29.6: A natureza ondulatória da matéria

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Descreva o experimento de Davisson-Germer e explique como ele fornece evidências da natureza ondulatória dos elétrons.

Em 1923, um estudante francês de graduação em física chamado Prince Louis-Victor de Broglie (1892-1987) fez uma proposta radical baseada na esperança de que a natureza seja simétrica. Se a radiação EM tivesse propriedades de partículas e ondas, a natureza seria simétrica se a matéria também tivesse propriedades de partículas e ondas. Se o que antes considerávamos uma onda inequívoca (radiação EM) também é uma partícula, então o que consideramos uma partícula inequívoca (matéria) também pode ser uma onda. A sugestão de De Broglie, feita como parte de sua tese de doutorado, foi tão radical que foi recebida com algum ceticismo. Uma cópia de sua tese foi enviada a Einstein, que disse que ela não estava apenas provavelmente correta, mas que poderia ser de fundamental importância. Com o apoio de Einstein e de alguns outros físicos proeminentes, de Broglie recebeu seu doutorado.

De Broglie levou em consideração a relatividade e a mecânica quântica para desenvolver a proposta de que todas as partículas têm um comprimento de onda, dada por

\[\lambda = \dfrac{h}{p} \, (\text{matter and photons}),\]

onde\(h\) Planck é constante e\(p\) é momentum. Isso é definido como o comprimento de onda de Broglie. (Observe que já temos isso para fótons, da equação\(p = h/\lambda\).) A marca registrada de uma onda é a interferência. Se a matéria é uma onda, ela deve apresentar interferência construtiva e destrutiva. Por que isso não é normalmente observado? A resposta é que, para ver efeitos de interferência significativos, uma onda deve interagir com um objeto aproximadamente do mesmo tamanho de seu comprimento de onda. Como\(h\) é muito pequeno, também\(\lambda\) é pequeno, especialmente para objetos macroscópicos. Uma bola de boliche de 3 kg movendo-se a 10 m/s, por exemplo, tem

\[\begin{align*} \lambda &= h/p \\[4pt] &= (6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s)/[(3 \, kg)(10 \, m/s)] \\[4pt] &= 2 \times 10^{-35} \, m. \end{align*}\]

Isso significa que, para ver suas características de onda, a bola de boliche teria que interagir com algo\(10^{-35} \, m\) de tamanho — muito menor do que qualquer coisa conhecida. Quando as ondas interagem com objetos muito maiores do que seu comprimento de onda, elas mostram efeitos de interferência insignificantes e se movem em linhas retas (como raios de luz na óptica geométrica). Para obter efeitos de interferência de partículas de matéria facilmente observáveis, seria útil o maior comprimento de onda e, portanto, a menor massa possível. Portanto, esse efeito foi observado pela primeira vez com elétrons.

Os físicos americanos Clinton J. Davisson e Lester H. Germer em 1925 e, independentemente, o físico britânico G. P. Thomson (filho de J. J. Thomson, descobridor do elétron) em 1926 espalharam elétrons dos cristais e encontraram padrões de difração. Esses padrões são exatamente consistentes com a interferência de elétrons com o comprimento de onda de Broglie e são um tanto análogos à luz interagindo com uma grade de difração (Figura\(\PageIndex{1}\))

Conexões: Ondas

Todas as partículas microscópicas, sejam elas sem massa, como fótons, ou com massa, como elétrons, têm propriedades de onda. A relação entre momento e comprimento de onda é fundamental para todas as partículas.

A proposta de De Broglie de uma natureza ondulatória para todas as partículas iniciou uma era notavelmente produtiva na qual as bases da mecânica quântica foram lançadas. Em 1926, o físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961) publicou quatro artigos nos quais a natureza ondulatória das partículas era tratada explicitamente com equações de onda. Ao mesmo tempo, muitos outros começaram um trabalho importante. Entre eles estava o físico alemão Werner Heisenberg (1901—1976) que, entre muitas outras contribuições à mecânica quântica, formulou um tratamento matemático da natureza ondulatória da matéria que usava matrizes em vez de equações de onda. Trataremos de alguns detalhes em seções posteriores, mas é importante notar que o trabalho de de Broglie foi um divisor de águas para o desenvolvimento da mecânica quântica. De Broglie recebeu o Prêmio Nobel em 1929 por sua visão, assim como Davisson e G. P. Thomson em 1937 pela verificação experimental da hipótese de De Broglie.

