18.5: Linhas de campo elétrico - cargas múltiplas

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Calcule a força total (magnitude e direção) exercida em uma carga de teste a partir de mais de uma carga
Descreva um diagrama de campo elétrico de uma carga pontual positiva; de uma carga pontual negativa com o dobro da magnitude da carga positiva
Desenhe as linhas do campo elétrico entre dois pontos da mesma carga; entre dois pontos de carga oposta.

Desenhos usando linhas para representar campos elétricos ao redor de objetos carregados são muito úteis para visualizar a intensidade e a direção do campo. Como o campo elétrico tem magnitude e direção, é um vetor. Como todos os vetores, o campo elétrico pode ser representado por uma seta que tem comprimento proporcional à sua magnitude e que aponta na direção correta. (Usamos setas extensivamente para representar vetores de força, por exemplo.)

A figura\(\PageIndex{1}\) mostra duas representações pictóricas do mesmo campo elétrico criado por uma carga pontual positiva\(Q\). A Figura\(\PageIndex{1}\) (b) mostra a representação padrão usando linhas contínuas. A Figura\(\PageIndex{1}\) (b) mostra várias setas individuais com cada seta representando a força em uma carga de teste\(q\). As linhas de campo são essencialmente um mapa de vetores de força infinitesimais.

Na parte a, as linhas do campo elétrico que emanam da carga Q são mostradas pelas setas vetoriais apontando para fora em todas as direções do espaço bidimensional. Na parte b, as linhas do campo elétrico que emanam da carga Q são mostradas pelas setas vetoriais apontando para fora em todas as direções do espaço bidimensional. — Figura\(\PageIndex{1}\): Duas representações equivalentes do campo elétrico devido a uma carga positiva\(Q\). (a) Setas representando a magnitude e a direção do campo elétrico. (b) Na representação padrão, as setas são substituídas por linhas de campo contínuas com a mesma direção em qualquer ponto do campo elétrico. A proximidade das linhas está diretamente relacionada à força do campo elétrico. Uma carga de teste colocada em qualquer lugar sentirá uma força na direção da linha de campo; essa força terá uma força proporcional à densidade das linhas (sendo maior perto da carga, por exemplo).

Observe que o campo elétrico é definido para uma carga de teste positiva\(q\), de forma que as linhas do campo apontem para longe de uma carga positiva e para uma carga negativa. (Figura\(\PageIndex{2}\)) A intensidade do campo elétrico é exatamente proporcional ao número de linhas de campo por unidade de área, uma vez que a magnitude do campo elétrico para uma carga pontual é\(E=k|Q|/r^{2}\) e a área é proporcional\(r^{2}\) a. Essa representação pictórica, na qual as linhas de campo representam a direção e sua proximidade (ou seja, sua densidade de área ou o número de linhas que cruzam uma unidade de área) representa a força, é usada para todos os campos: eletrostático, gravitacional, magnético e outros.

Na parte a, as linhas de campo elétrico que emanam de uma carga positiva são mostradas pelas setas vetoriais em todas as direções do espaço bidimensional e a densidade dessas linhas de campo é menor. Na parte b, as linhas do campo elétrico que entram na carga negativa são mostradas pelas setas vetoriais vindas de todas as direções do espaço bidimensional e a densidade dessas linhas de campo é menor. Na parte c, as linhas do campo elétrico que entram na carga negativa são mostradas pelas setas vetoriais vindas de todas as direções do espaço bidimensional e a densidade dessas linhas de campo é grande. — Figura\(\PageIndex{2}\): O campo elétrico em torno de três cargas pontuais diferentes. (a) Uma carga positiva. (b) Uma carga negativa de igual magnitude. (c) Uma carga negativa maior.

Em muitas situações, há várias cobranças. O campo elétrico total criado por várias cargas é a soma vetorial dos campos individuais criados por cada carga. O exemplo a seguir mostra como adicionar vetores de campo elétrico.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Adding Electric Fields

Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico total devido às cargas de dois pontos\(q_{1}\) e\(q_{2}\), na origem do sistema de coordenadas, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\).

