7.A: Potencial elétrico (resposta)
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7.1. \(\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^2,v=\sqrt{2\frac{K}{m}}=\sqrt{2\frac{4.5×10^{−7}J}{4.00×10^{−9}kg}}=15m/s\)
7.2. Tem energia cinética de\(\displaystyle 4.5×10^{−7}J\) no ponto\(\displaystyle r_2\) e energia potencial de\(\displaystyle 9.0×10^{−7}J\) J, o que significa que quando Q se aproxima do infinito, sua energia cinética totaliza três vezes a energia cinética em\(\displaystyle r_2\), já que toda a energia potencial é convertida em cinética.
7.3. positivo, negativo e essas quantidades são as mesmas do trabalho que você precisaria fazer para trazer as cargas do infinito
7.4. \(\displaystyle ΔU=qΔV=(100C)(1.5V)=150J\)
7,5. —2,00° C,\(\displaystyle n_e=1.25×10^{19}electronsne\)
7.6. Estaria indo na direção oposta, sem nenhum efeito nos cálculos apresentados.
7.7. Dada uma intensidade máxima fixa de campo elétrico, o potencial em que ocorre um golpe aumenta com o aumento da altura acima do solo. Portanto, cada elétron carregará mais energia. Determinar se há um efeito no número total de elétrons está no futuro.
7.8. \(\displaystyle V=k\frac{q}{r}=(8.99×10^9N⋅m^2/C^2)(\frac{−3.00×10^{−9}C}{5.00×10^{−3}m})=−5390V\); lembre-se de que o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Portanto, qualquer caminho de um ponto na superfície até qualquer ponto no interior terá um integrando de zero ao calcular a mudança no potencial e, portanto, o potencial no interior da esfera é idêntico ao da superfície.
7.9. No eixo x, o potencial é zero, devido às cargas iguais e opostas à mesma distância dele. No eixo z, podemos sobrepor os dois potenciais; descobriremos que\(\displaystyle z>>d\), novamente, o potencial vai para zero devido ao cancelamento.
7.10. Será zero, pois em todos os pontos do eixo, existem cargas iguais e opostas equidistantes do ponto de interesse. Observe que essa distribuição, de fato, terá um momento de dipolo.
7.11. Qualquer um, mas cilíndrico, está mais próximo da simetria de um dipolo.
7.12. cilindros infinitos de raio constante, com a carga de linha como eixo
Perguntas conceituais
1. Não. Só podemos definir energias potenciais para campos conservadores.
3. Não, embora alguns pedidos possam ser mais simples de calcular.
5. A intensidade do campo elétrico é zero porque as diferenças de potencial elétrico estão diretamente relacionadas à intensidade do campo. Se a diferença de potencial for zero, a intensidade do campo também deverá ser zero.
7. A diferença de potencial é mais descritiva porque indica que é a diferença entre o potencial elétrico de dois pontos.
9. Eles são muito semelhantes, mas a diferença de potencial é uma característica do sistema; quando uma carga é introduzida no sistema, ela terá uma energia potencial que pode ser calculada multiplicando a magnitude da carga pela diferença de potencial.
11. Um elétron-volt é um volt multiplicado pela carga de um elétron. Os volts medem a diferença de potencial, os elétron-volts são uma unidade de energia.
13. O segundo tem 1/4 do momento de dipolo do primeiro.
15. A região fora da esfera terá um potencial indistinguível de uma carga pontual; o interior da esfera terá um potencial diferente.
17. Não. Será constante, mas não necessariamente zero.
19. não
21. Não; pode não estar em equilíbrio eletrostático.
23. Sim. Depende de onde está a referência zero para o potencial. (Embora isso possa ser incomum.)
25. Então, o raio que os atinge vai para o chão em vez do equipamento de televisão.
27. Ambos usam eletricidade estática para colar pequenas partículas em outra superfície. No entanto, o precipitador precisa carregar uma grande variedade de partículas e não foi projetado para garantir que elas caiam em um local específico.
