2.S: Vetores (Resumo)

Termos-chave

propriedade anticomutativa	mudança na ordem de operação introduz o sinal de menos
vetores antiparalelos	dois vetores com direções que diferem em 180°
associativo	os termos podem ser agrupados de qualquer forma
comutativo	as operações podem ser executadas em qualquer ordem
forma componente de um vetor	um vetor escrito como a soma vetorial de seus componentes em termos de vetores unitários
régua do lado direito do saca-rolhas	uma regra usada para determinar a direção do produto vetorial
produto cruzado	o resultado da multiplicação vetorial de vetores é um vetor chamado produto cruzado; também chamado de produto vetorial
diferença de dois vetores	soma vetorial do primeiro vetor com o vetor antiparalelo ao segundo
ângulo de direção	em um plano, um ângulo entre a direção positiva do eixo x e o vetor, medido no sentido anti-horário do eixo ao vetor
deslocamento	mudança de posição
distributivo	a multiplicação pode ser distribuída por termos em soma
produto escalar	o resultado da multiplicação escalar de dois vetores é um escalar chamado produto escalar; também chamado de produto escalar
vetores iguais	dois vetores são iguais se e somente se todos os seus componentes correspondentes forem iguais; alternadamente, dois vetores paralelos de magnitudes iguais
magnitude	comprimento de um vetor
vetor nulo	um vetor com todos os seus componentes iguais a zero
vetores ortogonais	dois vetores com direções que diferem exatamente em 90°, sinônimo de vetores perpendiculares
vetores paralelos	dois vetores com exatamente os mesmos ângulos de direção
regra do paralelogramo	construção geométrica da soma vetorial em um plano
sistema de coordenadas polares	um sistema de coordenadas ortogonais em que a localização em um plano é dada por coordenadas polares
coordenadas polares	uma coordenada radial e um ângulo
coordenada radical	distância até a origem em um sistema de coordenadas polares
vetor resultante	soma vetorial de dois (ou mais) vetores
escalar	um número, sinônimo de uma quantidade escalar em física
componente escalar	um número que multiplica um vetor unitário em um componente vetorial de um vetor
equação escalar	equação na qual os lados esquerdo e direito são números
produto escalar	o resultado da multiplicação escalar de dois vetores é um escalar chamado produto escalar; também chamado de produto escalar
quantidade escalar	quantidade que pode ser especificada completamente por um único número com uma unidade física apropriada
construção geométrica de cauda a cabeça	construção geométrica para desenhar o vetor resultante de muitos vetores
vetor unitário	vetor de uma unidade de magnitude que especifica direção; não tem unidade física
vetores unitários dos eixos	vetores unitários que definem direções ortogonais em um plano ou no espaço
vetor	objeto matemático com magnitude e direção
componentes vetoriais	componentes ortogonais de um vetor; um vetor é a soma vetorial de seus componentes vetoriais
equação vetorial	equação na qual os lados esquerdo e direito são vetores
produto vetorial	o resultado da multiplicação vetorial de vetores é um vetor chamado produto vetorial; também chamado de produto cruzado
quantidade vetorial	quantidade física descrita por um vetor matemático, ou seja, especificando tanto sua magnitude quanto sua direção; sinônimo de vetor em física
soma vetorial	resultante da combinação de dois (ou mais) vetores

