13.2: Lei de Faraday
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Ao final desta seção, você poderá:
- Determine o fluxo magnético através de uma superfície, conhecendo a intensidade do campo magnético, a área da superfície e o ângulo entre o normal e a superfície e o campo magnético
- Use a lei de Faraday para determinar a magnitude do emf induzido em um circuito fechado devido à mudança do fluxo magnético através do loop
Os primeiros experimentos produtivos sobre os efeitos de campos magnéticos variáveis no tempo foram realizados por Michael Faraday em 1831. Um de seus primeiros experimentos está representado na Figura\(\PageIndex{1}\). Um emf é induzido quando o campo magnético na bobina é alterado ao empurrar uma barra magnética para dentro ou para fora da bobina. Os emfs de sinais opostos são produzidos pelo movimento em direções opostas, e as direções dos emfs também são revertidas por pólos invertidos. Os mesmos resultados são produzidos se a bobina for movida em vez do ímã — é o movimento relativo que é importante. Quanto mais rápido o movimento, maior o emf e não há emf quando o ímã está parado em relação à bobina.
Faraday também descobriu que um efeito semelhante pode ser produzido usando dois circuitos: uma mudança de corrente em um circuito induz uma corrente em um segundo circuito próximo. Por exemplo, quando a chave é fechada no circuito 1 da Figura\(\PageIndex{1a}\), a agulha do amperímetro do circuito 2 se desvia momentaneamente, indicando que um surto de corrente de curta duração foi induzido nesse circuito. A agulha do amperímetro retorna rapidamente à sua posição original, onde permanece. No entanto, se o interruptor do circuito 1 for aberto repentinamente, outro surto de corrente de curta duração na direção oposta à anterior é observado no circuito 2.
Faraday percebeu que em ambos os experimentos, uma corrente fluía no circuito contendo o amperímetro somente quando o campo magnético na região ocupada por esse circuito estava mudando. Quando o ímã da figura foi movido, a intensidade de seu campo magnético no circuito mudou; e quando a corrente no circuito 1 foi ligada ou desligada, a intensidade de seu campo magnético no circuito 2 mudou. Faraday acabou conseguindo interpretar esses e todos os outros experimentos envolvendo campos magnéticos que variam com o tempo em termos da seguinte lei.
O emf\(\epsilon\) induzido é a mudança negativa no fluxo magnético\(\Phi_m\) por unidade de tempo. Qualquer mudança no campo magnético ou mudança na orientação da área da bobina em relação ao campo magnético induz uma tensão (emf).
O fluxo magnético é uma medida da quantidade de linhas do campo magnético em uma determinada área de superfície, conforme visto na Figura\(\PageIndex{3}\). Essa definição é semelhante ao fluxo elétrico estudado anteriormente. Isso significa que se tivermos
\[\Phi_m = \int_S \vec{B} \cdot \hat{n}dA,\]
então o emf induzido ou a tensão gerada por um condutor ou bobina que se move em um campo magnético é
\[\epsilon = - \dfrac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot \hat{n} dA = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
O sinal negativo descreve a direção na qual o emf induzido aciona a corrente ao redor de um circuito. No entanto, essa direção é mais facilmente determinada com uma regra conhecida como lei de Lenz, que discutiremos em breve.
\(\PageIndex{1a}\)retrata um circuito e uma superfície arbitrária S que ele delimita. Observe que S é uma superfície aberta. Pode-se mostrar que qualquer superfície aberta delimitada pelo circuito em questão pode ser usada para avaliar\(\Phi_m\). Por exemplo,\(\Phi_m\) é o mesmo para as várias superfícies\(S_1, \, S_2, . . .\) da parte (b) da figura.
A unidade SI para fluxo magnético é o weber (Wb),
\[1 \, Wb = 1 \, T \cdot m^2.\]
Ocasionalmente, a unidade de campo magnético é expressa como webers por metro quadrado (\(Wb /m^2\)) em vez de teslas, com base nessa definição. Em muitas aplicações práticas, o circuito de interesse consiste em um número N de curvas bem enroladas (Figura\(\PageIndex{5}\)). Cada curva experimenta o mesmo fluxo magnético. Portanto, o fluxo magnético líquido através dos circuitos é N vezes o fluxo em uma volta, e a lei de Faraday é escrita como
\[\epsilon = - \dfrac{d}{dt}(N\Phi_m) = - N \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
A bobina quadrada da Figura\(\PageIndex{1}\) tem lados\(l = 0.25 \, m\) longos e é bem enrolada com\(N = 200\) voltas de arame. A resistência da bobina é\(R = 5.0 \, \Omega\) A bobina é colocada em um campo magnético espacialmente uniforme que é direcionado perpendicularmente à face da bobina e cuja magnitude está diminuindo a uma taxa\(dB/dt = -0.040 \, T/s\). (a) Qual é a magnitude do emf induzido na bobina? (b) Qual é a magnitude da corrente circulando pela bobina?
Estratégia
O vetor de área, ou\(\hat{n}\) direção, é perpendicular à área que cobre o loop. Escolheremos que isso esteja apontando para baixo, de forma que\(\vec{B}\) fique paralelo\(\hat{n}\) e que o fluxo se transforme em multiplicação do campo magnético vezes a área. A área do loop não muda com o tempo, então ela pode ser considerada a partir da derivada temporal, deixando o campo magnético como a única quantidade que varia no tempo. Por fim, podemos aplicar a lei de Ohm uma vez que conhecemos o emf induzido para encontrar a corrente no circuito.
Solução
- O fluxo através de uma curva é\[\Phi_m = BA = Bt^2,\]
para que possamos calcular a magnitude do emf a partir da lei de Faraday. O sinal do emf será discutido na próxima seção, sobre a lei de Lenz:\[|\epsilon| = \left|-N\dfrac{d\Phi_m}{dt}\right| = Nl^2 \dfrac{dB}{dt}\]\[= (200)(0.25 \, m)^2 (0.040 \, T/s) = 0.50 \, V.\]
- A magnitude da corrente induzida na bobina é\[I = \dfrac{\epsilon}{R} = \dfrac{0.50 \, V}{5.0 \, \Omega} = 0.10 \, A.\]
Significância
Se a área do loop estivesse mudando no tempo, não conseguiríamos retirá-la da derivada temporal. Como o circuito é um caminho fechado, o resultado dessa corrente seria uma pequena quantidade de aquecimento dos fios até que o campo magnético parasse de mudar. Isso pode aumentar ligeiramente a área do circuito à medida que os fios são aquecidos.
Uma bobina bem enrolada tem um raio de 4,0 cm, 50 voltas e uma resistência total de\(40 \, \Omega\). Em que taxa um campo magnético perpendicular à face da bobina deve mudar para produzir aquecimento por Joule na bobina a uma taxa de 2,0 mW?
Solução
1,1 T/s