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28.6: Energia relativista

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Calcule a energia total de um objeto relativista.
    • Calcule a energia cinética de um objeto relativista.
    • Descreva a energia de repouso e explique como ela pode ser convertida em outras formas.
    • Explique por que partículas massivas não podem atingir C.

    Um tokamak é uma forma de reator de fusão experimental, que pode transformar massa em energia. Conseguir isso requer uma compreensão da energia relativista. Os reatores nucleares são a prova da conservação da energia relativista.

    Esta foto mostra a parte externa do reator de fusão do Experimento Nacional de Toro Esférico no Laboratório de Física de Plasma de Princeton. O reator, que fica em uma sala grande, está conectado a vários tubos e instrumentos.
    Figura\(\PageIndex{1}\): O National Spherical Torus Experiment (NSTX) tem um reator de fusão no qual isótopos de hidrogênio passam por fusão para produzir hélio. Nesse processo, uma massa relativamente pequena de combustível é convertida em uma grande quantidade de energia. (crédito: Princeton Plasma Physics Laboratory)

    A conservação da energia é uma das leis mais importantes da física. Não só a energia tem muitas formas importantes, mas cada forma pode ser convertida em qualquer outra. Sabemos que, classicamente, a quantidade total de energia em um sistema permanece constante. Relativisticamente, a energia ainda é conservada, desde que sua definição seja alterada para incluir a possibilidade de mudança de massa para energia, como nas reações que ocorrem dentro de um reator nuclear. A energia relativista é definida intencionalmente para que seja conservada em todos os quadros inerciais, assim como é o caso do momento relativístico. Como consequência, aprendemos que várias quantidades fundamentais estão relacionadas de maneiras não conhecidas na física clássica. Todas essas relações são verificadas por experimentos e têm consequências fundamentais. A definição alterada de energia contém alguns dos novos insights mais fundamentais e espetaculares da natureza encontrados na história recente.

    Energia total e energia de descanso

    O primeiro postulado da relatividade afirma que as leis da física são as mesmas em todos os quadros inerciais. Einstein mostrou que a lei de conservação de energia é válida relativisticamente, se definirmos energia para incluir um fator relativista.

    Definição: Energia total

    A energia total\(E\) é definida como

    \[E = \gamma mc^2,\]

    onde\(m\) é massa,\(c\) é a velocidade da luz e\(v\) é a velocidade da massa em relação a um observador.\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)

    Há muitos aspectos da energia total\(E\) que discutiremos — entre eles estão como as energias cinéticas e potenciais são incluídas\(E\) e como\(E\) estão relacionadas ao momento relativístico. Mas primeiro, observe que, em repouso, a energia total não é zero. Em vez disso\(v = 0\), quando temos\(\gamma = 1\) e um objeto tem energia de repouso.

    Definição: Energia de descanso

    A energia de descanso é

    \[E_0 = mc^2.\]

    Essa é a forma correta da equação mais famosa de Einstein, que pela primeira vez mostrou que a energia está relacionada à massa de um objeto em repouso. Por exemplo, se a energia for armazenada no objeto, sua massa restante aumenta. Isso também implica que a massa pode ser destruída para liberar energia. As implicações dessas duas primeiras equações em relação à energia relativista são tão amplas que não foram completamente reconhecidas por alguns anos depois que Einstein as publicou em 1907, nem a prova experimental de que elas estão corretas foi amplamente reconhecida inicialmente. Einstein, deve-se notar, compreendeu e descreveu os significados e implicações de sua teoria.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Rest Energy: Rest Energy is Very Large

    Calcule a energia restante de uma massa de 1,00 g.

    Estratégia

    Um grama é uma massa pequena — menos da metade da massa de um centavo. Podemos multiplicar essa massa, em unidades SI, pela velocidade da luz ao quadrado para encontrar a energia de repouso equivalente.

