9.11: Propulsão de foguete

Objetivos de

• Descreva a aplicação da conservação do momento quando a massa muda com o tempo, bem como a velocidade
• Calcule a velocidade de um foguete no espaço vazio, em algum momento, dadas as condições iniciais
• Calcule a velocidade de um foguete no campo gravitacional da Terra, em algum momento, dadas as condições iniciais

Agora lidamos com o caso em que a massa de um objeto está mudando. Analisamos o movimento de um foguete, que altera sua velocidade (e, portanto, seu momento) ejetando gases combustíveis queimados, fazendo com que ele acelere na direção oposta à velocidade do combustível ejetado (Figura\(\PageIndex{1}\)). Especificamente: um foguete totalmente abastecido no espaço profundo tem uma massa total m ₀ (essa massa inclui a massa inicial do combustível). Em algum momento, o foguete tem velocidade\(\vec{v}\) e massa m; essa massa é uma combinação da massa do foguete vazio e da massa do combustível restante não queimado que ele contém. (Nós nos referimos a m como a “massa instantânea” e\(\vec{v}\) como a “velocidade instantânea”.) O foguete acelera queimando o combustível que carrega e ejetando os gases de escape queimados. Se a taxa de queima do combustível for constante e a velocidade na qual o escapamento é ejetado também for constante, qual é a mudança de velocidade do foguete como resultado da queima de todo o combustível?

Figura\(\PageIndex{1}\): O ônibus espacial tinha várias peças reutilizáveis. Os propulsores de combustível sólido em ambos os lados foram recuperados e reabastecidos após cada voo, e todo o orbitador retornou à Terra para uso em voos subsequentes. O grande tanque de combustível líquido estava vazio. O ônibus espacial era um conjunto complexo de tecnologias, empregando combustível sólido e líquido, e revestimentos cerâmicos pioneiros como escudos térmicos de reentrada. Como resultado, permitiu vários lançamentos em oposição a foguetes de uso único. (crédito: modificação do trabalho pela NASA)

Análise física

Aqui está uma descrição do que acontece, para que você tenha uma ideia da física envolvida.

• À medida que os motores dos foguetes operam, eles estão continuamente ejetando gases combustíveis queimados, que têm massa e velocidade e, portanto, algum impulso. Pela conservação do momentum, o momentum do foguete muda nessa mesma quantidade (com o sinal oposto). Assumiremos que o combustível queimado está sendo ejetado a uma taxa constante, o que significa que a taxa de variação do impulso do foguete também é constante. Pela Equação 9.4.17, isso representa uma força constante no foguete.
• No entanto, com o passar do tempo, a massa do foguete (que inclui a massa do combustível restante) diminui continuamente. Assim, mesmo que a força no foguete seja constante, a aceleração resultante não é; ela está aumentando continuamente.
• Portanto, a mudança total da velocidade do foguete dependerá da quantidade de massa de combustível que é queimada, e essa dependência não é linear.

O problema é que a massa e a velocidade do foguete estão mudando; além disso, a massa total dos gases ejetados está mudando. Se definirmos nosso sistema como foguete+ combustível, então este é um sistema fechado (já que o foguete está no espaço profundo, não há forças externas atuando sobre esse sistema); como resultado, o momentum é conservado para este sistema. Assim, podemos aplicar a conservação do momentum para responder à pergunta (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): O foguete acelera para a direita devido à expulsão de parte de sua massa de combustível para a esquerda. A conservação do momento nos permite determinar a mudança de velocidade resultante. A massa m é a massa total instantânea do foguete (ou seja, massa do corpo do foguete mais massa de combustível naquele momento). (crédito: modificação do trabalho da NASA/Bill Ingalls)

No mesmo momento em que a massa instantânea total do foguete é m (ou seja, m é a massa do corpo do foguete mais a massa do combustível naquele momento), definimos a velocidade instantânea do foguete como sendo\(\vec{v}\) = v\(\hat{i}\) (na direção+x); essa velocidade é medida em relação a um inercial sistema de referência (a Terra, por exemplo). Assim, o momento inicial do sistema é\(\vec{p}_{i}\) = mv\(\hat{i}\).

Os motores do foguete estão queimando combustível a uma taxa constante e ejetando os gases de escape na direção −x. Durante um intervalo de tempo infinitesimal dt, os motores ejetam uma massa infinitesimal (positiva) de gás dm _g na velocidade\(\vec{u}\) = −u\(\hat{i}\); observe que, embora a velocidade do foguete v\(\hat{i}\) seja medida em relação à Terra, a velocidade dos gases de escape é medida em relação ao (em movimento) foguete. Medido em relação à Terra, portanto, o gás de escape tem velocidade (v − u)\(\hat{i}\).

