10.E: Movimento rotacional e momento angular (exercícios)
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Perguntas conceituais
10.1: Aceleração angular
1. Existem analogias entre quantidades físicas rotacionais e translacionais. Identifique o termo rotacional análogo a cada um dos seguintes: aceleração, força, massa, trabalho, energia cinética translacional, momento linear, impulso.
2. Explique por que a aceleração centrípeta muda a direção da velocidade no movimento circular, mas não sua magnitude.
3. Em movimento circular, uma aceleração tangencial pode alterar a magnitude da velocidade, mas não sua direção. Explique sua resposta.
4. Suponha que um pedaço de comida esteja na borda de uma placa giratória de forno de microondas. Ele experimenta aceleração tangencial diferente de zero, aceleração centrípeta ou ambas quando: (a) A placa começa a girar? (b) A placa gira a uma velocidade angular constante? (c) A placa fica lenta até parar?
10.3: Dinâmica do movimento rotacional: inércia rotacional
5. O momento de inércia de uma haste longa girada em torno de um eixo através de uma extremidade perpendicular ao seu comprimento é\(ML^2/3\). Por que esse momento de inércia é maior do que seria se você girasse uma massa pontual\(M\) na localização do centro de massa da haste (at\(L/2\))? (Isso seria\(ML^2/4\).)
6. Por que o momento de inércia de um arco que tem uma massa\(M\) e um raio é\(R\) maior do que o momento de inércia de um disco que tem a mesma massa e raio? Por que o momento de inércia de uma concha esférica que tem uma massa\(M\) e um raio\(R\) maiores do que o de uma esfera sólida que tem a mesma massa e raio?
7. Dê um exemplo em que uma pequena força exerce um grande torque. Dê outro exemplo em que uma grande força exerce um pequeno torque.
8. Ao reduzir a massa de uma bicicleta de corrida, o maior benefício é obtido com a redução da massa dos pneus e dos aros das rodas. Por que isso permite que um piloto alcance maiores acelerações do que uma redução idêntica na massa do chassi da bicicleta?
A imagem mostra uma vista lateral de uma bicicleta de corrida. Você pode ver evidências no design das rodas desta bicicleta de corrida de que seu momento de inércia foi propositalmente reduzido? (crédito: Jesús Rodriguez)
9. Uma bola desliza por uma rampa sem atrito. Em seguida, ele é enrolado sem escorregar e com a mesma velocidade inicial em outra rampa sem atrito (com o mesmo ângulo de inclinação). Nesse caso, atinge uma altura maior e por quê?
10.4: Energia cinética rotacional: trabalho e energia revisitados
10. Descreva as transformações de energia envolvidas quando um ioiô é jogado para baixo e depois sobe de volta pela corda para ficar preso na mão do usuário.
11. Quais transformações de energia estão envolvidas quando um motor dragster é acelerado, sua embreagem solta rapidamente, seus pneus giram e ele começa a acelerar para frente? Descreva a fonte e a transformação da energia em cada etapa.
12. A Terra tem mais energia cinética rotacional agora do que a nuvem de gás e poeira da qual se formou. De onde veio essa energia?
Uma imensa nuvem de gás e poeira em rotação se contraiu sob a influência da gravidade para formar a Terra e, no processo, a energia cinética rotacional aumentou. (crédito: NASA)
10.5: Momento angular e sua conservação
13. Quando você liga o motor do seu carro com a transmissão em ponto morto, você percebe que o carro balança no sentido oposto da rotação do motor. Explique em termos de conservação do momento angular. O momento angular do carro é conservado por muito tempo (por mais de alguns segundos)?
14. Suponha que uma criança ande da borda externa de um carrossel giratório para dentro. A velocidade angular do carrossel aumenta, diminui ou permanece a mesma? Explique sua resposta.
Uma criança pode pular de um carrossel em várias direções.
15. Suponha que uma criança saia de um carrossel rotativo. A velocidade angular do carrossel aumenta, diminui ou permanece a mesma se:
(a) Ele pula radialmente?
