8.4: Energia armazenada em um capacitor
- Page ID
- 184654
Ao final desta seção, você poderá:
- Explique como a energia é armazenada em um capacitor
- Use relações de energia para determinar a energia armazenada em uma rede de capacitores
A maioria de nós já viu dramatizações da equipe médica usando um desfibrilador para passar uma corrente elétrica pelo coração de um paciente e fazê-lo bater normalmente. Muitas vezes realista em detalhes, a pessoa que aplica o amortecedor orienta outra pessoa a “fazer 400 joules desta vez”. A energia fornecida pelo desfibrilador é armazenada em um capacitor e pode ser ajustada para se adequar à situação. Unidades SI de joules são frequentemente empregadas. Menos dramático é o uso de capacitores em microeletrônica para fornecer energia quando as baterias são carregadas (Figura\(\PageIndex{1}\)). Os capacitores também são usados para fornecer energia para lâmpadas de flash nas câmeras.
A energia\(U_C\) armazenada em um capacitor é energia potencial eletrostática e, portanto, está relacionada à carga Q e à tensão V entre as placas do capacitor. Um capacitor carregado armazena energia no campo elétrico entre suas placas. Conforme o capacitor está sendo carregado, o campo elétrico se acumula. Quando um capacitor carregado é desconectado de uma bateria, sua energia permanece no campo no espaço entre suas placas.
Para obter uma ideia de como essa energia pode ser expressa (em termos de Q e V), considere um capacitor carregado, vazio e de placa paralela; ou seja, um capacitor sem dielétrico, mas com vácuo entre suas placas. O espaço entre suas placas tem um volume Ad e é preenchido com um campo eletrostático uniforme E. A energia total\(U_C\) do capacitor está contida nesse espaço. A densidade de energia\(u_E\) neste espaço é simplesmente\(U_C\) dividida pelo volume Ad. Se soubermos a densidade de energia, a energia pode ser encontrada como\(U_C = u_E(Ad)\). Aprenderemos em Ondas Eletromagnéticas (depois de concluir o estudo das equações de Maxwell) que a densidade de energia\(u_E\) em uma região do espaço livre ocupada por um campo elétrico E depende apenas da magnitude do campo e é
\[u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0E^2.\]
Se multiplicarmos a densidade de energia pelo volume entre as placas, obteremos a quantidade de energia armazenada entre as placas de um capacitor de placa paralela\(U_C = u_E(Ad) = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2Ad = \frac{1}{2}\epsilon_0\frac{V^2}{d^2}Ad = \frac{1}{2}V^2\epsilon_0 \frac{A}{d} = \frac{1}{2}V^2C\).
Nesta derivação, usamos o fato de que o campo elétrico entre as placas é uniforme, de modo que\(E = V/d\)\(C = \epsilon_0A/d\) e. Porque\(C = Q/V\) podemos expressar esse resultado em outras formas equivalentes:
\[U_C = \frac{1}{2}V^2C = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}QV. \label{8.10}\]
A expressão na Equação\ ref {8.10} para a energia armazenada em um capacitor de placa paralela geralmente é válida para todos os tipos de capacitores. Para ver isso, considere qualquer capacitor sem carga (não necessariamente um tipo de placa paralela). Em algum momento, nós o conectamos a uma bateria, dando a ele uma diferença de potencial\(V = q/C\) entre suas placas. Inicialmente, a carga nas placas é\(Q = 0\). À medida que o capacitor está sendo carregado, a carga se acumula gradualmente em suas placas e, após algum tempo, atinge o valor Q. Para mover uma carga infinitesimal dq da placa negativa para a placa positiva (de um potencial menor para um maior), a quantidade de trabalho dW que deve ser feito em dq é\(dW = W \, dq = \frac{q}{C} dq\).
Esse trabalho se torna a energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Para carregar o capacitor para uma carga Q, o trabalho total necessário é
\[W = \int_0^{W(Q)} dW = \int_0^Q \frac{q}{C}dq = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}.\]
Como a geometria do capacitor não foi especificada, essa equação vale para qualquer tipo de capacitor. O trabalho total de W necessário para carregar um capacitor é a energia elétrica potencial\(U_C\) armazenada nele, ou\(U_C = W\). Quando a carga é expressa em coulombs, o potencial é expresso em volts e a capacitância é expressa em farads, essa relação fornece a energia em joules.
