5.S: Relatividade (Resumo)

Termos-chave

adição de velocidade clássica (galileana)	método de adição de velocidades quando\(\displaystyle v<<c\); velocidades somam como números regulares em movimento unidimensional:\(\displaystyle u=v+u'\), onde v é a velocidade entre dois observadores, u é a velocidade de um objeto em relação a um observador e\(\displaystyle u'\) é a velocidade em relação ao outro observador
evento	ocorrência no espaço e no tempo especificada por suas coordenadas de posição e tempo (x, y, z, t) medidas em relação a um quadro de referência
primeiro postulado da relatividade especial	as leis da física são as mesmas em todos os quadros de referência inerciais
Relatividade galileana	se um observador mede uma velocidade em um quadro de referência e esse quadro de referência está se movendo com uma velocidade além de um segundo quadro de referência, um observador no segundo quadro mede a velocidade original como a soma vetorial dessas velocidades
Transformação galileana	relação entre coordenadas de posição e tempo dos mesmos eventos vistos em diferentes referenciais, de acordo com a mecânica clássica
quadro de referência inercial	quadro de referência no qual um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento se move a uma velocidade constante em linha reta, a menos que seja acionado por uma força externa
contração de comprimento	diminuição no comprimento observado de um objeto de seu comprimento adequado\(\displaystyle L_0\) para o comprimento L quando seu comprimento é observado em um quadro de referência onde ele está viajando na velocidade v
Transformação de Lorentz	relação entre coordenadas de posição e tempo dos mesmos eventos vistos em diferentes referenciais, de acordo com a teoria especial da relatividade
Experiência de Michelson-Morley	investigação realizada em 1887 que mostrou que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os quadros de referência a partir dos quais ela é vista
comprimento adequado	\(\displaystyle L_0\); a distância entre dois pontos medida por um observador que está em repouso em relação a ambos os pontos; por exemplo, observadores terrestres medem o comprimento adequado ao medir a distância entre dois pontos estacionários em relação à Terra
tempo adequado	\(\displaystyle Δτ\)é o intervalo de tempo medido por um observador que vê no início e no final do processo que as medidas do intervalo de tempo ocorrem no mesmo local
energia cinética relativista	energia cinética de um objeto se movendo em velocidades relativísticas
momentum relativístico	\(\displaystyle \vec{p}\), o momento de um objeto se movendo em velocidade relativista;\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}\)
adição de velocidade lativística	método de adição de velocidades de um objeto movendo-se em velocidades relativísticas
energia de descanso	energia armazenada em um objeto em repouso:\(\displaystyle E_0=mc^2\)
quadro de descanso	quadro de referência no qual o observador está em repouso
massa de descanso	massa de um objeto medida por um observador em repouso em relação ao objeto
segundo postulado da relatividade especial	a luz viaja no vácuo com a mesma velocidade c em qualquer direção em todos os quadros inerciais
teoria especial da relatividade	teoria que Albert Einstein propôs em 1905 que assume que todas as leis da física têm a mesma forma em cada quadro de referência inercial e que a velocidade da luz é a mesma em todos os quadros inerciais
velocidade da luz	limite máximo de velocidade para qualquer partícula com massa
dilatação do tempo	alongamento do intervalo de tempo entre dois eventos quando visto em um quadro inercial móvel em vez do quadro restante dos eventos (no qual os eventos ocorrem no mesmo local)
energia total	soma de todas as energias de uma partícula, incluindo energia de repouso e energia cinética, dadas para uma partícula de massa m e velocidade u by\(\displaystyle E=γmc^2\), onde\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
linha mundial	caminho através do espaço-tempo

Equações chave

Dilatação do tempo	\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γτ\)
Fator Lorentz	\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\)
Contração do comprimento	\(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=\frac{L_0}{γ}\)
Transformação galileana	\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\)
Transformação de Lorentz	\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)
Transformação inversa de Lorentz	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)
Invariantes espaço-temporais	\(\displaystyle (Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2−c^2(Δt)^2\) \(\displaystyle (Δτ)^2=−(Δs)^2/c^2=(Δt)^2−\frac{[(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2]}{c^2}\)
Adição de velocidade relativista	\(\displaystyle u_x=(\frac{u′_x+v}{1+vu′_x/c^2}),u_y=(\frac{u′_y/γ}{1+vu′_x/c^2}),u_z=(\frac{u′_z/γ}{1+vu′_x/c^2})\)
Efeito Doppler relativístico para comprimento de onda	\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}}\)
Efeito Doppler relativístico para frequência	\(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\)
Momento relativista	\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
Energia total relativista	\(\displaystyle E=γmc^2\), onde\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
Energia cinética relativista	\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\), onde\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)