    Solução

    1. Identifique os conhecidos:\(m = 1.00 \times 10^{-3} \, kg\);\(c = 3.00 \times 10^8 \, m/s\)
    2. Identifique o desconhecido:\(E_0\)
    3. Escolha a equação apropriada:\(E_0 = mc^2\)
    4. Insira os conhecidos na equação:\[ \begin{align*} E_0 &= mc^2 \\[4pt] &= (1.00 \times 10^{-3} \, kg)(3.00 \times 10^8 \, m/s)^2 \\[4pt] &= 9.00 \times 10^{13} \, kg \cdot m^2/s^2 \end{align*}\]
    5. Converta unidades.

    Observando que\(1 \, kg \cdot m^2/s^2 = 1 \, J\), we see the rest mass energy is \[E_0 = 9.00 \times 19^{13} \, J.\]

    Discussão

    É uma quantidade enorme de energia para uma massa de 1,00 g. Não percebemos essa energia, porque geralmente ela não está disponível. A energia de repouso é grande porque a velocidade da luz\(c^2\) é um número muito grande, então isso\(mc^2\) é enorme para qualquer massa macroscópica. A energia de massa\(9.00 \times 10^{13} \, J\) restante para 1,00 g é cerca de duas vezes a energia liberada pela bomba atômica de Hiroshima e cerca de 10.000 vezes a energia cinética de um grande porta-aviões. Se for possível encontrar uma maneira de converter a energia da massa restante em alguma outra forma (e todas as formas de energia podem ser convertidas umas nas outras), então grandes quantidades de energia podem ser obtidas com a destruição da massa.

    Hoje, as aplicações práticas da conversão de massa em outra forma de energia, como em armas nucleares e usinas nucleares, são bem conhecidas. Mas também existiam exemplos quando Einstein propôs pela primeira vez a forma correta da energia relativista e descreveu alguns deles. A radiação nuclear havia sido descoberta na década anterior e era um mistério sobre a origem de sua energia. A explicação foi que, em certos processos nucleares, uma pequena quantidade de massa é destruída e a energia é liberada e transportada pela radiação nuclear. Mas a quantidade de massa destruída é tão pequena que é difícil detectar a falta de alguma. Embora Einstein tenha proposto isso como a fonte de energia nos sais radioativos que estavam sendo estudados, muitos anos se passaram até que houvesse um amplo reconhecimento de que a massa poderia ser e, de fato, comumente é convertida em energia (Figura\(\PageIndex{1}\)).

    A parte a da figura mostra uma tempestade solar no Sol. A parte b da figura mostra a Estação Elétrica a Vapor Susquehanna, que produz eletricidade por fissão nuclear.
    Figura\(\PageIndex{2}\): O Sol (a) e a Estação Elétrica a Vapor Susquehanna (b) convertem massa em energia - o Sol via fusão nuclear, a estação elétrica via fissão nuclear. (créditos: (a) NASA/Goddard Space Flight Center, Estúdio de Visualização Científica; (b) governo dos EUA)

    Por causa da relação da energia de repouso com a massa, agora consideramos a massa como uma forma de energia em vez de algo separado. Não havia sequer um indício disso antes do trabalho de Einstein. Essa conversão agora é conhecida por ser a fonte da energia do Sol, a energia da decomposição nuclear e até mesmo a fonte de energia que mantém o interior da Terra quente.

    Energia armazenada e energia potencial

    O que acontece com a energia armazenada em um objeto em repouso, como a energia colocada em uma bateria ao carregá-la ou a energia armazenada na mola comprimida de uma arma de brinquedo? A entrada de energia se torna parte da energia total do objeto e, assim, aumenta sua massa restante. Toda energia armazenada e potencial se torna massa em um sistema. Por que normalmente não notamos isso? De fato, a conservação da massa (significando que a massa total é constante) foi uma das grandes leis verificadas pela ciência do século XIX. Por que não foi percebido como incorreto? O exemplo a seguir ajuda a responder a essas perguntas.