(b) Ele pula para trás para pousar imóvel?
(c) Ele pula direto para cima e fica pendurado em um galho de árvore?
(d) Ele pula para frente, tangencial à borda? Explique suas respostas. (Consulte a Figura).
16. Os helicópteros têm uma pequena hélice na cauda para evitar que girem na direção oposta às pás de elevação principais. Explique em termos da terceira lei de Newton por que o corpo do helicóptero gira na direção oposta às pás.
17. Sempre que um helicóptero tem dois conjuntos de pás de elevação, elas giram em direções opostas (e não haverá hélice traseira). Explique por que é melhor fazer com que as lâminas girem em direções opostas.
18. Descreva como o trabalho é feito por uma patinadora puxando os braços durante uma rodada. Em particular, identifique a força que ela exerce em cada braço para puxá-lo e a distância que cada um se move, observando que um componente da força está na direção movida. Por que o momento angular não é aumentado por essa ação?
19. Quando há uma tendência de aquecimento global na Terra, a atmosfera se expande e a duração do dia aumenta muito ligeiramente. Explique por que a duração de um dia aumenta.
20. Quase todos os motores de pistão convencionais têm volantes para suavizar as vibrações causadas pelo empuxo de disparos de pistão individuais. Por que o volante tem esse efeito?
21. As turbinas a jato giram rapidamente. Eles são projetados para se separarem se algo os fizer agarrar repentinamente, em vez de transferir impulso angular para a asa do avião, possivelmente arrancando-o. Explique como voar longe conserva o momento angular sem transferi-lo para a asa.
22. Um astronauta aperta um parafuso em um satélite em órbita. Ele gira em uma direção oposta à do parafuso, e o satélite gira na mesma direção do parafuso. Explique o porquê. Se um suporte de mão estiver disponível no satélite, essa contra-rotação pode ser evitada? Explique sua resposta.
23. Mergulhadores competitivos puxam seus membros para dentro e enrolam seus corpos quando fazem flips. Pouco antes de entrar na água, eles estendem totalmente os membros para entrarem diretamente para baixo. Explique o efeito de ambas as ações em suas velocidades angulares. Explique também o efeito em seus momentos angulares.
A mergulhadora gira rapidamente quando enrolado e desacelera quando estende os membros antes de entrar na água.
24. Desenhe um diagrama de corpo livre para mostrar como um mergulhador ganha impulso angular ao sair da prancha de mergulho.
25. Em termos de impulso angular, qual é a vantagem de dar uma volta em uma bala de futebol ou rifle ao jogá-la ou soltá-la?
A imagem mostra uma vista do cano de um canhão, enfatizando seu rifle. Espalhar o cano de um canhão faz com que o projétil gire, assim como é o caso dos rifles (daí o nome das ranhuras no cano). (crédito: Elsie esq., Flickr)
10.6: Colisões de corpos estendidos em duas dimensões
26. Descreva duas colisões diferentes — uma na qual o momento angular é conservado e a outra na qual ele não é. Qual condição determina se o momento angular é conservado ou não em uma colisão?
27. Suponha que um disco de hóquei no gelo atinja um taco de hóquei que fica no gelo e está livre para se mover em qualquer direção. Quais quantidades provavelmente serão conservadas: momento angular, momento linear ou energia cinética (supondo que o disco e o bastão sejam muito resistentes)?
28. Enquanto dirigia sua motocicleta em alta velocidade, um estudante de física percebe que puxar levemente para trás no guidão direito inclina a bicicleta para a esquerda e produz uma curva à esquerda. Explique por que isso acontece.
10.7: Efeitos giroscópicos: aspectos vetoriais do momento angular
29. Enquanto dirigia sua motocicleta em alta velocidade, um estudante de física percebe que puxar levemente para trás no guidão direito inclina a bicicleta para a esquerda e produz uma curva à esquerda. Explique por que isso acontece.
30. Os giroscópios usados em sistemas de orientação para indicar direções no espaço devem ter um momento angular que não mude de direção. No entanto, eles são frequentemente submetidos a grandes forças e acelerações. Como a direção de seu momento angular pode ser constante quando eles são acelerados?