Resumo

5.1 Invariância das leis físicas

• A relatividade é o estudo de como observadores em diferentes quadros de referência medem o mesmo evento.
• A relatividade moderna é dividida em duas partes. A relatividade especial lida com observadores em movimento uniforme (não acelerado), enquanto a relatividade geral inclui movimento relativo acelerado e gravidade. A relatividade moderna é consistente com todas as evidências empíricas até agora e, no limite da baixa velocidade e da gravitação fraca, está estreitamente de acordo com as previsões da relatividade clássica (galileana).
• Um quadro de referência inercial é um quadro de referência no qual um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento se move a uma velocidade constante em linha reta, a menos que seja acionado por uma força externa.
• A relatividade moderna é baseada nos dois postulados de Einstein. O primeiro postulado da relatividade especial é que as leis da física são as mesmas em todos os quadros de referência inerciais. O segundo postulado da relatividade especial é que a velocidade da luz c é a mesma em todos os quadros de referência inerciais, independente do movimento relativo do observador e da fonte de luz.
• O experimento Michelson-Morley demonstrou que a velocidade da luz no vácuo é independente do movimento da Terra em relação ao sol.

5.2 Relatividade da Simultaneidade

• Dois eventos são definidos como simultâneos se um observador os medir como ocorrendo ao mesmo tempo (por exemplo, ao receber luz dos eventos).
• Dois eventos em locais a uma distância que são simultâneos para um observador em repouso em um quadro de referência não são necessariamente simultâneos para um observador em repouso em um quadro de referência diferente.

5.3 Dilatação do tempo

• Dois eventos são definidos como simultâneos se um observador os medir como ocorrendo ao mesmo tempo. Eles não são necessariamente simultâneos para todos os observadores — a simultaneidade não é absoluta.
• A dilatação do tempo é o alongamento do intervalo de tempo entre dois eventos quando visto em um quadro inercial móvel, em vez do quadro restante dos eventos (no qual os eventos ocorrem no mesmo local).
• Observadores que se movem a uma velocidade relativa v não medem o mesmo tempo decorrido entre dois eventos. O tempo adequado\(\displaystyle Δτ\) é o tempo medido no quadro de referência em que o início e o fim do intervalo de tempo ocorrem no mesmo local. O intervalo de tempo\(\displaystyle Δt\) medido por um observador que vê o quadro de eventos se movendo na velocidade v está relacionado ao intervalo\(\displaystyle Δτ\) de tempo adequado dos eventos pela equação:

\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γΔτ\),

onde

\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\).

• A premissa do paradoxo dos gêmeos é defeituosa porque o gêmeo viajante está acelerando. A jornada não é simétrica para os dois gêmeos.
• A dilatação do tempo geralmente é insignificante em baixas velocidades relativas, mas ocorre e foi verificada por experimentos.
• O tempo adequado é a medida mais curta de qualquer intervalo de tempo. Qualquer observador que está se movendo em relação ao sistema que está sendo observado mede um intervalo de tempo maior do que o tempo adequado.

5.4 Contração do comprimento

• Todos os observadores concordam com a velocidade relativa.
• A distância depende do movimento do observador. O comprimento adequado\(\displaystyle L_0\) é a distância entre dois pontos medida por um observador que está em repouso em relação a ambos os pontos.
• A contração do comprimento é a diminuição do comprimento observado de um objeto de seu comprimento adequado\(\displaystyle L_0\) para o comprimento L quando seu comprimento é observado em um quadro de referência em que ele está viajando na velocidade v.
• O comprimento adequado é a medida mais longa de qualquer intervalo de comprimento. Qualquer observador que está se movendo em relação ao sistema que está sendo observado mede um comprimento menor que o comprimento adequado.

5.5 A transformação de Lorentz

• As equações de transformação galileanas descrevem como, na mecânica não relativista clássica, a posição, a velocidade e as acelerações medidas em um quadro aparecem em outro. Os comprimentos permanecem inalterados e supõe-se que uma única escala de tempo universal se aplique a todos os quadros inerciais.
• As leis da mecânica de Newton obedecem ao princípio de ter a mesma forma em todas as estruturas inerciais sob uma transformação galileana, dado por

\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\).

O conceito de que os tempos e as distâncias são iguais em todos os quadros inerciais da transformação galileana, no entanto, é inconsistente com os postulados da relatividade especial.