    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Rest Mass: A Small Mass Increase due to Energy Input

    A bateria de um carro é classificada para ser capaz de mover 600 amperes-hora\(( \cdot h)\) de carga a 12,0 V.

    1. Calcule o aumento na massa restante dessa bateria quando ela é levada de totalmente esgotada para totalmente carregada.
    2. Que aumento percentual é esse, considerando que a massa da bateria é de 20,0 kg?

    Estratégia

    Na parte (a), primeiro devemos encontrar a energia armazenada na bateria, que é igual à que a bateria pode fornecer na forma de energia potencial elétrica. Desde então\(PE_{elec} = qV\), temos que calcular a carga\(q\) em\(600 \, A \cdot h\), que é o produto da corrente\(I\) e da hora\(t\). Em seguida, multiplicamos o resultado por 12,0 V. Podemos então calcular o aumento de massa da bateria usando\(\Delta E = PE_{elec} = (\Delta m)c^2\).

    A parte (b) é uma proporção simples convertida em porcentagem.

    Solução para (a)

    1. Identifique os conhecidos:\(I \cdot t = 600 \, A \cdot h\);\(V = 12.0 \, V\);\(c = 3.00 \times 10^8 \, m/s\)
    2. Identifique o desconhecido:\(\delta m\)
    3. Escolha a equação apropriada:\(PE_{elec} = (\Delta m)c^2\)
    4. Reorganize a equação para resolver o desconhecido:\(\Delta m = \frac{PE_{elec}}{c^2}\)
    5. Conecte os conhecidos na equação:\[ \Delta m = \dfrac{PE_{elec}}{c^2} = \dfrac{qV}{c^2} = \dfrac{(It)V}{c^2} = \dfrac{(600 \, A \cdot h)(12.0 \, V)}{(3.00 \times 10^8)^2}.\] escreva amperes A como coulombs por segundo (C/s) e converta horas em segundos. \[\Delta m = \dfrac{(600 \, C/s \cdot h(\frac{3600 \, s}{1 \, h})(12.0 \, J/C)}{3.00 \times 10^8 \, m/s)^2}\]\[ = \dfrac{(2.16 \times 10^6 \, C)(12.0 \, J/C)}{(3.00 \times 10^8 \, m/s)^2}\]Usando a conversão\(1 \, kg \cdot m^2/c^2 = 1 \, J\), podemos escrever a massa como\(\delta m = 2.88 \times 10^{-10} \, kg\).

    Solução para (b)

    1. Identifique os conhecidos:\(\Delta m = 2.88 \times 10^{-10} \, kg\);\(m = 20.0 \, kg\)
    2. Identifique o desconhecido:% de variação
    3. Escolha a equação apropriada:\(\% \, increase = \frac{\Delta m}{m} \times 100\%\)
    4. Insira os conhecidos na equação:\[\% \, increase = \dfrac{\delta m}{m} \times 100\% = \dfrac{2.88 \times 10^{-10} \, kg}{20.0 \, kg} \times 100\% = 1.44 \times 10^{-9}\%\]

    Discussão

    Tanto o aumento real da massa quanto o aumento percentual são muito pequenos, já que a energia é dividida por\(c^2\) um número muito grande. Teríamos que ser capazes de medir a massa da bateria com uma precisão de um bilionésimo de um por cento, ou 1 parte em\(10^{11}\), para perceber esse aumento. Não é de admirar que a variação de massa não seja facilmente observada. Na verdade, essa mudança de massa é tão pequena que podemos questionar como você pode verificar se ela é real. A resposta é encontrada em processos nucleares nos quais a porcentagem de massa destruída é grande o suficiente para ser medida. A massa do combustível de um reator nuclear, por exemplo, é mensuravelmente menor quando sua energia é usada. Nesse caso, a energia armazenada foi liberada (convertida principalmente em calor e eletricidade) e a massa restante diminuiu. Esse também é o caso quando você usa a energia armazenada em uma bateria, exceto que a energia armazenada é muito maior em processos nucleares, tornando a mudança na massa mensurável na prática e na teoria.