Figura\(\PageIndex{1}\): Esse padrão de difração foi obtido para elétrons difratados por silício cristalino. Regiões claras são aquelas de interferência construtiva, enquanto regiões escuras são aquelas de interferência destrutiva. (crédito: Ndthe, Wikimedia Commons)

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Electron Wavelength versus Velocity and Energy

Para um elétron com um comprimento de onda de Broglie de 0,167 nm (apropriado para interagir com estruturas cristalinas de aproximadamente esse tamanho):

1. Calcule a velocidade do elétron, supondo que não seja relativista.
2. Calcule a energia cinética do elétron em eV.

Estratégia

Para a parte (a), uma vez que o comprimento de onda de Broglie é dado, a velocidade do elétron pode ser obtida\(\lambda = h/p\) usando a fórmula não relativista para o momento,\(p = mv\). Para a parte (b), uma vez\(v\) obtida (e foi verificado que não\(v\) é relativista), a energia cinética clássica é simples\((1/2)mv^2\).

Solução para (a)

Substituindo a fórmula não relativística por momentum\((p = mv)\) no comprimento de onda de Broglie dá

\[\begin{align*} \lambda &= \dfrac{h}{p} \\[4pt] &= \dfrac{h}{mv}. \end{align*}\]

Resolvendo\(v\) doações

\[v =\dfrac{h}{m\lambda}.\nonumber\]

Substituir valores conhecidos rende

\[\begin{align*} v &= \dfrac{6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s}{(9.11 \times 10^{-31} \, kg)(0.167 \times 10^{-9} \, m)} \\[4pt] &= 4.36 \times 10^6 \, m/s.\end{align*}\]

Solução para (b)

Embora rápida em comparação com um carro, a velocidade desse elétron não é altamente relativista e, portanto, podemos usar confortavelmente a fórmula clássica para encontrar a energia cinética do elétron e convertê-la em eV conforme solicitado.

\[\begin{align*} KE &= \dfrac{1}{2} mv^2 \\[4pt] &= \dfrac{1}{2}(9.11 \times 10^{-31} \, kg)(4.36 \times 10^6 \times 10^6 \, m/s)^2 \\[4pt] &= (86.4 \times 10^{-18} \, J)\left(\dfrac{1 \, eV}{1.601 \times 10^{-19} \, J}\right) \\[4pt] &= 54.0 \, eV \end{align*} \]

Discussão

Essa baixa energia significa que esses elétrons de 0,167 nm poderiam ser obtidos acelerando-os através de um potencial eletrostático de 54,0 V, uma tarefa fácil. Os resultados também confirmam a suposição de que os elétrons não são relativísticos, já que sua velocidade é pouco mais de 1% da velocidade da luz e a energia cinética é cerca de 0,01% da energia restante de um elétron (0,511 MeV). Se os elétrons tivessem se mostrado relativísticos, teríamos que usar cálculos mais complexos empregando fórmulas relativistas.

Microscópios eletrônicos

Uma consequência ou uso da natureza ondulatória da matéria é encontrada no microscópio eletrônico. Como discutimos, há um limite para os detalhes observados com qualquer sonda com comprimento de onda. A resolução, ou detalhes observáveis, é limitada a cerca de um comprimento de onda. Como um potencial de apenas 54 V pode produzir elétrons com comprimentos de onda abaixo dos nanômetros, é fácil obter elétrons com comprimentos de onda muito menores do que os da luz visível (centenas de nanômetros). Os microscópios eletrônicos podem, portanto, ser construídos para detectar detalhes muito menores do que os microscópios ópticos (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Existem basicamente dois tipos de microscópios eletrônicos. O microscópio eletrônico de transmissão (TEM) acelera os elétrons que são emitidos por um filamento quente (o cátodo). O feixe é ampliado e depois passa pela amostra. Uma lente magnética focaliza a imagem do feixe em uma tela fluorescente, uma placa fotográfica ou (muito provavelmente) uma CCD (câmera sensível à luz), da qual é transferida para um computador. O TEM é semelhante ao microscópio óptico, mas requer uma amostra fina examinada no vácuo. No entanto, ele pode resolver detalhes tão pequenos quanto 0,1 nm (\(10^{-10} \, m\)), fornecendo ampliações de 100 milhões de vezes o tamanho do objeto original. O TEM nos permitiu ver átomos individuais e a estrutura dos núcleos celulares.

O microscópio eletrônico de varredura (SEM) fornece imagens usando elétrons secundários produzidos pelo feixe primário interagindo com a superfície da amostra (Figura\(\PageIndex{2}\)). O SEM também usa lentes magnéticas para focar o feixe na amostra. No entanto, ele move o feixe eletricamente para “escanear” a amostra nas direções x e y. Um detector CCD é usado para processar os dados para cada posição do elétron, produzindo imagens como a do início deste capítulo. O SEM tem a vantagem de não exigir uma amostra fina e de fornecer uma visão 3D. No entanto, sua resolução é cerca de dez vezes menor do que um TEM.