Sabendo que a energia armazenada em um capacitor é\(U_C = Q^2/(2C)\), agora podemos encontrar a densidade de energia\(u_E\) armazenada no vácuo entre as placas de um capacitor de placa paralela carregado. Basta dividir\(U_C\) pelo volume Ad o espaço entre suas placas e levar em conta que, para um capacitor de placa paralela, temos\(E = \sigma/\epsilon_0\)\(C = \epsilon_0 A/d\) e. Portanto, obtemos
\[u_E = \frac{U_C}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \frac{1}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\epsilon_0A/d} \frac{1}{Ad} = \frac{1}{2} \frac{1}{\epsilon_0} \left(\frac{Q}{A}\right)^2 = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{(E\epsilon_0)^2}{2\epsilon_0} = \frac{\epsilon_0}{2}E^2\]
Vemos que essa expressão para a densidade de energia armazenada em um capacitor de placa paralela está de acordo com a relação geral expressa na Equação\ ref {8.9}. Poderíamos repetir esse cálculo para um capacitor esférico ou um capacitor cilíndrico - ou outros capacitores - e, em todos os casos, acabaríamos com a relação geral dada pela Equação\ ref {8.9}.
Calcule a energia armazenada na rede de capacitores na Figura 8.3.4a quando os capacitores estiverem totalmente carregados e quando as capacitâncias estiverem\(C_1 = 12.0 \, \mu F, \, C_2 = 2.0 \, \mu F\), e\(C_3 = 4.0 \, \mu F\), respectivamente.
Estratégia
Usamos a Equação\ ref {8.10} para encontrar a energia\(U_1, \, U_2\) e\(U_3\) armazenamos nos capacitores 1, 2 e 3, respectivamente. A energia total é a soma de todas essas energias.
Solução Identificamos\(C_1 = 12.0 \, \mu F\)\(V_1 = 4.0 \, V, \, C_2 = 2.0 \, \mu F\) e\(V_2 = 8.0 \, V, \, C_3 = 4.0 \, \mu F\) e\(V_3 = 8.0 \, V\) e. As energias armazenadas nesses capacitores são
\[U_1 = \frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2}(12.0 \, \mu F)(4.0 \, V)^2 = 96 \, \mu J,\]
\[U_2 = \frac{1}{2}C_2V_2^2 = \frac{1}{2}(2.0 \, \mu F)(8.0 \, V)^2 = 64 \, \mu J,\]
\[U_3 = \frac{1}{2}C_3V_3^2 = \frac{1}{2}(4.0 \, \mu F)(8.0 \, V)^2 = 130 \, \mu J,\]
A energia total armazenada nesta rede é
\[U_C = U_1 + U_2 + U_3 = 96 \, \mu J + 64 \, \mu J + 130 \, \mu J = 0.29 \, mJ.\]
Significância
Podemos verificar esse resultado calculando a energia armazenada em um único\(4.0-\mu F\) capacitor, que é considerado equivalente a toda a rede. A tensão na rede é de 12,0 V. A energia total obtida dessa maneira concorda com nosso resultado obtido anteriormente,\(U_C = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}(4.0 \, \mu F)(12.0 \, V)^2 = 0.29 \, mJ\)
A diferença de potencial em um capacitor de 5,0 pF é de 0,40 V. (a) Qual é a energia armazenada nesse capacitor? (b) A diferença de potencial agora é aumentada para 1,20 V. Por qual fator a energia armazenada é aumentada?
- Resposta
-
a.\(4.0 \times 10^{-13}J\); b. 9 vezes
Em uma emergência cardíaca, um dispositivo eletrônico portátil conhecido como desfibrilador externo automático (DEA) pode ser um salva-vidas. Um desfibrilador (Figura\(\PageIndex{2}\)) fornece uma carga grande em uma pequena explosão ou choque ao coração de uma pessoa para corrigir o ritmo cardíaco anormal (uma arritmia). Um ataque cardíaco pode surgir do início de batimentos cardíacos rápidos e irregulares, chamados de fibrilação cardíaca ou ventricular. A aplicação de um grande choque de energia elétrica pode acabar com a arritmia e permitir que o marcapasso natural do corpo retome seu ritmo normal. Hoje, é comum que ambulâncias transportem DEAs. Os DEAs também são encontrados em muitos locais públicos. Eles são projetados para serem usados por leigos. O dispositivo diagnostica automaticamente o ritmo cardíaco do paciente e, em seguida, aplica o choque com a energia e a forma de onda apropriadas. A RCP (ressuscitação cardiopulmonar) é recomendada em muitos casos antes de usar um desfibrilador.
Um desfibrilador cardíaco fornece\(4.00 \times 10^2 J\) energia descarregando um capacitor inicialmente em\(1.00 \times 10^4 V\). Qual é sua capacitância?
Estratégia
Recebemos um V\(U_C\) e somos solicitados a encontrar a capacitância C. Resolvemos a Equação\ ref {8.10} para C e substituímos.
Solução
Resolver essa expressão para C e inserir os valores fornecidos gera\(C = 2\frac{U_C}{V^2} = 2\frac{4.00 \times 10^2 J}{(1.00 \times 10^4V)^2} = 8.00 \, \mu F\).