    Energia cinética e o limite máximo de velocidade

    A energia cinética é a energia do movimento. Classicamente, a energia cinética tem a expressão familiar\(\frac{1}{2} mv^2\). A expressão relativista da energia cinética é obtida do teorema da energia do trabalho. Esse teorema afirma que a rede em um sistema entra em energia cinética. Se nosso sistema começa do repouso, então o teorema trabalho-energia é

    \[W_{net} = KE.\]

    Relativisticamente, em repouso, temos energia de descanso\(E_0 = mc^2\). O trabalho aumenta isso para a energia total\(E = \gamma mc^2\). Assim,

    \[W_{net} = E - E_0 = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2.\]

    Relativisticamente, temos\(W_{net} = KE_{rel}.\)

    Definição: Energia cinética relativista

    A energia cinética relativista é

    \[KE_{rel} = (\gamma - 1)mc^2.\]

    Quando imóveis, temos\(v = 0\) e

    \[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1,\]

    para que\(KE_{rel} = 0\) em repouso, como esperado. Mas a expressão para energia cinética relativista (como energia total e energia de repouso) não se parece muito com a clássica.\(\frac{1}{2}mv^2\) Para mostrar que a expressão clássica para energia cinética é obtida em baixas velocidades, notamos que a expansão binomial para\(\gamma\) em baixas velocidades dá

    \[\gamma = 1 + \dfrac{1}{2} \dfrac{v^2}{c^2}.\]

    Inserir isso na expressão de energia cinética relativista dá

    \[KE_{rel} = \left[\dfrac{1}{2} \dfrac{v^2}{c^2} \right] mc^2 = \dfrac{1}{2}mv^2 = KE_{class}.\]

    Então, na verdade, a energia cinética relativista se torna a mesma que a energia cinética clássica quando\(v < < c\).

    É ainda mais interessante investigar o que acontece com a energia cinética quando a velocidade de um objeto se aproxima da velocidade da luz. Sabemos que isso\(\gamma\) se torna infinito à medida que se\(v\) aproxima\(c\), então isso\(KE_{rel}\) também se torna infinito à medida que a velocidade se aproxima da velocidade da luz (Figura\(\PageIndex{1}\)). Uma quantidade infinita de trabalho (e, portanto, uma quantidade infinita de entrada de energia) é necessária para acelerar uma massa até a velocidade da luz.

    Definição: Velocidade da luz

    Nenhum objeto com massa pode atingir a velocidade da luz.

    Portanto, a velocidade da luz é o limite máximo de velocidade para qualquer partícula com massa. Tudo isso é consistente com o fato de que velocidades menores do que\(c\) sempre se somam a menos de\(c\). Tanto a forma relativista da energia cinética quanto o limite máximo de velocidade\(c\) foram confirmados em detalhes em vários experimentos. Não importa quanta energia seja investida na aceleração de uma massa, sua velocidade só pode se aproximar — e não atingir — a velocidade da luz.

    Nesta figura, um gráfico é mostrado em um sistema de coordenadas de eixos. O eixo x é rotulado como velocidade v (m/s). No eixo x, a velocidade do objeto é mostrada em termos da velocidade da luz começando de zero na origem até c, onde c é a velocidade da luz. O eixo y é rotulado como Energia Cinética K E (J). No eixo y, a energia cinética relativística é mostrada começando de 0 na origem até 1,0. O gráfico K sub r e l da energia cinética relativística é côncavo para cima e se move para cima ao longo da linha vertical em x igual a c. Este gráfico mostra que a energia cinética relativista se aproxima do infinito quando a velocidade de um objeto se aproxima da velocidade da luz. Também é mostrado que quando a velocidade do objeto é igual à velocidade da luz c, a energia cinética é conhecida como energia cinética clássica, que é denotada como subclasse K E.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Este gráfico de\(KE_{rel}\) versus velocidade mostra como a energia cinética se aproxima do infinito à medida que a velocidade se aproxima da velocidade da luz. Portanto, não é possível que um objeto com massa alcance a velocidade da luz. Também é\(KE_{class}\) mostrada a energia cinética clássica, que é semelhante à energia cinética relativista em baixas velocidades. Observe que é necessária muito mais energia para atingir altas velocidades do que o previsto classicamente.