Problema e exercícios
10.1: Aceleração angular
31. No auge, um tornado tem 60,0 m de diâmetro e carrega ventos de 500 km/h. Qual é sua velocidade angular em revoluções por segundo?
Solução
\(ω=0.737 rev/s\)
32. Conceitos integrados
Uma ultracentrífuga acelera do repouso até 100.000 rpm em 2,00 min.
(a) Em que está sua aceleração angular\(rad/s^2\)?
(b) Qual é a aceleração tangencial de um ponto a 9,50 cm do eixo de rotação?
(c) Qual é a aceleração radial\(m/s^2\) e os múltiplos\(g\) desse ponto em plena rotação?
33. Conceitos integrados
Você tem um rebolo (um disco) que tem 90,0 kg, tem um raio de 0,340 m e está girando a 90,0 rpm, e você pressiona um machado de aço contra ele com uma força radial de 20,0 N.
(a) Supondo que o coeficiente cinético de atrito entre aço e pedra seja 0,20, calcule a aceleração angular do rebolo.
(b) Quantas voltas a pedra fará antes de descansar?
Solução
(a)\(−0.26 rad/s^2\)
(b)\(27rev\)
34. Resultados irracionais
Você é informado de que um jogador de basquete gira a bola com uma aceleração angular de\(100 rad/s^2\).
(a) Qual é a velocidade angular final da bola se a bola começar do repouso e a aceleração durar 2,00 s?
(b) O que é irracional sobre o resultado?
(c) Quais premissas não são razoáveis ou inconsistentes?
10.2: Cinemática do movimento rotacional
35. Com a ajuda de uma corda, um giroscópio é acelerado do repouso para 32 rad/s em 0,40 s.
(a) Qual é sua aceleração angular em rad/s2?
(b) Por quantas revoluções ele passa no processo?
Solução
(a)\(80rad/s^2\)
(b) 1.0 rev
36. Suponha que um pedaço de poeira se encontre em um CD. Se a taxa de rotação do CD for de 500 rpm e o pedaço de poeira estiver a 4,3 cm do centro, qual é a distância total percorrida pela poeira em 3 minutos? (Ignore as acelerações devido à rotação do CD.)
37. Um giroscópio desacelera a partir de uma taxa inicial de 32,0 rad/s a uma taxa de\(0.700 rad/s^2\).
(a) Quanto tempo demora para descansar?
(b) Quantas revoluções ele faz antes de parar?
Solução
(a) 45,7 s
(b) 116 rev
38. Durante uma parada muito rápida, um carro desacelera às\(7.00 m/s^2\).
(a) Qual é a aceleração angular de seus pneus de raio de 0,280 m, supondo que eles não escorreguem na calçada?
(b) Quantas rotações os pneus fazem antes de repousar, considerando que sua velocidade angular inicial é\(95.0 rad/s\)?
(c) Quanto tempo o carro leva para parar completamente?
(d) Qual a distância que o carro percorre nesse período?
(e) Qual foi a velocidade inicial do carro?
(f) Os valores obtidos parecem razoáveis, considerando que essa parada acontece muito rapidamente?
Os ioiôs são brinquedos divertidos que exibem uma física significativa e são projetados para melhorar o desempenho com base nas leis da física. (crédito: Beyond Neon, Flickr)
39. Aplicação diária: Suponha que um ioiô tenha um eixo central com um raio de 0,250 cm e que sua corda esteja sendo puxada.
(a) Se a corda estiver parada e o ioiô se afastar dela a uma taxa de\(1.50 m/s^2\), qual é a aceleração angular do ioiô?
(b) Qual é a velocidade angular após 0,750 s se ela começar do repouso?
(c) O raio externo do ioiô é de 3,50 cm. Qual é a aceleração tangencial de um ponto em sua borda?