Como consequência da ejeção do gás combustível, a massa do foguete diminui em dm _g e sua velocidade aumenta em dv\(\hat{i}\). Portanto, incluindo a mudança para o foguete e a mudança para o gás de escape, o momento final do sistema é

\[\begin{split} \vec{p}_{f} & = \vec{p}_{rocket} + \vec{p}_{gas} \\ & = (m - dm_{g})(v + dv) \hat{i} + dm_{g} (v - u) \hat{i} \ldotp \end{split}\]

Como todos os vetores estão na direção x, descartamos a notação vetorial. Aplicando a conservação do momentum, obtemos

\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ mv & = (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g} (v - u) \\ mv & = mv + mdv - dm_{g} v - dm_{g} dv + dm_{g} v - dm_{g} u \\ mdv & = dm_{g} dv + dm_{g} u \ldotp \end{split}\]

Agora, dm _g e dv são muito pequenos; assim, seu produto dm _g dv é muito, muito pequeno, muito menor do que os outros dois termos nessa expressão. Negligenciamos esse termo, portanto, e obtemos:

\[mdv = dm_{g} u \ldotp\]

Nosso próximo passo é lembrar que, como dm _g representa um aumento na massa dos gases ejetados, ele também deve representar uma diminuição da massa do foguete:

\[dm_{g} = - dm \ldotp\]

Substituindo isso, temos

\[mdv = -dmu\]

ou

\[dv = -u \frac{dm}{m} \ldotp\]

A integração da massa inicial m ₀ até a massa final m do foguete nos dá o resultado que buscamos:

\[\begin{split} \int_{v_{i}}^{v} dv & = -u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} dm \\ v - v_{i} & = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \end{split}\]

e, portanto, nossa resposta final é

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \ldotp \label{9.38}\]

Esse resultado é chamado de equação do foguete. Foi originalmente derivado pelo físico soviético Konstantin Tsiolkovsky em 1897. Isso nos dá a mudança de velocidade que o foguete obtém da queima de uma massa de combustível que diminui a massa total do foguete de m ₀ para m. Como esperado, a relação entre\(\Delta\) v e a mudança de massa do foguete não é linear.

Estratégia de resolução de problemas: propulsão de foguete

Em problemas com foguetes, as perguntas mais comuns são encontrar a mudança de velocidade devido à queima de alguma quantidade de combustível por algum tempo; ou determinar a aceleração resultante da queima do combustível.

1. Para determinar a mudança de velocidade, use a equação do foguete Equation\ ref {9.38}.
2. Para determinar a aceleração, determine a força usando o teorema impulso-momento, usando a equação do foguete para determinar a mudança de velocidade

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Thrust on a Spacecraft

Uma espaçonave está se movendo em um espaço livre de gravidade ao longo de um caminho reto quando seu piloto decide acelerar para frente. Ele liga os propulsores e o combustível queimado é ejetado a uma taxa constante de\(2.0 \times 10^2\, kg/s\), a uma velocidade (em relação ao foguete) de\(2.5 \times 10^2 \,m/s\). A massa inicial da espaçonave e seu combustível não queimado é\(2.0 \times 10^4\, kg\), e os propulsores ficam ligados por 30 s.

1. Qual é o empuxo (a força aplicada ao foguete pelo combustível ejetado) na espaçonave?
2. Qual é a aceleração da espaçonave em função do tempo?
3. Quais são as acelerações da espaçonave em t = 0, 15, 30 e 35 s?

Estratégia

1. A força na espaçonave é igual à taxa de variação do momento do combustível.
2. Conhecendo a força da parte (a), podemos usar a segunda lei de Newton para calcular a consequente aceleração. A chave aqui é que, embora a força aplicada à espaçonave seja constante (o combustível está sendo ejetado a uma taxa constante), a massa da espaçonave não é; portanto, a aceleração causada pela força não será constante. Esperamos obter uma função\(a(t)\), portanto.
3. Usaremos a função que obtemos na parte (b) e apenas substituiremos os números dados. Importante: Esperamos que a aceleração aumente com o passar do tempo, pois a massa que está sendo acelerada está diminuindo continuamente (o combustível está sendo ejetado do foguete).

