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1.7: Princípio de Huygens

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Descreva o princípio de Huygens
    • Use o princípio de Huygens para explicar a lei da reflexão
    • Use o princípio de Huygens para explicar a lei da refração
    • Use o princípio de Huygens para explicar a difração

    Até agora, neste capítulo, discutimos fenômenos ópticos usando o modelo de raios de luz. No entanto, alguns fenômenos exigem análises e explicações com base nas características das ondas da luz. Isso é particularmente verdadeiro quando o comprimento de onda não é desprezível em comparação com as dimensões de um dispositivo óptico, como uma fenda no caso de difração. O princípio de Huygens é uma ferramenta indispensável para essa análise.

    A figura\(\PageIndex{1}\) mostra a aparência de uma onda transversal vista de cima e de lado. Pode-se imaginar que uma onda de luz se propaga assim, embora na verdade não a vejamos se mexendo no espaço. De cima, vemos as frentes das ondas (ou cristas das ondas) como se estivéssemos olhando para as ondas do mar. A visão lateral seria um gráfico do campo elétrico ou magnético. A visão de cima talvez seja mais útil no desenvolvimento de conceitos sobre óptica de ondas.

    Três figuras contêm três vistas de uma onda. A primeira é uma vista de cima. A onda está se propagando para a direita e aparece como uma série de faixas verticais que gradualmente se alternam do escuro para o claro e se repetem. A próxima vista é uma vista lateral. A onda novamente se propaga para a direita e aparece como uma curva senoidal oscilando acima e abaixo de uma seta preta apontando para a direita que serve como eixo horizontal. A terceira é uma visão geral. Esta é uma visão em perspectiva de uma onda do mesmo comprimento de onda das duas primeiras imagens e parece uma superfície ondulada..
    Figura\(\PageIndex{1}\): Uma onda transversal, como uma onda de luz eletromagnética, vista de cima e de lado. A direção da propagação é perpendicular às frentes das ondas (ou cristas das ondas) e é representada por um raio.

    O cientista holandês Christiaan Huygens (1629—1695) desenvolveu uma técnica útil para determinar em detalhes como e onde as ondas se propagam. Partindo de alguma posição conhecida, o princípio de Huygens afirma que cada ponto em uma frente de onda é uma fonte de ondas que se espalham na direção para frente na mesma velocidade da própria onda. A nova frente de onda é tangente a todas as ondas.

    A figura\(\PageIndex{2}\) mostra como o princípio de Huygens é aplicado. Uma frente de onda é a borda longa que se move, por exemplo, com a crista ou a calha. Cada ponto na frente da onda emite uma onda semicircular que se move na velocidade de propagação\(v\). Podemos desenhar essas wavelets em um momento\(t\) posterior, para que elas tenham se afastado\(s=vt\). A nova frente de onda é um plano tangente às ondas e é onde esperávamos que a onda estivesse um tempo\(t\) depois. O princípio de Huygens funciona para todos os tipos de ondas, incluindo ondas de água, ondas sonoras e ondas de luz. É útil não apenas para descrever como as ondas de luz se propagam, mas também para explicar as leis da reflexão e refração. Além disso, veremos que o princípio de Huygens nos diz como e onde os raios de luz interferem.

    Esta figura mostra duas linhas verticais retas, com a linha esquerda rotulada frente de onda antiga e a linha direita rotulada como frente de nova onda. No centro da imagem, uma seta preta horizontal cruza as linhas e aponta para a direita. A antiga linha frontal da onda passa por seis pontos uniformemente espaçados, com quatro pontos acima da seta preta e quatro pontos abaixo da seta preta. Cada ponto serve como centro de um semicírculo correspondente, e todos os oito semicírculos são do mesmo tamanho. A nova frente de onda é tangente à borda direita dos semicírculos. Um dos pontos centrais tem uma seta radial apontando para um ponto no semicírculo correspondente. Essa seta radial é rotulada como s igual a v t.
    Figura\(\PageIndex{2}\): O princípio de Huygens aplicado a uma frente de onda reta. Cada ponto na frente da onda emite uma onda semicircular que se move a uma distância s=vt. A nova frente de onda é uma linha tangente às ondas.