    Exemplo\(\PageIndex{3}\): Comparing Kinetic Energy: Relativistic Energy Versus Classical Kinetic Energy

    Um elétron tem uma velocidade\(v = 0.990 c\).

    1. Calcule a energia cinética em MeV do elétron.
    2. Compare isso com o valor clássico da energia cinética nessa velocidade. (A massa de um elétron é\(9.11 \times 10^{-31} \, kg\).)

    Estratégia

    A expressão para energia cinética relativista está sempre correta, mas para (a) ela deve ser usada, pois a velocidade é altamente relativista (próxima de\(c\)). Primeiro, calcularemos o fator\(\gamma\) relativístico e depois o usaremos para determinar a energia cinética relativista. Para (b), calcularemos a energia cinética clássica (que seria próxima do valor relativista se\(v\) fosse menor que alguns por cento de\(c\)) e veremos que não é a mesma.

    Solução para (a)

    1. Identifique os conhecidos:\(v = 0.990 c\);\(m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg\)
    2. Identifique o desconhecido:\(KE_{rel}\)
    3. Escolha a equação apropriada\(KE_{rel} = (\gamma - 1) mc^2\)
    4. Insira os conhecidos na equação:

    Primeiro calcule\(\gamma\). Carregaremos dígitos extras porque esse é um cálculo intermediário.

    \[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.990 c)^2}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (0.990)^2}} = 7.0888\]

    Em seguida, usamos esse valor para calcular a energia cinética.

    \[KE_{rel} = (\gamma - 1)mc^2 = (7.0888 -1)(9.11 \times 10^{-31} \, kg)(3.00 \times 10^8 \, m/s)^2 = 4.99 \times 10^{-13} \, J\]

    5. Unidades de conversão:

    \[KE_{rel} = (4.99 \times 10^{-13} \, J)\left( \dfrac{1 \, MeV}{1.60 \times 10^{-13} \, J} \right) = 3.12 \, MeV\]

    Solução para (b)

    1. Liste os conhecidos:\(v = 0.990 c\);\(m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg\)
    2. Liste o desconhecido:\(KE_{class}\)
    3. Escolha a equação apropriada:\(KE_{class} = \frac{1}{2} mv^2\)
    4. Insira os conhecidos na equação:\[KE_{class} = \dfrac{1}{2} mv^2\]\[ = \dfrac{1}{2}(9.11 \times 10^{-31} \, kg)(0.990)^2(3.00 \times 10^8 \, m/s)^2\]\[= 4.02 \times 10^{-14} \, J\]
    5. Unidades de conversão:\[KE_{class} = 4.02 \times 10^{-14} \, \left(\dfrac{1 \, MeV}{1.60 \times 10^{-13} \, J}\right) = 0.251 \, MeV\]

    Discussão

    Como era de se esperar, como a velocidade é de 99,0% da velocidade da luz, a energia cinética clássica está significativamente diferente do valor relativístico correto. Observe também que o valor clássico é muito menor do que o valor relativista. Na verdade,\(KE_{rel}/KE_{class} = 12.4\) aqui. Isso é uma indicação de como é difícil fazer com que uma massa se mova perto da velocidade da luz. É necessária muito mais energia do que o previsto classicamente. Algumas pessoas interpretam essa energia extra como um aumento da massa do sistema, mas, conforme discutido em Relativistic Momentum, isso não pode ser verificado de forma inequívoca. O certo é que quantidades cada vez maiores de energia são necessárias para que a velocidade de uma massa fique um pouco mais próxima da da luz. Uma energia de 3 MeV é uma quantidade muito pequena para um elétron e pode ser alcançada com os aceleradores de partículas atuais. O SLAC, por exemplo, pode acelerar a superação dos elétrons\(50 \times 10^9 \, eV = 50,000 MeV\).

