18.13: Gravitação
- Page ID
- 184952
Verifique sua compreensão
13.1. A força da gravidade em cada objeto aumenta com o quadrado da distância inversa à medida que eles caem juntos e, portanto, a aceleração também. Por exemplo, se a distância for reduzida pela metade, a força e a aceleração serão quadruplicadas. Nossa média é precisa apenas para uma aceleração linearmente crescente, enquanto a aceleração realmente aumenta a uma taxa maior. Portanto, nossa velocidade calculada é muito pequena. A partir da terceira lei de Newton (forças de ação e reação), a força da gravidade entre quaisquer dois objetos deve ser a mesma. Mas as acelerações não acontecerão se eles tiverem massas diferentes.
13.2. Os edifícios mais altos do mundo têm todos menos de 1 km. Como g é proporcional à distância quadrada do centro da Terra, uma proporção simples mostra que a mudança em g a 1 km acima da superfície da Terra é menor que 0,0001%. Não haveria necessidade de considerar isso no projeto estrutural.
13,3. O valor de g cai cerca de 10% com essa mudança de altura. Portanto,\(\Delta\) U = mg (y 2 − y 1) fornecerá um valor muito grande. Se usarmos g = 9,80 m/s, obteremos\(\Delta\) U = mg (y 2 − y 1) = 3,53 x 10 10 J, o que é cerca de 6% maior do que o encontrado com o método correto.
13,4. A sonda deve superar a atração gravitacional da Terra e do Sol. No segundo cálculo do nosso exemplo, encontramos a velocidade necessária para escapar do Sol de uma distância da órbita da Terra, não da própria Terra. A maneira correta de encontrar esse valor é começar com a equação de energia, Equação 13.3.2, na qual você incluiria um termo de energia potencial para a Terra e o Sol.
13,5. Você muda a direção da sua velocidade com uma força que é perpendicular à velocidade em todos os pontos. Na verdade, você deve ajustar constantemente os propulsores, criando uma força centrípeta até que seu momento mude de tangencial para radial. Um diagrama vetorial de momento simples mostra que a mudança líquida no momento é 2 vezes a magnitude do próprio momento. Isso acaba sendo uma forma muito ineficiente de chegar a Marte. Discutimos a forma mais eficiente nas Leis do Movimento Planetário de Kepler.
13,6. Na Equação 13.7, o raio aparece no denominador dentro da raiz quadrada. Portanto, o raio deve aumentar em um fator de 4, para diminuir a velocidade orbital em um fator de 2. A circunferência da órbita também aumentou por esse fator de 4 e, portanto, com metade da velocidade orbital, o período deve ser 8 vezes maior. Isso também pode ser visto diretamente na Equação 13.4.1.
13,7. A suposição é que o objeto em órbita é muito menos massivo do que o corpo que está orbitando. Isso realmente não se justifica no caso da Lua e da Terra. Tanto a Terra quanto a Lua orbitam em torno de seu centro de massa comum. Abordaremos esse problema no próximo exemplo.
13,8. As estrelas no “interior” de cada galáxia estarão mais próximas da outra galáxia e, portanto, sentirão uma força gravitacional maior do que as do lado de fora. Consequentemente, eles terão uma aceleração maior. Mesmo sem essa diferença de força, as estrelas internas orbitariam em um raio menor e, portanto, desenvolveriam um alongamento ou alongamento de cada galáxia. A diferença de força só aumenta esse efeito.
13,9. O semi-eixo maior da órbita altamente elíptica do cometa Halley é 17,8 UA e é a média do periélio e do afélio. Isso fica entre os raios orbitais de 9,5 UA e 19 UA para Saturno e Urano, respectivamente. O raio de uma órbita circular é o mesmo do semi-eixo maior e, como o período aumenta com o aumento do semi-eixo maior, o fato de o período de Halley estar entre os períodos de Saturno e Urano é esperado.
13,10. Considere a última equação acima. Os valores de r 1 e r 2 permanecem quase os mesmos, mas o diâmetro da Lua, (r 2 − r 1), é um quarto do da Terra. Portanto, as forças de maré na Lua são cerca de um quarto das maiores da Terra.
13,11. Dada a incrível densidade necessária para forçar um corpo do tamanho da Terra a se tornar um buraco negro, não esperamos ver buracos negros tão pequenos. Mesmo um corpo com a massa do nosso Sol teria que ser comprimido por um fator de 80 além do de uma estrela de nêutrons. Acredita-se que estrelas desse tamanho não possam se tornar buracos negros. No entanto, para estrelas com poucas massas solares, acredita-se que o colapso gravitacional no final da vida de uma estrela possa formar um buraco negro. Como discutiremos mais adiante, agora acredita-se que os buracos negros sejam comuns no centro das galáxias. Esses buracos negros galácticos normalmente contêm a massa de muitos milhões de estrelas.