Problemas
29. uma\(\displaystyle U=3.4J\);.
b.\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=kQ_1Q_2(\frac{1}{r_i}−\frac{1}{r_f})→v=750m/s\)
31. \(\displaystyle U=4.36×10^{−18}J\)
33. \(\displaystyle \frac{1}{2}m_ev^2_e=qV,\frac{1}{2}m_Hv^2_H=qV,\)então isso\(\displaystyle \frac{m_ev^2_e}{m_Hv^2_H}=1\) ou\(\displaystyle \frac{v_e}{v_H}=42.8\).
35. \(\displaystyle 1V=1J/C;1J=1N⋅m→1V/m=1N/C\)
37. uma\(\displaystyle V_{AB}=3.00kV\);.
b.\(\displaystyle V_{AB}=7.50kV\)
39. uma\(\displaystyle V_{AB}=Ed→E=5.63kV/m\);.
b.\(\displaystyle V_{AB}=563V\)
41. a.\(\displaystyle ΔK=qΔV\) e\(\displaystyle V_{AB}=Ed\), de modo que\(\displaystyle ΔK=800keV\);
b.\(\displaystyle d=25.0km\)
43. Uma possibilidade é permanecer em um raio constante e percorrer o arco de\(\displaystyle P_1\) até\(\displaystyle P_2\), que terá potencial zero devido ao caminho ser perpendicular ao campo elétrico. Em seguida, integre de a a b:\(\displaystyle V_{ab}=αln(\frac{b}{a})\)
45. \(\displaystyle V=144V\)
47. \(\displaystyle V=\frac{kQ}{r}→Q=8.33×10^{−7}C\); A carga é positiva porque o potencial é positivo.
49. uma\(\displaystyle V=45.0MV\);.
b.\(\displaystyle V=\frac{kQ}{r}→r=45.0m\);
c.\(\displaystyle ΔU=132MeV\)
51. \(\displaystyle V=kQ/r\); a. Em relação à origem, encontre o potencial em cada ponto e calcule a diferença. \(\displaystyle ΔV=135×10^3V\);
b. Para dobrar a diferença de potencial, mova o ponto de 20 cm para o infinito; o potencial em 20 cm está a meio caminho entre zero e 10 cm.
53. a.\(\displaystyle V_{P1}=7.4×10^5V\) e\(\displaystyle V_{P2}=6.9×10^3V\);
b.\(\displaystyle V_{P1}=6.9×10^5V\) e\(\displaystyle V_{P2}=6.9×10^3V\)
55. O problema é descrever um campo uniforme, então\(\displaystyle E=200V/m\) na direção —z.
57. \(\displaystyle \vec{∇}=\hat{r}\frac{∂}{∂r}+\hat{φ}\frac{1}{r}\frac{∂}{∂φ}+\hat{z}\frac{∂}{∂z}\)Aplique\(\displaystyle vec{E} =−\vec{∇}V\) com o potencial calculado anteriormente,\(\displaystyle V=−2kλlns: \vec{E}=2kλ\frac{1}{r}\hat{r}\) conforme esperado.
59. a. aumenta; o campo elétrico constante (negativo) tem esse efeito, o ponto de referência só importa pela magnitude; b. eles são planos paralelos à folha; c. 0,006 m
61. a. do capítulo anterior, o campo elétrico tem magnitude\(\displaystyle \frac{σ}{ε_0}\) na região entre as placas e zero no exterior; definindo que a placa carregada negativamente está na origem e no potencial zero, com a placa carregada positivamente localizada em +5mm na direção z, V=1,7× 104VV=1,7 × 104Ventão o potencial é 0\(\displaystyle z<0,1.7×10^4V(\frac{z}{5mm})\) para\(\displaystyle 0≤z≤5mm,1.7×10^4V\) para\(\displaystyle z>5mm;\)
b.\(\displaystyle qV=\frac{1}{2}mv^2→v=7.7×10^7m/s\)
63. \(\displaystyle V=85V\)
65. Na região\(\displaystyle a≤r≤b, \vec{E}=\frac{kQ}{r^2}\hat{r}\), E é zero em outros lugares; portanto, a diferença de potencial é\(\displaystyle V=kQ(\frac{1}{a}−\frac{1}{b})\).