Solução
a)\(600 rad/s^2\)
b) 450 rad/s
c) 21,0 m/s
10.3: Dinâmica do movimento rotacional: inércia rotacional
40. Esse problema considera aspectos adicionais do exemplo Calculando o efeito da distribuição de massa em um carrossel.
(a) Quanto tempo o pai leva para dar ao carrossel uma velocidade angular de 1,50 rad/s?
(b) Quantas revoluções ele deve passar para gerar essa velocidade?
(c) Se ele exercer uma força de desaceleração de 300 N em um raio de 1,35 m, quanto tempo ele levaria para detê-los?
Solução
(a) 0,338 s
(b) 0,0403 rev
(c) 0,313 s
41. Calcule o momento de inércia de um patinador com as seguintes informações.
(a) O patinador de 60,0 kg é aproximado como um cilindro com um raio de 0,110 m.
(b) O patinador com os braços estendidos tem aproximadamente um cilindro de 52,5 kg, tem um raio de 0,110 m e dois braços de 0,900 m de comprimento, com 3,75 kg cada, e se estendem diretamente para fora do cilindro como hastes giradas em torno de suas extremidades.
42. O músculo tríceps na parte de trás do braço estende o antebraço. Este músculo em um boxeador profissional exerce uma força de\(2.00×10^3N\) com um braço de alavanca perpendicular efetivo de 3,00 cm, produzindo uma aceleração angular do antebraço de\(120rad/s^2\). Qual é o momento de inércia do antebraço do boxeador?
Solução
\(0.50 kg⋅m^2\)
43. Uma jogadora de futebol estende a parte inferior da perna em um movimento de chute, exercendo uma força com o músculo acima do joelho na frente da perna. Ela produz uma aceleração angular de\(30.00 rad/s^2\) e sua perna tem um momento de inércia de\(0.750 kg⋅m^2\). Qual é a força exercida pelo músculo se seu braço de alavanca perpendicular efetivo for de 1,90 cm?
44. Suponha que você exerça uma força de 180 N tangencial a um rebolo de 0,280 m de raio 75,0 kg (um disco sólido).
(a) Qual torque é exercido?
(b) Qual é a aceleração angular assumindo atrito oposto insignificante?
(c) Qual é a aceleração angular se houver uma força de atrito oposta de 20,0 N exercida a 1,50 cm do eixo?
Solução
(a)\(50.4 N⋅m\)
(b)\(17.1rad/s^2\)
(c)\(17.0rad/s^2\)
45. Considere a roda de motocicleta de 12,0 kg mostrada na Figura. Suponha que seja aproximadamente um anel anular com um raio interno de 0,280 m e um raio externo de 0,330 m. A motocicleta está em seu suporte central, para que a roda possa girar livremente.
(a) Se a corrente motriz exercer uma força de 2200 N em um raio de 5,00 cm, qual é a aceleração angular da roda?
(b) Qual é a aceleração tangencial de um ponto na borda externa do pneu?
(c) Quanto tempo, partindo do repouso, é necessário para atingir uma velocidade angular de 80,0 rad/s?
Uma roda de motocicleta tem um momento de inércia aproximadamente o de um anel anular.
46. Zorch, um arquiinimigo do Superman, decide diminuir a rotação da Terra para uma vez a cada 28,0 h exercendo uma força oposta no equador e paralelamente a ele. Superman não se preocupa imediatamente, pois sabe que Zorch só pode exercer uma força de\(4.00×10^7N\) (um pouco maior do que o impulso de um foguete Saturn V). Por quanto tempo Zorch deve pressionar com essa força para atingir seu objetivo? (Esse período dá ao Superman tempo para se dedicar a outros vilões.) Mostre explicitamente como você segue as etapas encontradas na Estratégia de resolução de problemas para dinâmica rotacional.
