13.2: Lei da Gravitação Universal de Newton
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- Liste os marcos significativos na história da gravitação
- Calcule a força gravitacional entre duas massas pontuais
- Estime a força gravitacional entre coleções de massa
Primeiro, revisamos a história do estudo da gravitação, com ênfase nos fenômenos que, por milhares de anos, inspiraram filósofos e cientistas a buscar uma explicação. Em seguida, examinamos a forma mais simples da lei da gravitação universal de Newton e como aplicá-la.
A história da gravitação
Os primeiros filósofos se perguntaram por que os objetos naturalmente tendem a cair no chão. Aristóteles (384—322 a.C.) acreditava que era da natureza das rochas buscar a Terra e a natureza do fogo buscar os céus. Brahmagupta (598 ~ 665 EC) postulou que a Terra era uma esfera e que os objetos possuíam uma afinidade natural por ela, caindo em direção ao centro de onde quer que estivessem localizados.
Os movimentos do Sol, da nossa Lua e dos planetas também foram estudados por milhares de anos. Esses movimentos foram descritos com incrível precisão por Ptolomeu (90-168 EC), cujo método de epiciclos descreveu os caminhos dos planetas como círculos dentro dos círculos. No entanto, há poucas evidências de que alguém tenha conectado o movimento de corpos astronômicos com o movimento de objetos caindo na Terra — até o século XVII.
Nicolaus Copernicus (1473-1543) é geralmente considerado o primeiro a desafiar o sistema geocêntrico (centrado na Terra) de Ptolomeu e sugerir um sistema heliocêntrico, no qual o Sol está no centro do sistema solar. Essa ideia foi apoiada pelas medições incrivelmente precisas a olho nu dos movimentos planetários de Tycho Brahe e sua análise por Johannes Kepler e Galileo Galilei. Kepler mostrou que o movimento de cada planeta é uma elipse (a primeira de suas três leis, discutida nas Leis do Movimento Planetário de Kepler), e Robert Hooke (o mesmo Hooke que formulou a lei de Hooke para as nascentes) sugeriu intuitivamente que esses movimentos se devem ao fato de os planetas serem atraídos pelo Sol. No entanto, foi Isaac Newton quem conectou a aceleração de objetos próximos à superfície da Terra com a aceleração centrípeta da Lua em sua órbita em torno da Terra.
Finalmente, na Teoria da Gravidade de Einstein, examinamos a teoria da relatividade geral proposta por Albert Einstein em 1916. Sua teoria vem de uma perspectiva muito diferente, na qual a gravidade é uma manifestação da distorção de massa no espaço e no tempo. As consequências de sua teoria deram origem a muitas previsões notáveis, essencialmente todas confirmadas ao longo das muitas décadas após a publicação da teoria (incluindo a medição de 2015 das ondas gravitacionais da fusão de dois buracos negros).
Lei da Gravitação Universal de Newton
Newton observou que objetos na superfície da Terra (portanto, a uma distância de R E do centro da Terra) têm uma aceleração de g, mas a Lua, a uma distância de cerca de 60 R E, tem uma aceleração centrípeta cerca de (60) 2 vezes menor que g. Ele poderia explicar isso postulando que existe uma força entre quaisquer dois objetos, cuja magnitude é dada pelo produto das duas massas dividido pelo quadrado da distância entre elas. Agora sabemos que essa lei do quadrado inverso é onipresente na natureza, uma função da geometria para fontes pontuais. A força de qualquer fonte à distância r é espalhada pela superfície de uma esfera centrada em torno da massa. A área da superfície dessa esfera é proporcional a r 2. Nos capítulos posteriores, vemos essa mesma forma na força eletromagnética.
A lei da gravitação de Newton pode ser expressa como
\[\vec{F}_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{r}_{12} \label{13.1}\]
onde\(\vec{F}_{12}\) é a força sobre o objeto 1 exercida pelo objeto 2 e\(\hat{r}_{12}\) é um vetor unitário que aponta do objeto 1 em direção ao objeto 2.
Conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\), o\(\vec{F}_{12}\) vetor aponta do objeto 1 em direção ao objeto 2 e, portanto, representa uma força atrativa entre os objetos. A força igual, mas oposta,\(\vec{F}_{21}\) é a força sobre o objeto 2 exercida pelo objeto 1.
