3.8: Encontrando velocidade e deslocamento a partir da aceleração

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Derive as equações cinemáticas para aceleração constante usando cálculo integral.
Use a formulação integral das equações cinemáticas na análise do movimento.
Determine a forma funcional da velocidade versus tempo dada a função de aceleração.
Determine a forma funcional da posição versus o tempo, dada a função de velocidade.

Esta seção pressupõe que você tenha experiência suficiente em cálculo para se familiarizar com a integração. Em Velocidade e Velocidade Instantâneas e Aceleração Média e Instantânea, introduzimos as funções cinemáticas de velocidade e aceleração usando a derivada. Ao tomar a derivada da função de posição, encontramos a função de velocidade e, da mesma forma, tomando a derivada da função de velocidade, encontramos a função de aceleração. Usando o cálculo integral, podemos retroceder e calcular a função de velocidade a partir da função de aceleração e a função de posição da função de velocidade.

Equações cinemáticas do cálculo integral

Vamos começar com uma partícula com uma aceleração a (t) é uma função conhecida do tempo. Como a derivada temporal da função de velocidade é a aceleração,

\[\frac{d}{dt} v(t) = a(t),\]

podemos pegar a integral indefinida de ambos os lados, encontrando

\[\int \frac{d}{dt} v(t) dt = \int a(t) dt + C_{1},\]

onde C ₁ é uma constante de integração. Uma vez que$\int \frac{d}{dt} v(t) dt = v(t)$, a velocidade é dada por

\[v(t) = \int a(t) dt + C_{1} \ldotp \label{3.18}\]

Da mesma forma, a derivada temporal da função de posição é a função de velocidade,

\[\frac{d}{dt} x(t) = v(t) \ldotp\]

Assim, podemos usar as mesmas manipulações matemáticas que acabamos de usar e encontrar

\[x(t) = \int v(t) dt + C_{2}, \label{3.19}\]

onde C ₂ é uma segunda constante de integração.

Podemos derivar as equações cinemáticas para uma aceleração constante usando essas integrais. Com a (t) = a, uma constante, e fazendo a integração na Equação\ ref {3.18}, encontramos

\[v(t) = \int a dt + C_{1} = at + C_{1} \ldotp\]

Se a velocidade inicial for v (0) = v ₀, então

\[v_{0} = 0 + C_{1} \ldotp\]

Então, C ₁ = v ₀ e

\[v(t) = v_{0} + at,\]

que é a Equação 3.5.12. Substituindo essa expressão na Equação\ ref {3.19} dá

\[x(t) = \int (v_{0} + at) dt + C_{2} \ldotp\]

Fazendo a integração, encontramos

\[x(t) = v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} + C_{2} \ldotp\]

Se x (0) = x ₀, temos

\[x_{0} = 0 + 0 + C_{2} \ldotp\]

então, C ₂ = x ₀. Substituindo de volta na equação por x (t), finalmente temos

\[x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

que é a Equação 3.5.17.

Exemplo 3.17: Movimento de uma lancha

Uma lancha está viajando a uma velocidade constante de 5,0 m/s quando começa a desacelerar para chegar ao cais. Sua aceleração é a (t) =$-\frac{1}{4}$ t m/s ². (a) Qual é a função de velocidade da lancha? (b) Em que momento a velocidade chega a zero? (c) Qual é a função de posição da lancha? (d) Qual é o deslocamento da lancha desde o momento em que ela começa a desacelerar até quando a velocidade é zero? (e) Representar graficamente as funções de velocidade e posição.

Estratégia

(a) Para obter a função de velocidade, devemos integrar e usar as condições iniciais para encontrar a constante de integração. (b) Definimos a função de velocidade igual a zero e resolvemos para t. (c) Da mesma forma, devemos integrar para encontrar a função de posição e usar as condições iniciais para encontrar a constante de integração. (d) Como a posição inicial é considerada zero, só precisamos avaliar a função de posição em t = 0.

Solução

Consideramos t = 0 o momento em que o barco começa a desacelerar.

A partir da forma funcional da aceleração, podemos resolver a Equação\ ref {3.18} para obter v (t): $$v (t) =\ int a (t) dt + C_ {1} =\ int -\ frac {1} {4} tdt + C_ {1} = -\ frac {1} {8} t^ {2} + C_ {1}\ ldotp$at t = 0 temos v (0) = 5,0 m/s = 0 + C ₁, então C ₁ = 5,0 m/s ou v (t) = 5,0 m/s −$\frac{1}{8}$ t ².
v (t) = 0 = 5,0 m/s −$\frac{1}{8}$ t ² (\ seta para a direita\) t = 6,3 s
Resolva a equação\ ref {3,19}: $$x (t) =\ int v (t) dt + C_ {2} =\ int (5,0 -\ frac {1} {8} t^ {2}) dt + C_ {2} = 5,0t -\ frac {1} {24} t^ {3} + C_ {2}\ LdotP$at t = 0, nós defina x (0) = 0 = x ₀, já que estamos interessados apenas no deslocamento a partir do momento em que o barco começa a desacelerar. Temos $$x (0) = 0 = C_ {2}\ LDOTP$$Portanto, a equação para a posição é $$x (t) = 5,0t -\ frac {1} {24} t^ {3}\ ldotp$$
Como a posição inicial é considerada zero, só precisamos calcular x (t) quando a velocidade é zero. Isso ocorre em t = 6,3 s. Portanto, o deslocamento é $$x (6,3) = 5,0 (6,3) −\ frac {1} {24} (6,3) ^ {3} = 21,1\; m\ ldotp$$

O gráfico A é um gráfico da velocidade em metros por segundo em função do tempo em segundos. A velocidade é de cinco metros por segundo no início e diminui para zero. O gráfico B é um gráfico da posição em metros em função do tempo em segundos. A posição é zero no início, os aumentos atingem o máximo entre seis e sete segundos e depois começa a diminuir. — Figura$\PageIndex{1}$: (a) Velocidade da lancha em função do tempo. A lancha diminui sua velocidade para zero em 6,3 s. Às vezes maior do que isso, a velocidade se torna negativa, ou seja, o barco está invertendo a direção. (b) Posição da lancha em função do tempo. Em t = 6,3 s, a velocidade é zero e o barco parou. Às vezes maior do que isso, a velocidade se torna negativa, ou seja, se o barco continuar se movendo com a mesma aceleração, ele inverte a direção e volta para onde se originou.

Significância

A função de aceleração é linear no tempo, então a integração envolve polinômios simples. Na Figura$\PageIndex{1}$, vemos que se estendermos a solução além do ponto em que a velocidade é zero, a velocidade se torna negativa e o barco inverte a direção. Isso nos diz que as soluções podem nos fornecer informações fora do nosso interesse imediato e devemos ter cuidado ao interpretá-las.

Exercício 3.8

Uma partícula começa do repouso e tem uma função de aceleração$a(t)=\left(5-\left(10 \frac{1}{s}\right) t\right) \frac{m}{s^{2}}$. (a) O que é a função de velocidade? (b) O que é a função de posição? (c) Quando a velocidade é zero?