Perguntas conceituais
1. A verdade definitiva é a verificação experimental. A teoria de campo foi desenvolvida para ajudar a explicar como a força é exercida sem que objetos entrem em contato tanto com a gravidade quanto com as forças eletromagnéticas que agem na velocidade da luz. Foi somente a partir do século XX que conseguimos medir que a força não é transmitida imediatamente.
3. A aceleração centrípeta não é direcionada ao longo da força gravitacional e, portanto, a linha correta do edifício (ou seja, a linha de prumo) não é direcionada para o centro da Terra. Mas os engenheiros usam um prumo ou um transporte público, os quais respondem tanto à direção da gravidade quanto à aceleração. Nenhuma consideração especial sobre sua localização na Terra precisa ser feita.
5. À medida que avançamos para órbitas maiores, a mudança na energia potencial aumenta, enquanto a velocidade orbital diminui. Portanto, a proporção é mais alta perto da superfície da Terra (tecnicamente infinita se orbitarmos na superfície da Terra sem mudança de elevação), movendo-se para zero à medida que chegamos infinitamente longe.
7. O período da órbita deve ser de 24 horas. Além disso, o satélite deve estar localizado em uma órbita equatorial e orbitando na mesma direção da rotação da Terra. Todos os três critérios devem ser atendidos para que o satélite permaneça em uma posição em relação à superfície da Terra. Pelo menos três satélites são necessários, pois dois em lados opostos da Terra não conseguem se comunicar entre si. (Isso não é tecnicamente verdade, pois um comprimento de onda pode ser escolhido que forneça difração suficiente. Mas seria totalmente impraticável.)
9. A velocidade é maior quando o satélite está mais próximo da grande massa e menos onde está mais distante — na periapse e na apoapse, respectivamente. É a conservação do momento angular que rege essa relação. Mas também pode ser obtida a partir da conservação de energia, a energia cinética deve ser maior onde a energia potencial gravitacional é a menor (mais negativa). A força e, portanto, a aceleração, são sempre direcionadas para M no diagrama, e a velocidade é sempre tangente ao caminho em todos os pontos. O vetor de aceleração tem um componente tangencial ao longo da direção da velocidade na localização superior do eixo y; portanto, o satélite está acelerando. Exatamente o oposto é verdadeiro na posição inferior.
11. O feixe de laser atingirá a parede mais distante em uma elevação mais baixa do que a esquerda, à medida que o piso está acelerando para cima. Em relação ao laboratório, o raio laser “cai”. Então, esperaríamos que isso acontecesse em um campo gravitacional. A massa de luz, ou mesmo um objeto com massa, não é relevante.
Problemas
13. 7,4 x 10 −8 N
15. a. 7,01 x 10 −7 N
b. A massa de Júpiter é m J = 1,90 x 10 27 kg, F J = 1,35 x 10 −6 N,\(\frac{F_{f}}{F_{J}}\) = 0,521
17. a. 9,25 x 10 −6 N
b. Não muito, pois a ISS nem sequer é simétrica, muito menos esfericamente simétrica.
19. a. 1,41 x 10 −15 m/s 2
b. 1,69 x 10 −4 m/s 2
21. a. 1,62 m/s 2
b. 3,75 m/s 2
23. a. 147 N
b. 25,5 MB
c. 15 kg
d. 0
e. 15 kg
25. 12 m/s 2
27. \(\frac{3}{2}\)R E
29. 5000 m/s
31. 1440 m/s
33. 11 km/s
35. a. 5,85 x 10 10 J
b. −5,85 x 10 10 J; Não. Ele assume que a energia cinética é recuperável. Isso nem seria razoável se tivéssemos um elevador entre a Terra e a Lua.
37. a. 0,25
b. 0,125
39. a. 5,08 x 10 3 km
b. Isso é menor que o raio da Terra.
41. 1,89 x 10 27 kg
43. a. 4,01 x 10 13 kg
b. O satélite deve estar fora do raio do asteróide, então não pode ser maior do que isso. Se fosse desse tamanho, sua densidade seria de cerca de 1200 kg/m 3. Isso está um pouco acima da água, então isso parece bastante razoável.