Essas forças iguais, mas opostas, refletem a terceira lei de Newton, que discutimos anteriormente. Observe que, estritamente falando, a Equação\ ref {13.1} se aplica a massas pontuais — toda a massa está localizada em um ponto. Mas isso se aplica igualmente a qualquer objeto esfericamente simétrico, onde r é a distância entre os centros de massa desses objetos. Em muitos casos, funciona razoavelmente bem para objetos não simétricos, se sua separação for grande em comparação com seu tamanho, e considerarmos r a distância entre o centro de massa de cada corpo.
O experimento Cavendish
Um século depois de Newton publicar sua lei da gravitação universal, Henry Cavendish determinou a constante de proporcionalidade G realizando um experimento meticuloso. Ele construiu um dispositivo semelhante ao mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\), no qual pequenas massas são suspensas por um fio. Uma vez em equilíbrio, duas massas fixas maiores são colocadas simetricamente perto das menores. A atração gravitacional cria uma torção (torção) no fio de suporte que pode ser medida.
A constante G é chamada de constante gravitacional universal e Cavendish determinou que ela é G = 6,67 x 10 −11 N • m 2 /kg 2. A palavra “universal” indica que os cientistas pensam que essa constante se aplica a massas de qualquer composição e que é a mesma em todo o Universo. O valor de G é um número incrivelmente pequeno, mostrando que a força da gravidade é muito fraca. A atração entre massas tão pequenas quanto nossos corpos, ou mesmo objetos do tamanho de arranha-céus, é incrivelmente pequena. Por exemplo, duas massas de 1,0 kg localizadas a 1,0 metro de distância exercem uma força de 6,7 x 10 −11 N uma sobre a outra. Esse é o peso de um grão de pólen típico.
Embora a gravidade seja a mais fraca das quatro forças fundamentais da natureza, sua natureza atraente é o que nos prende à Terra, faz com que os planetas orbitem o Sol e o Sol orbite nossa galáxia e une galáxias em aglomerados, variando de alguns a milhões. A gravidade é a força que forma o Universo.
Para determinar o movimento causado pela força gravitacional, siga estas etapas:
- Identifique as duas massas, uma ou ambas, para as quais você deseja encontrar a força gravitacional.
- Desenhe um diagrama de corpo livre, esboçando a força atuando em cada massa e indicando a distância entre seus centros de massa.
- Aplique a segunda lei do movimento de Newton a cada massa para determinar como ela se moverá.
Considere dois veículos de carga útil Soyuz quase esféricos, em órbita ao redor da Terra, cada um com massa de 9000 kg e diâmetro de 4,0 m. Eles estão inicialmente em repouso um em relação ao outro, 10,0 m do centro ao centro. (Como veremos nas Leis do Movimento Planetário de Kepler, ambas orbitam a Terra na mesma velocidade e interagem quase da mesma forma como se estivessem isoladas no espaço profundo.) Determine a força gravitacional entre eles e sua aceleração inicial. Faça uma estimativa de quanto tempo eles demoram para ficarem juntos e com que rapidez eles estão se movendo com o impacto.
Estratégia
Usamos a lei da gravitação de Newton para determinar a força entre elas e, em seguida, usamos a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração de cada uma. Para a estimativa, assumimos que essa aceleração é constante e usamos as equações de aceleração constante do Movimento ao longo de uma linha reta para encontrar o tempo e a velocidade da colisão.
Solução
A magnitude da força é
\[|\vec{F}_{12}| = F_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = (6.67 \times 10^{-11}\; N\; \cdotp m^{2}/kg^{2}) \frac{(9000\; kg)(9000\; kg)}{(10\; m)^{2}} = 5.4 \times 10^{-5}\; N \ldotp\]
A aceleração inicial de cada carga útil é
\[a = \frac{F}{m} = \frac{5.4 \times 10^{-5}\; N}{9000\; kg} = 6.0 \times 10^{-9}\; m/s^{2} \ldotp\]
Os veículos têm 4,0 m de diâmetro, então os veículos se movem de 10,0 m para 4,0 m de distância, ou uma distância de 3,0 m cada. Um cálculo semelhante ao acima, para quando os veículos estão separados por 4,0 m, produz uma aceleração de 3,8 x 10 −8 m/s 2, e a média desses dois valores é 2,2 x 10 −8 m/s 2. Se assumirmos uma aceleração constante desse valor e eles começarem do repouso, os veículos colidem com a velocidade dada por
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a (x - x_{0}),\; where\; v_{0} = 0,\]
então
\[v = \sqrt{2(2.2 \times 10^{-9}\; N)(3.0\; m)} = 3.6 \times 10^{-4}\; m/s \ldotp\]
Usamos v = v 0 + at para encontrar t = v/a = 1,7 x 10 4 s ou cerca de 4,6 horas.