Solução
\(3.96×10^{18}s\) ou\(1.26×10^{11}y\)
47. Um motor de automóvel pode produzir 200 N ∙ m de torque. Calcule a aceleração angular produzida se 95,0% desse torque for aplicado ao eixo de acionamento, eixo e rodas traseiras de um carro, com as seguintes informações. O carro está suspenso para que as rodas possam girar livremente. Cada roda funciona como um disco de 15,0 kg com um raio de 0,180 m. As paredes de cada pneu agem como um anel anular de 2,00 kg com raio interno de 0,180 m e raio externo de 0,320 m. A banda de rodagem de cada pneu age como um aro de 10,0 kg de raio de 0,330 m. O eixo de 14,0 kg age como uma haste com um raio de 2,00 cm. O eixo de acionamento de 30,0 kg age como uma haste com um raio de 3,20 cm.
48. Começando com a fórmula para o momento de inércia de uma haste girada em torno de um eixo através de uma extremidade perpendicular ao seu comprimento (\(I=Mℓ^2/3\)), prove que o momento de inércia de uma haste girada em torno de um eixo através de seu centro perpendicular ao seu comprimento é\(I=Mℓ^2/12\). Você achará os gráficos na Figura úteis para visualizar essas rotações.
Solução
\(I_{end}=I_{center}+m(\frac{l}{2})^2\)
Assim,\(I_{center}=I_{end}−\frac{1}{4}ml^2=\frac{1}{3}ml^2−\frac{1}{4}ml^2=\frac{1}{12}ml^2\)
49. Resultados irracionais
Uma ginasta fazendo um giro para frente pousa no tapete e exerce um torque de 500-N ∙ m para diminuir e depois reverter sua velocidade angular. Sua velocidade angular inicial é 10,0 rad/s, e seu momento de inércia é\(0.050kg⋅m^2\).
(a) Quanto tempo é necessário para que ela inverta exatamente o giro?
(b) O que é irracional sobre o resultado?
(c) Quais premissas não são razoáveis ou inconsistentes?
Solução
(a) 2,0 ms
(b) O intervalo de tempo é muito curto.
(c) O momento de inércia é muito pequeno, de uma a duas ordens de magnitude. Um torque de\(500 N⋅m\) é razoável.
50. Resultados irracionais
Um anúncio afirma que um carro de 800 kg é auxiliado por seu volante de 20,0 kg, que pode acelerar o carro do repouso a uma velocidade de 30,0 m/s. O volante é um disco com raio de 0,150 m.
(a) Calcule a velocidade angular que o volante deve ter se 95,0% de sua energia rotacional for usada para acelerar o carro.
(b) O que é irracional sobre o resultado?
(c) Quais premissas não são razoáveis ou quais são inconsistentes?
Solução
(a) 17.500 rpm
(b) Essa velocidade angular é muito alta para um disco desse tamanho e massa. A aceleração radial na borda do disco é > 50.000 gs.
(c) A massa e o raio do volante devem ser muito maiores, permitindo uma menor taxa de rotação (velocidade angular).
10.4: Energia cinética rotacional: trabalho e energia revisitados
51. Esse problema considera os aspectos de energia e trabalho de [link] — use os dados desse exemplo conforme necessário.
(a) Calcule a energia cinética rotacional no carrossel plus child quando eles tiverem uma velocidade angular de 20,0 rpm.
(b) Usando considerações de energia, encontre o número de revoluções que o pai terá que pressionar para atingir essa velocidade angular a partir do repouso.
(c) Novamente, usando considerações de energia, calcule a força que o pai deve exercer para parar o carrossel em duas revoluções
Solução
(a) 185 J
(b) 0,0785 rev
(c)\(W=9.81 N\)
52. Qual é a velocidade final de um arco que rola sem escorregar em uma colina de 5,00 m de altura, começando do repouso?
53. (a) Calcule a energia cinética rotacional da Terra em seu eixo. (b) Qual é a energia cinética rotacional da Terra em sua órbita ao redor do Sol?
Solução
(a)\(2.57×10^{29}J\)
(b)\(KE_{rot}=2.65×10^{33}J\)
54. Calcule a energia cinética rotacional na roda da motocicleta ([link]) se sua velocidade angular for 120 rad/s. Suponha que M\(R_1\) = 12,0 kg, = 0,280 m e\(R_2\) = 0,330 m.