    Reflexão

    \(\PageIndex{3}\)A figura mostra como um espelho reflete uma onda de entrada em um ângulo igual ao ângulo de incidência, verificando a lei da reflexão. Quando a frente da onda atinge o espelho, as ondas são emitidas primeiro pela parte esquerda do espelho e depois pela direita. As ondas mais próximas à esquerda tiveram tempo de viajar mais longe, produzindo uma frente de onda viajando na direção mostrada.

    A figura mostra uma grade de quatro raios horizontais, paralelos e igualmente espaçados incidentes em um espelho inclinado a quarenta e cinco graus em relação aos raios. Os raios refletem para baixo a partir do espelho. Dois raios refletidos adicionais estão incluídos nos raios incidentes acima dos mostrados na figura. Os pontos são desenhados nas interseções dos raios incidentes e refletidos. Os semicírculos voltados para a direita representando as ondas incidentes e os semicírculos voltados para baixo para refletir as ondas estão centralizados nos pontos.
    Figura\(\PageIndex{3}\): O princípio de Huygens aplicado a uma frente de onda plana atingindo um espelho. As ondas mostradas foram emitidas quando cada ponto na frente da onda atingiu o espelho. A tangente a essas ondas mostra que a nova frente de onda foi refletida em um ângulo igual ao ângulo de incidência. A direção da propagação é perpendicular à frente da onda, conforme mostrado pelas setas apontando para baixo.

    Refração

    A lei da refração pode ser explicada aplicando o princípio de Huygens a uma frente de onda passando de um meio para outro (Figura\(\PageIndex{4}\)). Cada wavelet na figura foi emitida quando a frente da onda cruzou a interface entre a mídia. Como a velocidade da luz é menor no segundo meio, as ondas não viajam tão longe em um determinado tempo, e a nova frente de onda muda de direção conforme mostrado. Isso explica por que um raio muda de direção para se aproximar da perpendicular quando a luz diminui. A lei de Snell pode ser derivada da geometria na Figura\(\PageIndex{5}\) (exemplo\(\PageIndex{1}\)).

    A figura mostra duas mídias separadas por uma linha horizontal chamada superfície. O meio superior é rotulado como meio um e o meio inferior é rotulado como meio dois. No meio, um raio incide na superfície, viajando para baixo e para a direita. Uma linha pontilhada vertical, perpendicular à superfície, é desenhada através dos dois meios onde o raio atinge a superfície. O raio refratado se inclina para baixo, em direção a essa linha pontilhada, onde entra no meio dois. O caminho do raio forma um ângulo teta sub um com a linha pontilhada no meio um e um ângulo teta sub dois com a linha pontilhada no meio dois, onde teta sub dois é menor que teta sub um. Os segmentos de linha, denominados frente de onda, são desenhados perpendicularmente ao raio incidente e ao raio refratado. Esses segmentos de linha estão igualmente espaçados dentro de cada meio, mas os três segmentos de linha no meio 1 são mais amplamente espaçados do que os três segmentos de linha no meio 2. A separação desses segmentos de linha no meio 1 é rotulada como v sub um t e a separação no meio 2 é rotulada como v sub dois t, com v sub dois t sendo menor que v sub um t.
    Figura\(\PageIndex{4}\): O princípio de Huygens aplicado a uma frente de onda plana viajando de um meio para outro, onde sua velocidade é menor. O raio se curva em direção à perpendicular, já que as ondas têm uma velocidade menor no segundo meio.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Derivando a Lei da Refração

    Ao examinar a geometria das frentes das ondas, deriva a lei da refração.

    Estratégia

    Considere a Figura\(\PageIndex{5}\), que se expande sobre a Figura \(\PageIndex{4}\). Ele mostra a frente da onda incidente apenas atingindo a superfície no ponto A, enquanto o ponto B ainda está bem dentro do meio 1. No tempo\(Δt\) que uma wavelet leva para chegar\(B\) à superfície\(B'\) em alta velocidade\(v_1=c/n_1\), uma wavelet\(A\) viaja para o meio 2 a uma distância de \(AA'=v_2Δt\), onde\(v_2=c/n_2\). Observe que, neste exemplo, \(v_2\) é mais lento do que\(v_1\) porque\(n_1<n_2\).

