13.5: Campos elétricos induzidos
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Ao final desta seção, você poderá:
- Conecte a relação entre um emf induzido da lei de Faraday a um campo elétrico, mostrando assim que um fluxo magnético variável cria um campo elétrico
- Resolva o campo elétrico com base em uma mudança no fluxo magnético no tempo
O fato de os emfs serem induzidos em circuitos implica que o trabalho está sendo feito nos elétrons de condução nos fios. O que pode ser a fonte desse trabalho? Sabemos que não é uma bateria nem um campo magnético, pois uma bateria não precisa estar presente em um circuito onde a corrente é induzida e os campos magnéticos nunca funcionam com cargas móveis. A resposta é que a fonte do trabalho é um campo\(\vec{E}\) elétrico induzido nos fios. O trabalho realizado ao\(\vec{E}\) mover uma carga unitária completamente em torno de um circuito é o emf induzido\(ε\); isto é,
\[\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l},\]onde\(\oint\) representa a linha integral ao redor do circuito. A lei de Faraday pode ser escrita em termos do campo elétrico induzido como
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
Há uma distinção importante entre o campo elétrico induzido por uma mudança no campo magnético e o campo eletrostático produzido por uma distribuição de carga fixa. Especificamente, o campo elétrico induzido não é conservador porque funciona em rede ao mover uma carga por um caminho fechado, enquanto o campo eletrostático é conservador e não funciona em rede em um caminho fechado. Portanto, o potencial elétrico pode ser associado ao campo eletrostático, mas não ao campo induzido. As equações a seguir representam a distinção entre os dois tipos de campo elétrico:
\[ \underbrace{\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} \neq 0}_{\text{Induced Electric Field}}\]
\[\underbrace{ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0}_{\text{Electrostatic Electric Fields}}.\]
Nossos resultados podem ser resumidos combinando essas equações:
\[\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}. \label{eq5}\]
Qual é o campo elétrico induzido na bobina circular do Exemplo 13.3.1A (e Figura 13.3.3) nos três horários indicados?
Estratégia
Usando simetria cilíndrica, a integral do campo elétrico simplifica o campo elétrico multiplicado pela circunferência de um círculo. Como já conhecemos o emf induzido, podemos conectar essas duas expressões pela lei de Faraday para resolver o campo elétrico induzido.
Solução
O campo elétrico induzido na bobina é constante em magnitude sobre a superfície cilíndrica, semelhante à forma como os problemas da lei de Ampere com os cilindros são resolvidos. Uma vez que\(\vec{E}\) é tangente à bobina,
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \oint E dl = 2 \pi r E. \nonumber\]
Quando combinado com a Equação\ ref {eq5}, isso dá
\[E = \dfrac{\epsilon}{2\pi r}. \nonumber\]
A direção de\(\epsilon\) é no sentido anti-horário e\(\vec{E}\) circula na mesma direção ao redor da bobina. Os valores de E são
\[ \begin{align*} E(t_1) &= \dfrac{6.0 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 1.9 \, V/m; \\[4pt] E(t_2) &= \dfrac{4.7 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 1.5 \, V/m; \\[4pt] E(t_3) &= \dfrac{0.040 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 0.013 \, V/m; \end{align*}\]
Significância
Quando o fluxo magnético através de um circuito muda, um campo elétrico não conservador é induzido, o que impulsiona a corrente através do circuito. Mas o que acontece se\(dB/dt \neq 0\) no espaço livre não há um caminho condutor? A resposta é que esse caso pode ser tratado como se um caminho condutor estivesse presente; ou seja, campos elétricos não conservadores são induzidos onde\(dB/dt \neq 0\) quer que haja ou não um caminho condutor presente.
Esses campos elétricos não conservadores sempre satisfazem a Equação\ ref {eq5}. Por exemplo, se a bobina circular fosse removida, um campo elétrico no espaço livre em ainda\(r = 0.50 \, m\) seria direcionado no sentido anti-horário, e sua magnitude ainda seria de 1,9 V/m a 1,5 V/m em\(t = 5.0 \times 10^{-2}s\), etc. A existência de campos elétricos induzidos certamente não é\(t = 0\) restrito a fios em circuitos.