Figura\(\PageIndex{2}\): Esquema de um microscópio eletrônico de varredura (SEM) (a) usado para observar pequenos detalhes, como os vistos nesta imagem de um dente de um Himipristis, um tipo de tubarão (b). (crédito: Dallas Krentzel, Flickr)

Os elétrons foram as primeiras partículas com massa a serem confirmadas diretamente como tendo o comprimento de onda proposto por de Broglie. Posteriormente, observou-se que prótons, núcleos de hélio, nêutrons e muitos outros exibem interferência quando interagem com objetos com tamanhos semelhantes ao comprimento de onda de Broglie. O comprimento de onda de Broglie para partículas sem massa foi bem estabelecido na década de 1920 para fótons, e desde então foi observado que todas as partículas sem massa têm um comprimento de onda de Broglie\(\lambda = h/p\). A natureza ondulatória de todas as partículas é uma característica universal da natureza. Veremos nas seções a seguir que as implicações do comprimento de onda de Broglie incluem a quantização da energia em átomos e moléculas e uma alteração de nossa visão básica da natureza na escala microscópica. A próxima seção, por exemplo, mostra que há limites na precisão com a qual podemos fazer previsões, independentemente do quanto tentemos. Existem até limites para a precisão com a qual podemos medir a localização ou a energia de um objeto.

FAZENDO CONEXÕES

A natureza ondulatória da matéria permite que ela exiba todas as características de outras ondas mais familiares. As grades de difração, por exemplo, produzem padrões de difração para a luz que dependem do espaçamento da grade e do comprimento de onda da luz. Esse efeito, como acontece com a maioria dos fenômenos de onda, é mais pronunciado quando a onda interage com objetos de tamanho semelhante ao seu comprimento de onda. Para grades, esse é o espaçamento entre várias fendas.) Quando os elétrons interagem com um sistema com um espaçamento semelhante ao comprimento de onda do elétron, eles mostram os mesmos tipos de padrões de interferência que a luz faz para as grades de difração, conforme mostrado no canto superior esquerdo na Figura\(\PageIndex{3}\).

Os átomos são espaçados em intervalos regulares em um cristal como planos paralelos, conforme mostrado na parte inferior da Figura\(\PageIndex{3}\). Os espaçamentos entre esses planos agem como as aberturas em uma grade de difração. Em certos ângulos de incidência, os caminhos dos elétrons espalhados por planos sucessivos diferem em um comprimento de onda e, portanto, interferem de forma construtiva. Em outros ângulos, as diferenças de comprimento do caminho não são um comprimento de onda integral e há interferência destrutiva parcial ou total. Esse tipo de dispersão de um grande cristal com planos de rede bem definidos pode produzir padrões de interferência dramáticos. É chamada de reflexão de Bragg, para a equipe de pai e filho que primeiro a explorou e analisou com alguns detalhes. A visualização expandida também mostra as diferenças de comprimento do caminho e indica como elas dependem do ângulo\(\theta\) de incidência de maneira semelhante aos padrões de difração dos raios X refletidos em um cristal.

Figura\(\PageIndex{3}\): O padrão de difração no canto superior esquerdo é produzido pela dispersão de elétrons de um cristal e é representado graficamente em função do ângulo de incidência em relação à matriz regular de átomos em um cristal, conforme mostrado na parte inferior. Os elétrons espalhados da segunda camada de átomos viajam mais longe do que aqueles espalhados pela camada superior. Se a diferença de comprimento do caminho (PLD) for um comprimento de onda integral, há interferência construtiva.

Vamos considerar o espaçamento entre planos paralelos de átomos no cristal em si\(d\). Conforme mencionado, se a diferença de comprimento do caminho (PLD) para os elétrons for um número inteiro de comprimentos de onda, haverá interferência construtiva, ou seja,\(PLD = n\lambda \, (n = 1, \, 2, \, 3, . . .)\). Porque\(AB = BC = d \, \sin \, \theta\) temos interferência construtiva quando

\[n\lambda = 2d \, \sin \, \theta.\]

Essa relação é chamada de equação de Bragg e se aplica não apenas aos elétrons, mas também aos raios X.

O comprimento de onda da matéria é uma característica submicroscópica que explica um fenômeno macroscópico, como a reflexão de Bragg. Da mesma forma, o comprimento de onda da luz é uma característica submicroscópica que explica o fenômeno macroscópico dos padrões de difração.

Resumo

• Partículas de matéria também têm um comprimento de onda, chamado de comprimento de onda de Broglie, dado por\(\lambda = \frac{h}{p}\), onde\(p\) está o momento.
• Descobriu-se que a matéria tem as mesmas características de interferência de qualquer outra onda.

Glossário

comprimento de onda de Broglie

o comprimento de onda possuído por uma partícula de matéria, calculado por\(\lambda = h/p\)