    Esta figura ilustra a geometria da refração dos raios e das frentes das ondas. Uma superfície horizontal está presente entre o meio 1, com índice de refração n 1, e o meio 2, com índice de refração n 2. Um raio incidente é mostrado entrando do meio 1 para o meio 2. Ele atinge a superfície no ponto A e refrata em direção ao normal no meio 2. Uma linha, chamada frente de onda incidente, é traçada a partir do ponto A que se estende para longe da superfície, perpendicular ao raio incidente. O ângulo entre a frente da onda incidente e a superfície é teta 1. Um segundo raio incidente é desenhado paralelamente ao primeiro. Esse raio cruza a frente da onda incidente em um ponto rotulado como B e atinge a superfície em um ponto rotulado como B primo. Uma linha tracejada é desenhada perpendicularmente à superfície em B prime. O ângulo entre essa linha perpendicular e o segundo raio também é teta um. O triângulo formado por A, B e B primos é um triângulo reto com ângulo teta um em A e um ângulo reto em B. Os raios refratados em A e B primos se curvam para baixo, em direção às perpendiculares descendentes à superfície, formando um ângulo de teta dois com a direção vertical. A frente de onda refratada que é perpendicular aos raios refratados e que atinge a superfície em B prime é desenhada. Essa frente de onda atinge a refração do primeiro raio incidente em um ponto marcado como A prime e faz um ângulo de teta dois com a superfície.
    Figura\(\PageIndex{5}\): Geometria da lei da refração do meio 1 ao meio 2.
    Solução

    O segmento na superfície AB' é compartilhado pelo triângulo ABB' dentro do meio 1 e pelo triângulo AA′B' dentro do meio 2. Observe que, a partir da geometria, o ângulo BAB' é igual ao ângulo de incidência,\(θ_1\). Da mesma forma,\(∠AB'A'\) é\(θ_2\).

    O comprimento de AB' é dado de duas maneiras:

    \ [AB'=\ dfrac {BB'} {\ sin θ_1} =\ dfrac {AA'} {\ sin θ_2}. \ nonumber\]

    Invertendo a equação e substituindo AA'=cδT/n 2 de cima e da mesma forma\(BB'=cΔt/n_1\), obtemos

    \ [\ dfrac {\ sin θ_1} {c\ Delta t/n_1} =\ dfrac {\ sin θ_2} {c\ Delta t/n_2}. \ nonumber\]

    O cancelamento de nos\(cΔt\) permite simplificar essa equação na forma familiar

    \ [\ underbrace {n_1\ sin θ_1=n_2\ sin θ_2} _ {\ text {Lei de Snell}}. \ nonumber\]

    Significância

    Embora a lei da refração tenha sido estabelecida experimentalmente por Snell, sua derivação aqui requer o princípio de Huygens e o entendimento de que a velocidade da luz é diferente em diferentes meios.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Em exemplo\(\PageIndex{1}\), nós tivemos\(n_1<n_2\). Se\(n_2\) diminuíssemos de tal forma\(n_1>n_2\) e a velocidade da luz no meio 2 fosse mais rápida do que no meio 1, o que aconteceria com o comprimento de AA'? O que aconteceria com a frente da onda A'B' e a direção do raio refratado?

    Resposta

    AA' se torna mais longo, A'B' se inclina mais longe da superfície e o raio refratado se inclina para longe do normal.

    Este applet de Walter Fendt mostra uma animação de reflexão e refração usando as wavelets da Huygens enquanto você controla os parâmetros. Certifique-se de clicar em “Próxima etapa” para exibir as wavelets. Você pode ver as frentes de ondas refletidas e refratadas se formando.