55. Um arremessador de beisebol lança a bola em um movimento em que há rotação do antebraço em torno da articulação do cotovelo, bem como outros movimentos. Se a velocidade linear da esfera em relação à articulação do cotovelo for de 20,0 m/s a uma distância de 0,480 m da articulação e o momento de inércia do antebraço for\(0.500 kg⋅m^2\), qual é a energia cinética rotacional do antebraço?
Solução
\(KE_{rot}=434 J\)
56. Enquanto lança uma bola de futebol, um chutador gira a perna em torno da articulação do quadril. O momento de inércia da perna é\(3.75 kg⋅m^2\) e sua energia cinética rotacional é 175 J.
(a) Qual é a velocidade angular da perna?
(b) Qual é a velocidade da ponta do sapato do apostador se ele estiver a 1,05 m da articulação do quadril?
(c) Explique como a bola de futebol pode receber uma velocidade maior que a ponta do sapato (necessária para uma distância de chute decente).
57. Um ônibus contém um volante de 1500 kg (um disco que tem um raio de 0,600 m) e tem uma massa total de 10.000 kg.
(a) Calcule a velocidade angular que o volante deve ter para conter energia suficiente para levar o ônibus do repouso a uma velocidade de 20,0 m/s, assumindo que 90,0% da energia cinética rotacional pode ser transformada em energia translacional.
(b) Qual é a altura de uma colina que o ônibus pode subir com essa energia armazenada e ainda ter uma velocidade de 3,00 m/s no topo da colina? Mostre explicitamente como você segue as etapas da Estratégia de Solução de Problemas para Energia Rotacional.
Solução
(a)\(128 rad/s\)
(b)\(19.9 m\)
58. Uma bola com uma velocidade inicial de 8,00 m/s sobe uma colina sem escorregar. Tratando a bola como uma concha esférica, calcule a altura vertical que ela atinge.
(b) Repita o cálculo para a mesma bola se ela subir a colina sem rolar.
59. Enquanto se exercita em uma academia, um homem se deita de bruços em um banco e levanta um peso com uma perna ao entrar em contato com os músculos da parte de trás da perna.
(a) Determine a aceleração angular produzida, dada a massa levantada, de 10,0 kg a uma distância de 28,0 cm da articulação do joelho, o momento de inércia da perna é\(0.900 kg⋅m^2\), a força muscular é de 1500 N e seu braço de alavanca perpendicular efetivo é de 3,00 cm.
(b) Quanto trabalho é feito se a perna girar em um ângulo\(20.0º\) com uma força constante exercida pelo músculo?
Solução
(a)\(10.4 rad/s^2\)
(b) líquida\(W=6.11 J\)
60. Para desenvolver o tônus muscular, uma mulher levanta um peso de 2,00 kg segurado na mão. Ela usa o músculo bíceps para flexionar a parte inferior do braço em um ângulo de\(60.0º\).
(a) Qual é a aceleração angular se o peso está a 24,0 cm da articulação do cotovelo, seu antebraço tem um momento de inércia de\(0.250 kg⋅m^2\) e a força líquida que ela exerce é 750 N em um braço de alavanca perpendicular efetivo de 2,00 cm?
(b) Quanto trabalho ela faz?
61. Considere dois cilindros que começam em inclinações idênticas a partir do repouso, exceto que um é sem atrito. Assim, um cilindro rola sem escorregar, enquanto o outro desliza sem atrito sem rolar. Ambos percorrem uma curta distância na parte inferior e depois iniciam outra inclinação.
(a) Mostre que ambos atingem a mesma altura na outra inclinação e que essa altura é igual à altura original.
(b) Encontre a razão entre o tempo que o cilindro rolante leva para atingir a altura na segunda inclinação e o tempo que o cilindro deslizante leva para atingir a altura na segunda inclinação.
(c) Explique por que o tempo para o movimento de rolamento é maior do que o tempo para o movimento de deslizamento.