Duas cargas são colocadas em um eixo coordenado. Q dois está na posição x é igual a 4 e y é igual a 0 centímetros. Q um está na posição x é igual a 0 e y é igual a dois centímetros. Carregar em q um é mais cinco pontos zero nano coulomb e carregar em q dois é mais dez nano coulomb. O campo elétrico, E um com uma magnitude de um ponto, um, três multiplicado por dez, elevado à potência de cinco Newton por coulomb, é representado por uma seta vetorial ao longo do eixo y positivo a partir da origem. O campo elétrico, E dois com magnitude zero ponto cinco seis multiplicado por dez elevado à potência cinco Newton por coulomb, é representado por uma seta vetorial ao longo do eixo x negativo a partir da origem. O campo resultante forma um ângulo de sessenta e três pontos quatro graus acima do eixo y negativo, com magnitude um ponto dois, seis multiplicado por dez, elevado à potência de cinco Newton por coulomb, é representado por uma seta vetorial apontando para longe da origem no segundo quadrante. — Figura\(\PageIndex{3}\): Os campos elétricos\(\mathbf{E}_{1}\) e\(\mathbf{E}_{2}\) na origem O adicionam\(\mathbf{E}_{tot}\) a.

Estratégia

Como o campo elétrico é um vetor (com magnitude e direção), adicionamos campos elétricos com as mesmas técnicas vetoriais usadas para outros tipos de vetores. Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico devido a cada carga no ponto de interesse, que é a origem do sistema de coordenadas (O) neste caso. Nós fingimos que há uma carga de teste positiva\(q\),, no ponto O, que nos permite determinar a direção dos campos\(\mathbf{E}_{1}\)\(\mathbf{E}_{2}\) e. Depois que esses campos são encontrados, o campo total pode ser determinado usando a adição vetorial.

Solução

A intensidade do campo elétrico na origem devida a\(q_{1}\) é rotulada\(E_{1}\) e calculada:

\[E_{1}=k\dfrac{q_{1}}{r_{1}^{2}}=(8.99\times 10^{9}N\cdot m^{2}/C^{2})\dfrac{(5.00\times 10^{-9}C)}{(2.00\times 10^{-2}m)^{2}}\]

\[E_{1}=1.124\times 10^{5}N/C.\]

Da mesma forma,\(E_{2}\) é

\[E_{2}=k\dfrac{q_{2}}{r_{2}^{2}}=(8.99\times 10^{9}N\cdot m^{2}/C^{2})\dfrac{(10.0\times 10^{-9}C)}{(4.00\times 10^{-2}m)^{2}}\]

\[E_{2}=0.5619\times 10^{5}N/C.\]

Quatro dígitos foram mantidos nesta solução para ilustrar que\(E_{1}\) é exatamente o dobro da magnitude de\(E_{2}\). Agora, as setas são desenhadas para representar as magnitudes e direções de\(\mathbf{E}_{1}\)\(\mathbf{E}_{2}\) e. (Figura\(\PageIndex{3}\)) A direção do campo elétrico é a da força em uma carga positiva, então ambas as setas apontam diretamente para longe das cargas positivas que as criam. A seta para\(\mathbf{E}_{1}\) tem exatamente o dobro do comprimento daquela para\(\mathbf{E}_{2}\). As setas formam um triângulo reto nesse caso e podem ser adicionadas usando o teorema de Pitágoras. A magnitude do campo total\(E_{tot}\) é

\[E_{tot}=(E_{1}^{2}+E_{2}^{2})^{1/2}\]

\[=[(1.124\times 10^{5}N/C)^{2}+(0.5619\times 10^{5}N/C)^{2}]^{1/2}\]

\[=1.26\times 10^{5}N/C.\]

A direção é

\[\theta =\tan ^{-1}(\dfrac{E_{1}}{E_{2}})\]

\[=\tan ^{-1}(\dfrac{1.124\times 10^{5}N/C}{0.5619\times 10^{5}N/C})\]

\[=63.4^{\circ} ,\]

ou\(63.4^{\circ}\) acima do eixo x.

Discussão

Nos casos em que os vetores de campo elétrico a serem adicionados não são perpendiculares, componentes vetoriais ou técnicas gráficas podem ser usados. O campo elétrico total encontrado neste exemplo é o campo elétrico total em apenas um ponto no espaço. Para encontrar o campo elétrico total devido a essas duas cargas em uma região inteira, a mesma técnica deve ser repetida para cada ponto da região. Essa tarefa incrivelmente longa (há um número infinito de pontos no espaço) pode ser evitada calculando o campo total em pontos representativos e usando alguns dos recursos unificadores mencionados a seguir.

A figura\(\PageIndex{4}\) mostra como o campo elétrico a partir de cargas de dois pontos pode ser desenhado encontrando o campo total em pontos representativos e desenhando linhas de campo elétrico consistentes com esses pontos. Embora os campos elétricos de várias cargas sejam mais complexos do que os de cargas únicas, algumas características simples são facilmente percebidas.