45. a. 1,66 x 10 −10 m/s 2; Sim, a aceleração centrípeta é tão pequena que sustenta a alegação de que um quadro de referência quase inercial pode ser localizado no Sol. b. 2,17 x 10 5 m/s
47. 1,98 x 10 30 kg; Os valores são os mesmos em 0,05%.
49. Compare a Equação 13.7 e a Equação 13.5.5 para ver que elas diferem apenas porque o raio circular, r, é substituído pelo semi-eixo maior, a. Portanto, o raio médio é metade da soma do afélio e do periélio, o mesmo que o semi-eixo maior.
51. O semi-eixo maior, 3,78 UA, é encontrado a partir da equação do período. Isso é metade da soma do afélio e do periélio, dando uma distância do afélio de 4,95 UA.
53. 1,75 anos
55. 19.800 N; isso claramente não sobrevive
57. 1,19 x 10 7 km
Problemas adicionais
59. a. 1,85 x 10 14 N
b. Não faça isso!
61. 1,49 x 10 8 km
63. O valor de g para este planeta é 2,4 m/s 2, que é cerca de um quarto do da Terra. Então, eles são saltadores de altura fracos.
65. No Pólo Norte, 983 N; no equador, 980 N
67. a. A velocidade de escape ainda é de 43,6 km/s. Ao se lançar da Terra na direção da velocidade tangencial da Terra, você precisa de 43,4 − 29,8 = 13,8 km/s em relação à Terra.
b. A energia total é zero e a trajetória é uma parábola.
69. 44,9 km/s
71. a. 1,3 x 10 x 7 m
b. 1,56 x 10 10 J; −3,12 x 10 10 J; −1,56 x 10 10 J
73. a. 6,24 x 10 3 s ou cerca de 1,7 horas. Isso estava usando o diâmetro médio de 520 km.
b. Vesta claramente não é muito esférica, então você precisaria estar acima da maior dimensão, quase 580 km. Mais importante ainda, a natureza não esférica perturbaria a órbita muito rapidamente, então esse cálculo não seria muito preciso nem mesmo para uma órbita.
75. a. 323 km/s
b. Não, você precisa apenas da diferença entre a velocidade orbital do sistema solar e a velocidade de escape, então cerca de 323 − 228 = 95 km/s.
77. Definindo e = 1, temos\(\frac{\alpha}{r}\) = 1 + cos\(\theta\) →\(\alpha\) = r + rcos\(\theta\) = r + x; portanto, r 2 = x 2 + y 2 = (\(\alpha\)− x) 2. Expanda e colete para mostrar x =\(\frac{1}{−2 \alpha}\) y 2 +\(\frac{\alpha}{2}\).
79. Substitua diretamente na equação de energia usando pv p = qv q da conservação do momento angular e resolva para v p.
Problemas de desafio
81. g =\(\frac{4}{3}\) G\(\rho \pi\) r → F = mg = [\(\frac{4}{3}\)Gm\(\rho \pi\)] r, e de F = m\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\), obtemos\(\frac{d^{2} r}{dt^{2}}\) = [\(\frac{4}{3}\)G\(\rho \pi\)] r onde está o primeiro termo\(\omega^{2}\). Então T =\(\frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4G \rho \pi}}\) e se substituirmos\(\rho\) =\(\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}\), obtemos a mesma expressão do período de órbita R.
83. Usando a massa do Sol e o raio orbital da Terra, a equação fornece 2,24 x 10 15 m 2 /s. O valor de\(\frac{\pi R_{ES}^{2}}{1\; year}\) dá o mesmo valor.
85. \(\Delta\)U = U f − U i = −\(\frac{GM_{E} m}{r_{f}} + \frac{GM_{E} m}{r_{i}}\) = GM E m\(\left(\dfrac{r_{f} − r_{i}}{r_{f} r_{i}}\right)\) onde h = r f − r i. Se h << R E, então r f r i ≈ R E 2, e após a substituição, temos\(\Delta\) U = GM E m\(\left(\dfrac{h}{R_{E}^{2}}\right)\) = mh,\(\left(\dfrac{GM_{E}}{R_{E}^{2}}\right)\) onde reconhecemos a expressão com parênteses como a definição de g.
87. a. Encontre a diferença de força, $$F_ {tidal} =\ frac {2Gmm} {R^ {3}}\ Delta r;\]
b. Para o caso apresentado, usando o raio de Schwarzschild de um problema anterior, temos uma força de maré de 9,5 x 10 −3 N. Isso nem será notado!