62. Qual é o momento de inércia de um objeto que rola sem escorregar por uma inclinação de 2,00 m de altura partindo do repouso e tem uma velocidade final de 6,00 m/s? Expresse o momento de inércia como um múltiplo de\(MR^2\), onde\(M\) está a massa do objeto e\(R\) seu raio.
63. Suponha que uma motocicleta de 200 kg tenha duas rodas semelhantes às descritas no Problema 10.15 e esteja indo em direção a uma colina a uma velocidade de 30,0 m/s.
(a) Qual a altura que pode subir a colina, se você negligenciar o atrito?
(b) Quanta energia é perdida por atrito se a motocicleta ganhar apenas uma altitude de 35,0 m antes de descansar?
64. No softball, o arremessador joga com o braço totalmente estendido (reto na altura do cotovelo). Em um arremesso rápido, a bola sai da mão com uma velocidade de 139 km/h.
(a) Encontre a energia cinética rotacional do braço do arremessador, dado seu momento de inércia,\(0.720 kg⋅m^2\) e a bola sai da mão a uma distância de 0,600 m do pivô no ombro.
(b) Que força os músculos exerceram para fazer com que o braço gire se o braço efetivo da alavanca perpendicular tivesse 4,00 cm e a bola tivesse 0,156 kg?
Solução
(a)\(1.49 kJ\)
(b)\(2.52×10^4N\)
65. Construa seu próprio problema
Considere o trabalho realizado por uma patinadora giratória puxando os braços para aumentar sua taxa de rotação. Crie um problema no qual você calcule o trabalho realizado com um cálculo de “força multiplicada pela distância” e compare-o com o aumento de energia cinética do patinador.
10.5: Momento angular e sua conservação
66. (a) Calcule o momento angular da Terra em sua órbita ao redor do Sol.
(b) Compare esse momento angular com o momento angular da Terra em seu eixo.
Solução
(a)\(2.66×10^{40}kg⋅m^2/s\)
(b)\(7.07×10^{33}kg⋅m^2/s\)
O momento angular da Terra em sua órbita ao redor do Sol é\(3.77×10^6\) vezes maior do que o momento angular da Terra em torno de seu eixo.
67. (a) Qual é o momento angular da Lua em sua órbita ao redor da Terra?
(b) Como esse momento angular se compara ao momento angular da Lua em seu eixo? Lembre-se de que a Lua fica sempre de um lado voltado para a Terra.
(c) Discuta se os valores encontrados nas partes (a) e (b) parecem consistentes com o fato de que os efeitos das marés com a Terra fizeram com que a Lua girasse com um lado sempre voltado para a Terra.
68. Suponha que você dê partida em um carro antigo exercendo uma força de 300 N em sua manivela por 0,250 s. Que momento angular é dado ao motor se a manivela estiver a 0,300 m do pivô e a força for exercida para criar torque máximo o tempo todo?
Solução
\(22.5 kg⋅m^2/s\)
69. Um carrossel de recreio tem uma massa de 120 kg e um raio de 1,80 m e gira com uma velocidade angular de 0,500 rotações/s. Qual é a velocidade angular depois que uma criança de 22,0 kg entra nele agarrando sua borda externa? A criança está inicialmente em repouso.
70. Três crianças estão andando à beira de um carrossel de 100 kg, raio de 1,60 m e girando a 20,0 rpm. As crianças têm massas de 22,0, 28,0 e 33,0 kg. Se a criança que tem uma massa de 28,0 kg se move para o centro do carrossel, qual é a nova velocidade angular em rpm?
Solução
25,3 rpm
71. (a) Calcule o momento angular de um patinador de gelo girando a 6,00 rotações/s, considerando que seu momento de inércia é\(0.400kg⋅m^2\).
(b) Ele reduz sua taxa de rotação (sua velocidade angular) estendendo os braços e aumentando seu momento de inércia. Determine o valor de seu momento de inércia se sua velocidade angular diminuir para 1,25 rev/s.
(c) Suponha que, em vez disso, ele mantenha os braços abertos e permita que o atrito do gelo o diminua para 3,00 rotações/s. Qual torque médio foi exercido se isso levar 15,0 s?