67. Dos resultados anteriores\(\displaystyle V_P−V_R=−2kλln\frac{s_P}{s_R}\)., observe que b é um local muito conveniente para definir o nível zero de potencial:\(\displaystyle ΔV=−2k\frac{Q}{L}ln\frac{a}{b}\).
69. a.\(\displaystyle F=5.58×10^{−11}N/C\); O campo elétrico está em direção à superfície da Terra.
b. A força de coulomb é muito mais forte que a gravidade.
71. Sabemos pelo capítulo da lei de Gauss que o campo elétrico para uma carga de linha infinita é\(\displaystyle \vec{E}_P=2kλ\frac{1}{s}\hat{s}\), e no início deste capítulo que o potencial de um sistema de cilindros de arame desse tipo é\(\displaystyle V_P=−2kλln\frac{s_P}{R}\) por integração. Não nos é dado\(\displaystyle λ\), mas nos é dado um fixo\(\displaystyle V_0\); portanto, sabemos disso\(\displaystyle V_0=−2kλln\frac{a}{R}\) e, portanto,\(\displaystyle λ=−\frac{V_0}{2kln(\frac{a}{R})}\). Podemos substituí-lo novamente para encontrar um.\(\displaystyle \vec{E}_P=−\frac{V_0}{ln(\frac{a}{R})}\frac{1}{s}\hat{s}\);
b.\(\displaystyle V_P=V_0\frac{ln(\frac{sP}{R})}{ln(\frac{a}{R})}\);
c.\(\displaystyle 4.74×10^4N/C\)
73. uma\(\displaystyle U_1=7.68×10^{−18}J, U_2=5.76×10^{−18}J\);.
b.\(\displaystyle U_1+U_2=−1.34×10^{−17}J\)
75. a.\ (\ displaystyle U=2,30×10^ {−16} J;
b.\(\displaystyle \overline{K}=\frac{3}{2}kT→T=1.11×10^7\)
77. uma\(\displaystyle 1.9×10^6m/s\);.
b.\(\displaystyle 4.2×10^6m/s\);
c.\(\displaystyle 5.9×10^6m/s\);
d\(\displaystyle 7.3×10^6m/s\);.
e.\(\displaystyle 8.4×10^6m/s\)
79. a.\(\displaystyle E=2.5×10^6V/m<3×10^6V/m\) Não, a intensidade do campo é menor do que a força de ruptura do ar.
b.\(\displaystyle d=1.7mm\)
81. \(\displaystyle K_f=qV_{AB}=qEd→E=8.00×10^5V/m\)
83. a. Energia=\(\displaystyle 2.00×10^9J\);
b.\(\displaystyle Q=m(cΔT+L_∇)\)\(\displaystyle m=766kg\);
c. A expansão do vapor ao ferver pode literalmente destruir a árvore.
85. uma\(\displaystyle V=\frac{kQ}{r}→r=1.80km\);.
b. Uma carga 1-C é uma carga muito grande; uma esfera de 1,80 km é impraticável.
87. A partícula alfa se aproxima do núcleo dourado até que sua energia original seja convertida em energia potencial. \(\displaystyle 5.00MeV=8.00×10^{−13}J\), então\(\displaystyle E_0=\frac{qkQ}{r}→r=4.54×10^{−14}m\)
(O tamanho do núcleo dourado é de cerca de\(\displaystyle 7×10^{−15}m\)).
