complexos em sua aparência, mas belos na simplicidade do princípio físico da superposição, que formou a onda resultante. Um exemplo é o fenômeno conhecido como ondas estacionárias, produzido por duas ondas idênticas se movendo em direções diferentes. Examinaremos mais de perto esse fenômeno na próxima seção.

Simulação

Experimente esta simulação para criar ondas com uma torneira pingando, alto-falante de áudio ou laser! Adicione uma segunda fonte ou um par de fendas para criar um padrão de interferência. Você pode observar uma fonte ou duas fontes. Usando duas fontes, você pode observar os padrões de interferência que resultam da variação das frequências e das amplitudes das fontes.

Superposição de ondas senoidais que diferem por uma mudança de fase

Muitos exemplos em física consistem em duas ondas senoidais que são idênticas em amplitude, número de onda e frequência angular, mas diferem por uma mudança de fase:

\[\begin{split} y_{1} (x,t) & = A \sin (kx - \omega t + \phi), \\ y_{2} (x,t) & = A \sin (kx - \omega t) \ldotp \end{split}\]

Quando essas duas ondas existem no mesmo meio, a onda resultante da superposição das duas ondas individuais é a soma das duas ondas individuais:

\[y_{R} (x,t) = y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi) + A \sin (kx - \omega t) \ldotp\]

A onda resultante pode ser melhor compreendida usando a identidade trigonométrica:

\[\sin u + \sin v = 2 \sin \left(\dfrac{u + v}{2}\right) \cos \left(\dfrac{u - v}{2}\right),\]

onde u = kx -\(\omega\) t +\(\phi\) e v = kx -\(\omega\) t. A onda resultante se torna

\[\begin{split} y_{R} (x,t) & = y_{1} (x,t) + y_{2} (x,t) = A \sin (kx - \omega t + \phi) + A \sin (kx - \omega t) \\ & = 2A \sin \left(\dfrac{(kx - \omega t + \phi) + (kx - \omega t)}{2}\right) \cos \left(\dfrac{(kx - \omega t + \phi) - (kx - \omega t)}{2}\right) \\ & = 2A \sin \left(kx - \omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\phi}{2}\right) \ldotp \end{split}\]

Essa equação geralmente é escrita como

\[y_{R} (x,t) = 2A \cos \left(\dfrac{\phi}{2}\right) \sin \left(kx - \omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \ldotp \label{16.13}\]

A onda resultante tem o mesmo número de onda e frequência angular, uma amplitude de A _R = [2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)] e uma mudança de fase igual à metade da mudança de fase original. Exemplos de ondas que diferem apenas em uma mudança de fase são mostrados na Figura\(\PageIndex{7}\).

Figura\(\PageIndex{8}\): Superposição de duas ondas com amplitudes, comprimentos de onda e frequência idênticos, mas que diferem em uma mudança de fase. A onda vermelha é definida pela função de onda y ₁ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t) e a onda azul é definida pela função de onda y ₂ (x, t) = A sin (kx −\(\omega\) t +\(\phi\)). A linha preta mostra o resultado da adição das duas ondas. A diferença de fase entre as duas ondas é (a) 0,00 rad, (b)\(\frac{\pi}{2}\) rad, (c)\(\pi\) rad e (d)\(\frac{3 \pi}{2}\) rad.

Cada uma das ondas vermelha e azul tem a mesma amplitude, número de onda e frequência angular e diferem apenas em uma mudança de fase. Portanto, eles têm o mesmo período, comprimento de onda e frequência. A onda verde é o resultado da superposição das duas ondas. Quando as duas ondas têm uma diferença de fase zero, as ondas estão em fase e a onda resultante tem o mesmo número de onda e frequência angular e uma amplitude igual ao dobro das amplitudes individuais (parte (a)). Isso é interferência construtiva. Se a diferença de fase for de 180°, as ondas interferem na interferência destrutiva (parte (c)). A onda resultante tem uma amplitude de zero. Qualquer outra diferença de fase resulta em uma onda com o mesmo número de onda e frequência angular das duas ondas incidentes, mas com uma mudança de fase\(\frac{\phi}{2}\) e uma amplitude igual a 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\). Os exemplos são mostrados nas partes (b) e (d).