Solução

1. O momento do gás combustível ejetado é $ $ p = m_ {g} v\ ldotp$$ A velocidade de ejeção v = 2,5 x 10 ² m/s é constante e, portanto, a força é $ $ F =\ frac {dp} {dt} = v\ frac {dm_ {g}} {dt} = -v\ frac {dm} {dt}\ ldotp$$Agora,\(\frac{dm_{g}}{dt}\) é a taxa de variação da massa do combustível; o problema afirma que isso é 2,0 x 10 ² kg/s. Substituindo, obtemos $$\ begin {split} F & = v\ frac {dm_ {g}} {dt}\\ & = (2.5\ times 10^ {2}\; m/s) (2.0\ times 10^ {2}\; kg/s)\\ & = 5\ times 10^ {4}\; N\ ldotp\ end {split} $$
2. Acima, definimos m como a massa combinada do foguete vazio mais a quantidade de combustível não queimado que ele continha: m = m _R + m _g. Da segunda lei de Newton, $$a =\ frac {F} {m} =\ frac {F} {m_ {R} + m_ {g}}\ ldotp$$A força é constante e a massa vazia do foguete m _R é constante, mas a massa de combustível m _g está diminuindo a uma taxa uniforme; especificamente: $$m_ {g} = m_ {g} (t) - m_ {g_ {0}} -\ left (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ direita) t\ ldotp$$ Isso nos dá $$a (t) =\ frac {F} {m_ {g_ {1}} -\ left (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ right) t} =\ frac {F} {M -\ left (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ right) t}\ lDotp$$Note que, como esperado, a aceleração é uma função do tempo. Substituindo os números fornecidos: $$a (t) =\ frac {5\ times 10^ {4}\; N} {(2.0\ times 10^ {4}\; kg) - (2.0\ times 10^ {2}\; kg/s) t}\ ldotp$$
3. Em t = 0 s: $$a (0\; s) =\ frac {5\ times 10^ {4}\; N} {(2.0\ times 10^ {4}\; kg) - (2,0\ times 10^ {2}\; kg/s) (0\; s)} = 2,5\; m/s^ {2}\ ldotp$$

Em t = 15 s, a (15 s) = 2,9 m/s ².

Em t = 30 s, a (30 s) = 3,6 m/s ².

A aceleração está aumentando, como esperávamos.

Significância

Observe que a aceleração não é constante; como resultado, quaisquer quantidades dinâmicas devem ser calculadas usando integrais ou (mais facilmente) conservação da energia total

Exercício:\(\PageIndex{1}\)

Qual é a diferença física (ou relação) entre\(\frac{dm}{dt}\) e\(\frac{dm_{g}}{dt}\) neste exemplo?

Foguete em um campo gravitacional

Vamos agora analisar a mudança de velocidade do foguete durante a fase de lançamento, a partir da superfície da Terra. Para manter a matemática gerenciável, restringiremos nossa atenção às distâncias nas quais a aceleração causada pela gravidade pode ser tratada como uma constante g.

A análise é semelhante, exceto que agora há uma força externa de\(\vec{F}\) = −mg\(\hat{j}\) atuando em nosso sistema. Essa força aplica um impulso d\(\vec{J}\) =\(\vec{F}\) dt = −mgdt\(\hat{j}\), que é igual à mudança de momento. Isso nos dá

\[\begin{split} d \vec{p} & = d \vec{J} \\ \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i} & = -mgdt\; \hat{j} \\ \big[ (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g}(v - u) - mv \big] \hat{j} & = -mgdt\; \hat{j} \end{split}\]

e assim

\[mdv - dm_{g} u = -mgdt\]

onde negligenciamos novamente o termo dm _g dv e eliminamos a notação vetorial. Em seguida, substituímos dm _g por −dm:

\[\begin{split} mdv + dmu & = -mgdt \\ mdv & = -dmu - mgdt \ldotp \end{split}\]

Dividindo por\(m\) dá

\[dv = -u \frac{dm}{m} - gdt\]

e integrando, temos

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) - g \Delta t \ldotp \label{9.39}\]

Não é de surpreender que a velocidade do foguete seja afetada pela aceleração (constante) da gravidade.

Lembre-se de que\(\Delta\) t é o tempo de queima do combustível. Agora, na ausência de gravidade, a Equação\ ref {9.38} implica que não faz diferença quanto tempo leva para queimar toda a massa de combustível; a mudança de velocidade não depende de\(\Delta\) t. No entanto, na presença da gravidade, isso importa muito. O termo −g\(\Delta\) t na Equação\ ref {9.39} nos diz que quanto maior o tempo de queima, menor será a mudança de velocidade do foguete. Essa é a razão pela qual o lançamento de um foguete é tão espetacular no primeiro momento da decolagem: é essencial queimar o combustível o mais rápido possível, para obter o\(\Delta\) maior volume possível.