Problemas adicionais
89. \(\displaystyle E_{tot}=4.67×10^7J\)\(\displaystyle E_{tot}=qV→q=\frac{E_{tot}}{V}=3.89×10^6C\)
91. \(\displaystyle V_P=k\frac{q_{tot}}{\sqrt{z^2+R^2}}→q_{tot}=−3.5×10^{−11}C\)
93. \(\displaystyle V_P=−2.2GV\)
95. Lembre-se do capítulo anterior que o campo elétrico\(\displaystyle E_P=\frac{σ_0}{2ε_0}\) é uniforme em todo o espaço e que, para campos uniformes, temos\(\displaystyle E=−\frac{ΔV}{Δz}\) a relação. Assim, obtemos\(\displaystyle \frac{σ}{2ε_0}=\frac{ΔV}{Δz}→Δz=0.22m\) a distância entre equipotenciais de 25 V.
97. a. Pegue o resultado do Exemplo 7.13, divida o numerador e o denominador por x, pegue o limite disso e, em seguida, aplique uma expansão de Taylor ao log resultante para obter:\(\displaystyle V_P≈kλ\frac{L}{x}\);
b. qual é o resultado que esperamos, porque em grandes distâncias, isso deve parecer uma carga pontual de\(\displaystyle q=λL\)
99. uma\(\displaystyle V=9.0×10^3V\);.
b.\(\displaystyle −9.0×10^3V(\frac{1.25cm}{2.0cm})=−5.7×10^3V\)
101. uma\(\displaystyle E=\frac{KQ}{r^2}→Q=−6.76×10^5C\);.
b.\(\displaystyle F=ma=qE→a=\frac{qE}{m}=2.63×10^{13}m/s^2(upwards)\);
c.\(\displaystyle F=−mg=qE→m=\frac{−qE}{g}=2.45×10^{−18}kg\)
103. Se o campo elétrico é zero ¼ do caminho de\(\displaystyle q_1\) e\(\displaystyle q_2\), então sabemos\(\displaystyle E=k\frac{Q}{r^2}\) disso\(\displaystyle |E_1|=|E_2|→\frac{Kq_1}{x^2}=\frac{Kq^2}{(3x)^2}\) para que\(\displaystyle \frac{q_2}{q_1}=\frac{(3x)^2}{x^2}=9\); a carga\(\displaystyle q_2\) é 9 vezes maior que\(\displaystyle q_1\).
105. a. O campo está na direção da velocidade inicial do elétron.
\(\displaystyle v^2=v^2_0+2ax→x=−\frac{v^2_0}{2a}(v=0)\)b. Além disso,\(\displaystyle F=ma=qE→a=\frac{qE}{m}\),\(\displaystyle x=3.56×10^{−4}m\);
c.\(\displaystyle v_2=v_0+at→t=−\frac{v_0m}{qE}(v=0), ∴t=1.42×10^{−10}s\);
d.\(\displaystyle v=−(\frac{2qEx}{m})^{1/2}−5.00×10^6m/s\) (oposto à sua velocidade inicial)
Problemas de desafio
107. As respostas podem variar. Isso parece ser uma informação proprietária e ridiculamente difícil de encontrar. As velocidades serão de 20 m/s ou menos, e há reivindicações de\(\displaystyle ~10^{−7}\) gramas para a massa de uma gota.
109. Aplique\(\displaystyle \vec{E}=−\vec{∇}V\) com\(\displaystyle \vec{∇}=\hat{r}\frac{∂}{∂r}+\hat{θ}\frac{1}{r}\frac{∂}{∂θ}+\hat{φ}\frac{1}{rsinθ}\frac{∂}{∂φ}\) ao potencial calculado anteriormente\(\displaystyle \vec{p}=q\vec{d}\),\(\displaystyle V_P=k\frac{\vec{p}⋅\hat{r}}{r^2}\) com e suponha que o eixo do dipolo esteja alinhado com o eixo z do sistema de coordenadas. Portanto, o potencial é\(\displaystyle V_P=k\frac{q\vec{d}⋅\hat{r}}{r^2}=k\frac{qdcosθ}{r^2}\).
\(\displaystyle \vec{E}=2kqd(\frac{cosθ}{r^3})\hat{r}+kqd(\frac{sinθ}{r^3})\hat{θ}\)