• As equações de transformação de Lorentz relativisticamente corretas são

Transformação de Lorentz	Transformação inversa de Lorentz
\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)√ \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)

Podemos obter essas equações exigindo que um sinal de luz esférica em expansão tenha a mesma forma e velocidade de crescimento, c, em ambos os quadros de referência.

• Os fenômenos relativísticos podem ser explicados em termos das propriedades geométricas do espaço-tempo quadridimensional, nas quais as transformações de Lorentz correspondem às rotações dos eixos.
• A transformação de Lorentz corresponde a uma rotação do eixo espaço-tempo, semelhante em alguns aspectos a uma rotação de eixos espaciais, mas na qual a separação espacial invariante é dada por distâncias e\(\displaystyle Δs\) não por distâncias\(\displaystyle Δr\), e que a transformação de Lorentz envolvendo o eixo do tempo não preserva perpendicularidade dos eixos ou das escalas ao longo dos eixos.
• A análise dos fenômenos relativísticos em termos de diagramas espaço-temporais corrobora a conclusão de que esses fenômenos resultam de propriedades do espaço e do próprio tempo, e não das leis do eletromagnetismo.

5.6 Transformação de velocidade relativista

• Com a adição clássica de velocidade, as velocidades somam como números regulares no movimento unidimensional:\(\displaystyle u=v+u'\), onde v é a velocidade entre dois observadores, u é a velocidade de um objeto em relação a um observador e u'u′a é a velocidade em relação ao outro observador.
• As velocidades não podem ser adicionadas para serem maiores do que a velocidade da luz.
• A adição de velocidade relativista descreve as velocidades de um objeto se movendo a uma velocidade relativista.

5.7 Efeito Doppler para luz

• Um observador da radiação eletromagnética vê efeitos relativísticos do Doppler se a fonte da radiação estiver se movendo em relação ao observador. O comprimento de onda da radiação é maior (chamado de desvio para o vermelho) do que o emitido pela fonte quando a fonte se afasta do observador e menor (chamado de desvio para o azul) quando a fonte se move em direção ao observador. O comprimento de onda deslocado é descrito pela equação:

\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}\).

onde\(\displaystyle λ_{obs}\) é o comprimento de onda observado,\(\displaystyle λ_s\) é o comprimento de onda da fonte e v é a velocidade relativa da fonte para o observador.

5.8 Momento relativístico

• A lei da conservação do momento é válida para o momento relativístico sempre que a força externa líquida for zero. O momento relativístico é\(\displaystyle p=γmu\), onde m é a massa restante do objeto, u é sua velocidade em relação a um observador e o fator relativístico é\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\).
• Em baixas velocidades, o momento relativístico é equivalente ao momento clássico.
• O momento relativístico se aproxima do infinito quando u se aproxima de c. Isso implica que um objeto com massa não pode atingir a velocidade da luz.

5.9 Energia relativista

• O teorema relativístico da energia do trabalho é\(\displaystyle W_{net}=E−E_0=γmc^2−mc^2=(γ−1)mc^2\).
• Relativisticamente,\(\displaystyle W_{net}=K_{rel}\) onde\(\displaystyle K_{rel}\) está a energia cinética relativista.
• Um objeto de massa m na velocidade u tem energia cinética\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\), onde\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\).
• Em baixas velocidades, a energia cinética relativista é reduzida à energia cinética clássica.
• Nenhum objeto com massa pode atingir a velocidade da luz, porque uma quantidade infinita de trabalho e uma quantidade infinita de entrada de energia são necessárias para acelerar uma massa até a velocidade da luz.
• A energia relativista é conservada desde que a definamos para incluir a possibilidade de mudança de massa para energia.
• A energia total de uma partícula com massa m viajando na velocidade u é definida como\(\displaystyle E=γmc^2\), onde\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\) e u denota a velocidade da partícula.
• A energia restante de um objeto de massa m é\(\displaystyle E_0=mc^2\), o que significa que a massa é uma forma de energia. Se a energia for armazenada em um objeto, sua massa aumenta. A massa pode ser destruída para liberar energia.
• Normalmente, não notamos o aumento ou diminuição da massa de um objeto porque a mudança na massa é muito pequena para um grande aumento na energia. A equação\(\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2\) relaciona a energia total relativística E e o momento relativístico p. Em velocidades extremamente altas, a energia restante\(\displaystyle mc^2\) se torna insignificante,\(\displaystyle E=pc\) e.