Equações-chave

Multiplicação por um escalar (equação vetorial)	$$\ vec {B} =\ alpha\ vec {A} $$
Multiplicação por um escalar (equação escalar para magnitudes)	$$B = |\ alfa| A$$
Resultante de dois vetores	$$\ vec {D} _ {AD} =\ vec {D} _ {AC} +\ vec {D} _ {CD} $$
Lei comutativa	$$\ vec {A} +\ vec {B} =\ vec {B} +\ vec {A} $$
Direito associativo	$$ (\ vec {A} +\ vec {B}) +\ vec {C} =\ vec {A} + (\ vec {B} +\ vec {C}) $$
Direito distributivo	$$\ alpha_ {1}\ vec {A} +\ alpha_ {2}\ vec {A} = (\ alpha_ {1} +\ alpha_ {2})\ vec {A} $$
A forma componente de um vetor em duas dimensões	$$\ vec {A} = A_ {x}\ hat {i} + A_ {y}\ hat {j} $$
Componentes escalares de um vetor em duas dimensões	$$\ begin {casos} A_ {x} = x_ {e} - x_ {b}\\ A_ {y} = y_ {e} - y_ {b}\ end {casos} $$
Magnitude de um vetor em um plano	$$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}} $$
O ângulo de direção de um vetor em um plano	$$\ theta_ {A} =\ tan^ {-1}\ left (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}}\ direita) $$
Componentes escalares de um vetor em um plano	$$\ begin {cases} A_ {x} = A\ cos\ theta_ {A}\\ A_ {y} = A\ sin\ theta_ {A}\ end {cases} $$
Coordenadas polares em um avião	$$\ begin {cases} x = r\ cos\ varphi\\ y = r\ sin\ varphi\ end {casos} $$
A forma componente de um vetor em três dimensões	$$\ vec {A} = A_ {x}\ hat {i} + A_ {y}\ hat {j} + A_ {z}\ hat {k} $$
O componente z escalar de um vetor em três dimensões	$$A_ {z} = z_ {e} - z_ {b} $$
Magnitude de um vetor em três dimensões	$$A =\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ {z} ^ {2}} $$
Propriedade distributiva	$$\ alpha (\ vec {A} +\ vec {B}) =\ alpha\ vec {A} +\ alpha\ vec {B} $$
Vetor antiparalelo para\(\vec{A}\)	$$-\ vec {A} = A_ {x}\ chapéu {i} - A_ {y}\ chapéu {j} - A_ {z}\ chapéu {k} $$
Vetores iguais	$$\ vec {A} =\ vec {B}\ seta para a esquerda\ start {casos} A_ {x} = B_ {x}\\ A_ {y} = B_ {y}\\ A_ {z} = B_ {z}\ end {cases} $$
Componentes da resultante de N vetores	$$\ begin {casos} F_ {Rx} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kx} = F_ {1x} + F_ {2x} +\ ldots + F_ {Nx}\ F_ {Ry} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {ky} = F_ {1y} + F_ {2y} + F_ {2y} + F_ {2y} + F_ {2y} y} +\ ldots + F_ {Ny}\\ F_ {Rz} =\ sum_ {k = 1} ^ {N} F_ {kz} = F_ {1z} + F_ {2z} +\ ldots + F_ {Nz}\ end {casos} $$
Vetor unitário geral	$$\ hat {V} =\ frac {\ vec {V}} {V} $$
Definição do produto escalar	$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = AB\ cos\ varphi$$
Propriedade comutativa do produto escalar	$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} =\ vec {B}\ cdotp\ vec {A} $$
Propriedade distributiva do produto escalar	$$\ vec {A}\ cdotp (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} +\ vec {A}\ cdotp\ vec {C} $$
Produto escalar em termos de componentes escalares de vetores	$$\ vec {A}\ cdotp\ vec {B} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} $$
Cosseno do ângulo entre dois vetores	$$\ cos\ varphi =\ frac {\ vec {A}\ cdotp\ vec {B}} {AB} $$
Produtos escalares de vetores unitários	$$\ hat {i}\ cdotp\ hat {j} =\ hat {j}\ cdotp\ hat {k} =\ hat {k}\ cdotp\ hat {i} = 0$$
Magnitude do produto vetorial (definição)	$$|\ vec {A}\ times\ vec {B} | = AB\ sin\ varphi$$
Propriedade anticomutativa do produto vetorial	$$|\ vec {A}\ times\ vec {B} = -\ vec {B}\ times\ vec {A} $$
Propriedade distributiva do produto vetorial	$$\ vec {A}\ times (\ vec {B} +\ vec {C}) =\ vec {A}\ times\ vec {B} +\ vec {A}\ times\ vec {C} $$
Produtos cruzados de vetores unitários	$$\ begin {cases}\ hat {i}\ times\ hat {j} = +\ hat {k},\\\ hat {j}\ times\ hat {l} = +\ hat {i},\\\ hat {l}\ times\ hat {i} = +\ hat {j}\ ldotp\ end {cases} $$
O produto cruzado em termos de componentes escalares de vetores	$$\ vec {A}\ times\ vec {B} = (A_ {y} B_ {z} - A_ {z} B_ {y})\ hat {i} + (A_ {z} B_ {x} - A_ {x} B_ {z})\ hat {j} + (A_ {x} B_ {y} - A_ {y} B_ {y} - A_ {y} B_ {y} B_ {y} x})\ hat {k} $$