    Existe algum sentido em chegar\(v\) um pouco mais perto de c do que 99,0% ou 99,9%? A resposta é sim. Aprendemos muito fazendo isso. A energia que entra em uma massa de alta velocidade pode ser convertida em qualquer outra forma, inclusive em massas inteiramente novas. (Veja a Figura.) Muito do que sabemos sobre a subestrutura da matéria e a coleção de partículas exóticas de vida curta na natureza foi aprendido dessa maneira. As partículas são aceleradas para energias extremamente relativistas e feitas para colidir com outras partículas, produzindo espécies totalmente novas de partículas. Os padrões nas características dessas partículas até então desconhecidas sugerem uma subestrutura básica para toda a matéria. Essas partículas e algumas de suas características serão abordadas em Física de Partículas.

    Vista aérea do Fermi National Accelerator Laboratory. O acelerador tem duas grandes estruturas em forma de anel. Existem lagoas circulares perto dos anéis.
    Figura\(\PageIndex{4}\): O Fermi National Accelerator Laboratory, perto de Batavia, Illinois, era um colisor de partículas subatômicas que acelerava prótons e antiprótons para atingir energias de até 1 Tev (um trilhão de elétronvolts). As lagoas circulares próximas aos anéis foram construídas para dissipar o calor residual. Esse acelerador foi desligado em setembro de 2011. (crédito: Fermilab, Reidar Hahn)

    Energia e momento relativísticos

    Sabemos classicamente que a energia cinética e o momento estão relacionados entre si, já que\[KE_{class} = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{(mv)^2}{2m} = \dfrac{1}{2} mv^2.\]

    Relativisticamente, podemos obter uma relação entre energia e momento manipulando algebricamente suas definições. Isso produz

    \[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2,\]

    onde\(E\) está a energia total relativista e\(p\) é o momento relativístico. Essa relação entre energia relativista e momentum relativista é mais complicada do que a clássica, mas podemos obter algumas novas e interessantes percepções examinando-a. Primeiro, a energia total está relacionada ao momento e à massa de repouso. Em repouso, o momento é zero e a equação fornece a energia total como a energia restante\(mc^2\) (portanto, essa equação é consistente com a discussão da energia de repouso acima). No entanto, à medida que a massa é acelerada, seu momentum\(p\) aumenta, aumentando assim a energia total. Em velocidades suficientemente altas, o termo de energia restante\((mc^2)^2\) se torna insignificante em comparação com o termo de momento\((pc)^2\); portanto,\(E = pc\) em velocidades extremamente relativistas.

    Se considerarmos que\(p\) o momento é distinto da massa, podemos determinar as implicações da equação\(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\), para uma partícula que não tem massa. Se\(m\) considerarmos zero nesta equação, então\(E = pc\), ou\(p = E/c\). Partículas sem massa têm esse impulso. Existem várias partículas sem massa encontradas na natureza, incluindo fótons (esses são quanta de radiação eletromagnética). Outra implicação é que uma partícula sem massa deve viajar em velocidade\(c\) e somente em velocidade\(c\). Embora esteja além do escopo deste texto examinar a relação na equação\(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\), em detalhes, podemos ver que a relação tem implicações importantes na relatividade especial.

    ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA A RELATIVIDADE

    1. Examine a situação para determinar se é necessário usar a relatividade. Os efeitos relativísticos estão relacionados ao\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) fator relativista quantitativo. Se\(\gamma\) for muito próximo de 1, então os efeitos relativísticos são pequenos e diferem muito pouco dos cálculos clássicos geralmente mais fáceis.
    2. Identifique exatamente o que precisa ser determinado no problema (identifique as incógnitas).
    3. Faça uma lista do que é dado ou pode ser inferido do problema conforme declarado (identifique os conhecidos). Procure, em particular, informações sobre velocidade relativa\(v\).
    4. Certifique-se de entender os aspectos conceituais do problema antes de fazer qualquer cálculo. Decida, por exemplo, qual observador vê o tempo dilatado ou o comprimento contraído antes de inserir as equações. Se você pensou em quem vê o quê, quem está se movendo com o evento que está sendo observado, quem vê a hora certa e assim por diante, achará muito mais fácil determinar se seu cálculo é razoável.
    5. Determine o principal tipo de cálculo a ser feito para encontrar as incógnitas identificadas acima. Você achará o resumo da seção útil para determinar se uma contração de comprimento, energia cinética relativista ou algum outro conceito está envolvido.
    6. Não arredonde durante o cálculo. Conforme observado no texto, você geralmente deve realizar seus cálculos com vários dígitos para ver o efeito desejado. Você pode arredondar no final do problema, mas não use um número arredondado em um cálculo subsequente.
    7. Verifique a resposta para ver se é razoável: Faz sentido? Isso pode ser mais difícil para a relatividade, já que não a encontramos diretamente. Mas você pode procurar velocidades maiores\(c\) ou efeitos relativísticos que estão na direção errada (como uma contração temporal em que uma dilatação era esperada).

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Um fóton decai em um par elétron-pósitron. Qual é a energia cinética do elétron se sua velocidade for\(0.992 c\)?

    Resposta

    \[\begin{align*} KE_{rel} &= (\gamma -1)mc^2 \\[5pt] &= \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) mc^2 \\[5pt] &= \left( \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.992 c)^2}{c^2}}} - 1\right) (9.11 \times 10^{-31} \, kg)(3.00 \times 10^8 \, m/s)^2 \\[5pt] &= 5.67 \times 10^{-13} \, J \end{align*}\]

    Resumo

    • A energia relativista é conservada desde que a definamos para incluir a possibilidade de mudança de massa para energia.
    • A energia total é definida como:\(E = \gamma mc^2\), onde\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
    • A energia de repouso é\(E_0 = mc^2\), o que significa que a massa é uma forma de energia. Se a energia for armazenada em um objeto, sua massa aumenta. A massa pode ser destruída para liberar energia.
    • Normalmente, não notamos o aumento ou a diminuição da massa de um objeto porque a mudança na massa é muito pequena para um grande aumento na energia.
    • O teorema relativístico da energia do trabalho é\(W_{net} = E - E_0 = \gamma mc^2 = (\gamma - 1) mc^2\).
    • Relativisticamente\(W_{net} = KE_{rel}\),, onde\(KE_{rel}\) está a energia cinética relativista.
    • A energia cinética relativista é\(KE_{rel} = (\gamma - 1) mc^2\), onde\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\). Em baixas velocidades, a energia cinética relativista é reduzida à energia cinética clássica.
    • Nenhum objeto com massa pode atingir a velocidade da luz porque uma quantidade infinita de trabalho e uma quantidade infinita de entrada de energia são necessárias para acelerar uma massa até a velocidade da luz.
    • A equação\(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) relaciona a energia total relativística\(E\) e o momento relativístico\(p\). Em velocidades extremamente altas, a energia restante\(mc^2\) se torna insignificante,\(E = pc\) e.

    Glossário

    energia total
    definido como\(E = \gamma mc^2\), onde\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)
    energia de descanso
    a energia armazenada em um objeto em repouso:\(E_0 = mc^2\)
    energia cinética relativista
    a energia cinética de um objeto se movendo em velocidades relativísticas:\(KE_{rel} = (\gamma -1) mc^2\), onde\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)