\(\PageIndex{1a}\)A figura mostra um solenóide longo com raio R e n voltas por unidade de comprimento; sua corrente diminui com o tempo, de acordo com\(I = I_0 e^{-\alpha t}\). Qual é a magnitude do campo elétrico induzido em um ponto a uma distância r do eixo central do solenóide (a) quando\(r > R\) e (b) quando\(r < R\) [Figura\(\PageIndex{1b}\)]. (c) Qual é a direção do campo induzido em ambos os locais? Suponha que a aproximação do solenóide infinito seja válida em todas as regiões de interesse.
Estratégia
Usando a fórmula do campo magnético dentro de um solenóide infinito e a lei de Faraday, calculamos o emf induzido. Como temos simetria cilíndrica, a integral do campo elétrico reduz ao campo elétrico vezes a circunferência do caminho de integração. Em seguida, resolvemos o campo elétrico.
Solução
- O campo magnético está confinado ao interior do solenóide, onde\[B = \mu_0 nI = \mu_0 n I_0 e^{-\alpha t}.\] Assim, o fluxo magnético através de um caminho circular cujo raio r é maior que R, o raio do solenóide, é\[\Phi_m = BA = \mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t}.\] O campo induzido\(\vec{E}\) é tangente a esse caminho, e por causa do cilíndrico simetria do sistema, sua magnitude é constante no caminho. Portanto, temos\[\left| \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\right| = \left|\dfrac{d\Phi_m}{dt}\right|,\]\[E(2\pi r) = \left|\dfrac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t})\right| = \alpha \mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t},\]\[E = \dfrac{\alpha \mu_0 n I_0 R^2}{2r} e^{-\alpha t} \, (r > R).\]
- Para um caminho de raio r dentro do solenóide,\(\Phi_m = B\pi r^2\), so\[E(2\pi) = \left|\dfrac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t})\right| = \alpha \mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t},\] e o campo induzido é\[ E = \dfrac{\alpha \mu_0 n I_0 r}{2} e^{-\alpha t} \, (r < R).\]
- O campo magnético aponta para a página conforme mostrado na parte (b) e está diminuindo. Se qualquer um dos caminhos circulares fosse ocupado por anéis condutores, as correntes induzidas neles circulariam conforme mostrado, em conformidade com a lei de Lenz. O campo elétrico induzido também deve ser direcionado dessa forma.
Significância
Na parte (b), observe que\(|\vec{E}|\) aumenta com r dentro e diminui como 1/ r fora do solenóide, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).
Suponha que a bobina do Exemplo 13.3.1A seja quadrada em vez de circular. A equação\ ref {eq5} pode ser usada para calcular (a) o emf induzido e (b) o campo elétrico induzido?
- Resposta
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a. sim; b. Sim; no entanto, há uma falta de simetria entre o campo elétrico e a bobina, criando\(\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\) uma relação mais complicada que não pode ser simplificada como mostrado no exemplo.
Qual é a magnitude do campo elétrico induzido no exemplo\(\PageIndex{2}\) em\(t = 0\) if\(r = 6.0 \, cm\),\(R = 2.0 \, cm\),\(n = 2000\) voltas por metro,\(I_0 = 2.0 \, A\), e\(\alpha = 200 \, s^{-1}\)?
- Resposta
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\(3.4 \times 10^{-3} \, V/m\)
O campo magnético mostrado abaixo está confinado à região cilíndrica mostrada e muda com o tempo. Identifique os caminhos para os quais\(\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} \neq 0\).
- Resposta
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\(P_1, \, P_2, \, P_4\)
A long solenoid of cross-sectional area \(5.0 \, cm^2\) is wound with 25 turns of wire per centimeter. It is placed in the middle of a closely wrapped coil of 10 turns and radius 25 cm, as shown below. (a) What is the emf induced in the coil when the current through the solenoid is decreasing at a rate \(dI/dt = -0.20 \, A/s\)? (b) What is the electric field induced in the coil?
- Resposta
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uma.\(3.1 \times 10^{-6} V\); b. \(2.0 \times 10^{-7} \, V/m\)