Significância
Esses cálculos — incluindo a força inicial — são apenas estimativas, já que os veículos provavelmente não são esfericamente simétricos. Mas você pode ver que a força é incrivelmente pequena. Os astronautas devem se amarrar ao trabalhar fora até mesmo da enorme Estação Espacial Internacional (ISS), como na Figura\(\PageIndex{3}\), porque a atração gravitacional não pode salvá-los nem mesmo do menor empurrão da estação.
O que acontece com a força e a aceleração quando os veículos caem juntos? Qual será nossa estimativa da velocidade em uma colisão maior ou menor do que a velocidade real? E, finalmente, o que aconteceria se as massas não fossem idênticas? A força em cada um seria a mesma ou diferente? E quanto às acelerações deles?
- Resposta
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O efeito da gravidade entre dois objetos com massas na ordem desses veículos espaciais é realmente pequeno. No entanto, o efeito da gravidade sobre você da Terra é significativo o suficiente para que uma queda na Terra de apenas alguns metros possa ser perigosa. Examinamos a força da gravidade perto da superfície da Terra na próxima seção.
Encontre a aceleração de nossa galáxia, a Via Láctea, devido à galáxia de tamanho comparável mais próxima, a galáxia de Andrômeda (Figura\(\PageIndex{4}\)). A massa aproximada de cada galáxia é de 800 bilhões de massas solares (uma massa solar é a massa do nosso Sol) e elas estão separadas por 2,5 milhões de anos-luz. (Note que a massa de Andrômeda não é muito conhecida, mas acredita-se que seja um pouco maior que a nossa galáxia.) Cada galáxia tem um diâmetro de aproximadamente 100.000 anos-luz (1 ano-luz = 9,5 x 10 15 m).
Estratégia
Como no exemplo anterior, usamos a lei da gravitação de Newton para determinar a força entre eles e, em seguida, usamos a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração da Via Láctea. Podemos considerar as galáxias como massas pontuais, já que seus tamanhos são cerca de 25 vezes menores do que sua separação. A massa do Sol (veja o Apêndice D) é de 2,0 x 10 30 kg e um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano, 9,5 x 10 15 m.
Solução
A magnitude da força é
\[F_{12} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = (6.67 \times 10^{-11}\; N\; \cdotp m^{2}/kg^{2}) \frac{[(800 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{30}\; kg)]^{2}}{[(2.5 \times 10^{6})(9.5 \times 10^{15}\; m)]^{2}} = 3.0 \times 10^{29}\; N \ldotp\]
A aceleração da Via Láctea é
\[a = \frac{F}{m} = \frac{3.0 \times 10^{29}\; N}{(800 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{30}\; kg)} = 1.9 \times 10^{-13}\; m/s^{2} \ldotp\]
Significância
Esse valor de aceleração parece surpreendentemente pequeno? Se começassem do repouso, acelerariam diretamente um em direção ao outro, “colidindo” em seu centro de massa. Vamos estimar o tempo para que isso aconteça. A aceleração inicial é de ~10 −13 m/s 2, então usando v = at, vemos que seriam necessários ~10 13 s para cada galáxia atingir uma velocidade de 1,0 m/s, e elas estariam apenas ~ 0,5 x 10 13 m mais próximas. Isso é nove ordens de magnitude menor do que a distância inicial entre elas. Na realidade, esses movimentos raramente são simples. Essas duas galáxias, junto com cerca de 50 outras galáxias menores, estão todas gravitacionalmente ligadas ao nosso aglomerado local. Nosso aglomerado local está gravitacionalmente ligado a outros aglomerados no que é chamado de superaglomerado. Tudo isso faz parte da grande dança cósmica que resulta da gravitação, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{5}\).