Resumo

2.1 Escalares e vetores

• Uma grandeza vetorial é qualquer quantidade que tenha magnitude e direção, como deslocamento ou velocidade.
• Geometricamente, os vetores são representados por setas, com a extremidade marcada por uma ponta de seta. O comprimento do vetor é sua magnitude, que é um escalar positivo. Em um plano, a direção de um vetor é dada pelo ângulo que o vetor faz com uma direção de referência, geralmente um ângulo com a horizontal. O ângulo de direção de um vetor é um escalar.
• Dois vetores são iguais se e somente se tiverem as mesmas magnitudes e direções. Os vetores paralelos têm os mesmos ângulos de direção, mas podem ter magnitudes diferentes. Os vetores antiparalelos têm ângulos de direção que diferem em 180°. Os vetores ortogonais têm ângulos de direção que diferem em 90°.
• Quando um vetor é multiplicado por um escalar, o resultado é outro vetor de comprimento diferente do comprimento do vetor original. A multiplicação por um escalar positivo não altera a direção original; somente a magnitude é afetada. A multiplicação por um escalar negativo inverte a direção original. O vetor resultante é antiparalelo ao vetor original. A multiplicação por um escalar é distributiva. Os vetores podem ser divididos por escalares diferentes de zero, mas não podem ser divididos por vetores.
• Dois ou mais vetores podem ser adicionados para formar outro vetor. A soma vetorial é chamada de vetor resultante. Podemos adicionar vetores a vetores ou escalares a escalares, mas não podemos adicionar escalares a vetores. A adição vetorial é comutativa e associativa.
• Para construir um vetor resultante de dois vetores em um plano geometricamente, usamos a regra do paralelogramo. Para construir um vetor resultante de muitos vetores em um plano geometricamente, usamos o método cauda a cabeça.

2.2 Sistemas de coordenadas e componentes de um vetor

• Os vetores são descritos em termos de seus componentes em um sistema de coordenadas. Em duas dimensões (em um plano), os vetores têm dois componentes. Em três dimensões (no espaço), os vetores têm três componentes.
• Um componente vetorial de um vetor é sua parte na direção do eixo. O componente vetorial é o produto do vetor unitário de um eixo com seu componente escalar ao longo desse eixo. Um vetor é o resultado de seus componentes vetoriais.
• Os componentes escalares de um vetor são diferenças de coordenadas, onde as coordenadas da origem são subtraídas das coordenadas do ponto final de um vetor. Em um sistema retangular, a magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes.
• Em um plano, a direção de um vetor é dada por um ângulo que o vetor tem com o eixo x positivo. Esse ângulo de direção é medido no sentido anti-horário. O componente x escalar de um vetor pode ser expresso como o produto de sua magnitude com o cosseno de seu ângulo de direção, e o componente y escalar pode ser expresso como o produto de sua magnitude com o seno de seu ângulo de direção.
• Em um plano, existem dois sistemas de coordenadas equivalentes. O sistema de coordenadas cartesianas é definido por vetores unitários\(\hat{i}\) e\(\hat{j}\) ao longo do eixo x e do eixo y, respectivamente. O sistema de coordenadas polares é definido pelo vetor unitário radial\(\hat{r}\), que fornece a direção da origem, e por um vetor unitário\(\hat{t}\), que é perpendicular (ortogonal) à direção radial.

2.3 Álgebra de vetores

• Os métodos analíticos de álgebra vetorial nos permitem encontrar resultados de somas ou diferenças de vetores sem precisar desenhá-los. Os métodos analíticos de adição vetorial são exatos, ao contrário dos métodos gráficos, que são aproximados.
• Métodos analíticos de álgebra vetorial são usados rotineiramente em mecânica, eletricidade e magnetismo. Eles são importantes ferramentas matemáticas da física.

2.4 Produtos de vetores

• Existem dois tipos de multiplicação para vetores. Um tipo de multiplicação é o produto escalar, também conhecido como produto escalar. O outro tipo de multiplicação é o produto vetorial, também conhecido como produto cruzado. O produto escalar dos vetores é um número (escalar). O produto vetorial dos vetores é um vetor.
• Ambos os tipos de multiplicação têm a propriedade distributiva, mas somente o produto escalar tem a propriedade comutativa. O produto vetorial tem a propriedade anticomutativa, o que significa que quando mudamos a ordem na qual dois vetores são multiplicados, o resultado adquire um sinal de menos.
• O produto escalar de dois vetores é obtido multiplicando suas magnitudes pelo cosseno do ângulo entre eles. O produto escalar dos vetores ortogonais desaparece; o produto escalar dos vetores antiparalelos é negativo.
• O produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular a ambos. Sua magnitude é obtida multiplicando suas magnitudes pelo seno do ângulo entre elas. A direção do produto vetorial pode ser determinada pela régua do lado direito do saca-rolhas. O produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos desaparece. A magnitude do produto vetorial é maior para vetores ortogonais.
• O produto escalar dos vetores é usado para encontrar ângulos entre vetores e nas definições de quantidades físicas escalares derivadas, como trabalho ou energia.
• O produto cruzado dos vetores é usado nas definições de quantidades físicas vetoriais derivadas, como torque ou força magnética, e na descrição de rotações.

Colaboradores

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