72. Construa seu próprio problema
Considere o sistema Terra-Lua. Construa um problema no qual você calcule o momento angular total do sistema, incluindo os giros da Terra e da Lua em seus eixos e o momento angular orbital do sistema Terra-Lua em sua rotação quase mensal. Calcule o que acontece com o raio orbital da Lua se a rotação da Terra diminuir devido ao arrasto das marés. Entre as coisas a serem consideradas estão a quantidade em que a rotação da Terra diminui e o fato de que a Lua continuará tendo um lado sempre voltado para a Terra.
10.6: Colisões de corpos estendidos em duas dimensões
73. Repita o exemplo em que o disco bate e adere ao bastão a 0,100 m do prego.
Solução
(a)\(0.156 rad/s\)
(b)\(1.17×10^{−2}J\)
(c)\(0.188 kg⋅m/s\)
74. Repita o exemplo em que o disco gira originalmente no sentido horário a 1000 rpm e tem um raio de 1,50 cm.
75. Patinadores gêmeos se aproximam, conforme mostrado na Figura, e de mãos dadas.
(a) Calcule sua velocidade angular final, dado que cada uma tinha uma velocidade inicial de 2,50 m/s em relação ao gelo. Cada um tem uma massa de 70,0 kg e cada um tem um centro de massa localizado a 0,800 m de suas mãos trancadas. Você pode aproximar seus momentos de inércia como sendo os das massas pontuais nesse raio.
(b) Compare a energia cinética inicial e a energia cinética final.
Patinadores gêmeos se aproximam com velocidades idênticas. Em seguida, os patinadores dão as mãos e giram.
Solução
(a) 3,13 rad/s
(b) KE inicial = 438 J, KE final = 438 J
76. Suponha que uma bola de 0,250 kg seja lançada a 15,0 m/s para uma pessoa imóvel parada no gelo que a pegue com o braço estendido, conforme mostrado na Figura.
(a) Calcule a velocidade linear final da pessoa, dado que sua massa é de 70,0 kg.
(b) Qual é a velocidade angular dele se cada braço for de 5,00 kg? Você pode tratar a bola como uma massa pontual e tratar os braços da pessoa como hastes uniformes (cada uma com um comprimento de 0,900 m) e o resto de seu corpo como um cilindro uniforme de raio 0,180 m. Negligencie o efeito da bola em seu centro de massa para que seu centro de massa permaneça em seu centro geométrico.
(c) Compare as energias cinéticas totais inicial e final.
A figura mostra a visão aérea de uma pessoa parada imóvel no gelo prestes a pegar uma bola. Ambos os braços estão estendidos. Depois de pegar a bola, o patinador recua e gira.
77. Exemplo de repetição em que o manípulo está livre para ter movimento translacional e rotacional.
Solução
(a) 1,70 rad/s
(b) KE inicial = 22,5 J, KE final = 2,04 J
(c)\(1.50 kg⋅m/s\)
10.7: Efeitos giroscópicos: aspectos vetoriais do momento angular
78. Conceitos integrados
O eixo da Terra faz um ângulo de 23,5° com uma direção perpendicular ao plano da órbita da Terra. Conforme mostrado na Figura, esse eixo precessa, fazendo uma rotação completa em 25.780 y.
(a) Calcule a mudança no momento angular pela metade desse tempo.
(b) Qual é o torque médio que produz essa mudança no momento angular?
(c) Se esse torque fosse criado por uma única força (não está) atuando no ponto mais efetivo do equador, qual seria sua magnitude?
O eixo da Terra se precessa lentamente, sempre fazendo um ângulo de 23,5° com a direção perpendicular ao plano da órbita terrestre. A mudança no momento angular para as duas posições mostradas é bastante grande, embora a magnitude L tamanho 12 {L} {} permaneça inalterada.
Solução
(a)\(5.64×10^{33}kg⋅m^2/s\)
(b)\(1.39×10^{22}N⋅m\)
(c)\(2.17×10^{15}N\)