Duas cargas q um e q dois são colocadas à distância e suas linhas de campo mostradas por setas curvas se afastam uma da outra. Em um ponto P nas linhas de campo que emanam de q one, o campo elétrico resultante é representado por uma seta vetorial tangente à curva que representa essa linha de campo. Um ponto P primo em uma linha de campo que emana da carga q dois e o campo elétrico resultante são representados por uma seta vetorial tangente à curva que representa essa linha de campo. — Figura\(\PageIndex{4}\): Duas cargas de pontos positivos\(q_{1}\) e\(q_{2}\) produzem o campo elétrico resultante mostrado. O campo é calculado em pontos representativos e, em seguida, linhas de campo suaves desenhadas seguindo as regras descritas no texto.

Por exemplo, o campo é mais fraco entre cargas semelhantes, conforme mostrado pelas linhas que estão mais afastadas nessa região. (Isso ocorre porque os campos de cada carga exercem forças opostas sobre qualquer carga colocada entre eles.) (Veja a Figura\(\PageIndex{4}\) e a Figura\(\PageIndex{5}\) (a).) Além disso, a uma grande distância de duas cargas semelhantes, o campo se torna idêntico ao campo a partir de uma única carga maior.

A Figura\(\PageIndex{5}\) (b) mostra o campo elétrico de duas cargas diferentes. O campo é mais forte entre as cargas. Nessa região, os campos de cada carga estão na mesma direção e, portanto, seus pontos fortes aumentam. O campo de duas cargas diferentes é fraco em grandes distâncias, porque os campos das cargas individuais estão em direções opostas e, portanto, suas forças se subtraem. Em distâncias muito grandes, o campo de duas cargas diferentes parece o de uma única carga menor.

Na parte a, duas cargas negativas de magnitude menos q são colocadas a alguma distância. Suas linhas de campo são representadas por setas curvas que terminam nas cargas negativas. As curvas são divergentes. Na parte b, duas cargas são colocadas a uma distância em que uma é positiva rotulada como mais q e a outra é rotulada como menos q. As linhas de campo representadas pelas setas curvas começam com a carga positiva e terminam na carga negativa. As curvas são convergentes. — Figura\(\PageIndex{5}\): (a) Duas cargas negativas produzem os campos mostrados. É muito semelhante ao campo produzido por duas cargas positivas, exceto que as direções estão invertidas. O campo é claramente mais fraco entre as cargas. As forças individuais em uma carga de teste nessa região estão em direções opostas. (b) Duas cargas opostas produzem o campo mostrado, que é mais forte na região entre as cargas.

Usamos linhas de campo elétrico para visualizar e analisar campos elétricos (as linhas são uma ferramenta pictórica, não uma entidade física em si mesmas). As propriedades das linhas de campo elétrico para qualquer distribuição de carga podem ser resumidas da seguinte forma:

As linhas de campo devem começar com cargas positivas e terminar com cargas negativas, ou no infinito no caso hipotético de cargas isoladas.
O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou inserindo uma carga negativa é proporcional à magnitude da carga.
A intensidade do campo é proporcional à proximidade das linhas do campo — mais precisamente, é proporcional ao número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas.
A direção do campo elétrico é tangente à linha do campo em qualquer ponto do espaço.
As linhas de campo nunca podem se cruzar.

A última propriedade significa que o campo é exclusivo em qualquer ponto. A linha do campo representa a direção do campo; portanto, se eles cruzassem, o campo teria duas direções nesse local (uma impossibilidade se o campo fosse único).

EXPLORAÇÕES DE PHET: CARGAS E CAMPOS

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Resumo

Desenhos de linhas de campo elétrico são ferramentas visuais úteis. As propriedades das linhas de campo elétrico para qualquer distribuição de carga são as seguintes:
As linhas de campo devem começar com cargas positivas e terminar com cargas negativas, ou no infinito no caso hipotético de cargas isoladas.
O número de linhas de campo deixando uma carga positiva ou inserindo uma carga negativa é proporcional à magnitude da carga.
A intensidade do campo é proporcional à proximidade das linhas do campo — mais precisamente, é proporcional ao número de linhas por unidade de área perpendicular às linhas.
A direção do campo elétrico é tangente à linha do campo em qualquer ponto do espaço.
As linhas de campo nunca podem se cruzar.

Glossário

campo elétrico: um mapa tridimensional da força elétrica estendida para o espaço a partir de uma carga pontual

linhas de campo elétrico: uma série de linhas traçadas a partir de uma carga pontual representando a magnitude e a direção da força exercida por essa carga

vetor: uma quantidade com magnitude e direção

adição de vetores: combinação matemática de dois ou mais vetores, incluindo suas magnitudes, direções e posições