    Difração

    O que acontece quando uma onda passa por uma abertura, como a luz brilhando através de uma porta aberta para um quarto escuro? Para obter luz, observamos uma sombra nítida da porta no chão da sala, e nenhuma luz visível se curva nos cantos para outras partes da sala. Quando o som passa por uma porta, nós o ouvimos em todos os lugares da sala e, assim, observamos que o som se espalha ao passar por essa abertura (Figura\(\PageIndex{6}\)). Qual é a diferença entre o comportamento das ondas sonoras e das ondas de luz nesse caso? A resposta é que a luz tem comprimentos de onda muito curtos e age como um raio. O som tem comprimentos de onda na ordem do tamanho da porta e se curva nos cantos (para frequência de 1000 Hz,

    \ [\ lambda =\ dfrac {c} {f} =\ dfrac {330\, m/s} {1000\, s^ {−1}} =0,33\, m,\ nonumber\]

    cerca de três vezes menor que a largura da porta).

    A Figura a é uma vista de cima de um diagrama de uma parede na qual há uma porta aberta. A parede se estende da parte inferior do diagrama até o topo e a porta forma uma lacuna na parede. A porta em si é aberta para a esquerda e está posicionada a cerca de quarenta e cinco graus da parede na qual ela gira. A luz, chamada de lambda pequena, incide do lado esquerdo da parede. Parte da luz passa pela porta aberta. A luz que passa pela porta tem bordas nítidas, correspondendo às sombras retas acima e abaixo. A porta aberta também cria uma sombra reta entre ela e a parede. A parte b da figura mostra um diagrama semelhante. Uma linha paralela à parede se aproxima da parede pela esquerda e é rotulada como onda plana na frente do som. Há cinco pontos uniformemente espaçados na porta aberta, rotulados de um a cinco. Os semicírculos aparecem à direita desses pontos entrando na sala à direita da parede. Colocando todos esses semicírculos entre colchetes, há uma linha que tem a forma de fechar um colchete com cantos arredondados. Essa linha é chamada de som. Há cinco raios mostrados apontando da linha de suporte para a sala à direita da parede. Três desses raios apontam horizontalmente para a direita, um raio aponta para cima e para a direita e o último raio aponta para baixo e para a direita. Esse último raio aponta para o ouvido de uma pessoa que vemos de cima e que é rotulada como ouvinte ouve o som ao virar da esquina.
    Figura\(\PageIndex{6}\): (a) A luz que passa por uma porta faz um contorno nítido no chão. Como o comprimento de onda da luz é muito pequeno em comparação com o tamanho da porta, ele age como um raio. (b) As ondas sonoras se curvam em todas as partes da sala, um efeito de onda, porque seu comprimento de onda é semelhante ao tamanho da porta.

    Se passarmos luz por aberturas menores, como fendas, podemos usar o princípio de Huygens para ver que a luz se curva como o som (Figura\(\PageIndex{7}\)). A flexão de uma onda ao redor das bordas de uma abertura ou obstáculo é chamada de difração. A difração é uma característica da onda e ocorre em todos os tipos de ondas. Se a difração for observada para algum fenômeno, é uma evidência de que o fenômeno é uma onda. Assim, a difração horizontal do feixe de laser após ele passar pelas fendas na Figura\(\PageIndex{7}\) é uma evidência de que a luz é uma onda.

    A figura mostra três diagramas que ilustram ondas se espalhando ao passar por aberturas de vários tamanhos. Cada ilustração é uma vista superior, e as frentes das ondas planas incidentes são representadas por linhas verticais. O comprimento de onda, lambda, é a distância entre as linhas adjacentes e é o mesmo nos três diagramas. O primeiro diagrama mostra as frentes de onda passando por uma abertura que é larga em comparação com o comprimento de onda. As frentes onduladas que emergem do outro lado da abertura têm pequenas curvaturas nas bordas. O segundo diagrama mostra as frentes das ondas passando por uma abertura menor. As ondas experimentam mais curvas, mas ainda têm uma parte reta. O terceiro diagrama mostra frentes de onda passando por uma abertura que tem aproximadamente o mesmo tamanho do comprimento de onda. Essas ondas mostram uma curvatura significativa e, de fato, parecem circulares em vez de retas.
    Figura\(\PageIndex{7}\): O princípio de Huygens aplicado a uma frente de onda plana atingindo uma abertura. As bordas da frente da onda se curvam após passarem pela abertura, um processo chamado difração. A quantidade de flexão é mais extrema para uma pequena abertura, consistente com o fato de que as características da onda são mais perceptíveis para interações com objetos aproximadamente do mesmo tamanho que o comprimento de onda.