9.E: Estática e torque (exercícios)
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Perguntas conceituais
9.1: A primeira condição para o equilíbrio
1. O que você pode dizer sobre a velocidade de um corpo em movimento que está em equilíbrio dinâmico? Desenhe um esboço desse corpo usando setas claramente identificadas para representar todas as forças externas no corpo.
2. Sob quais condições um corpo rotativo pode estar em equilíbrio? Dê um exemplo.
9.2: A segunda condição para o equilíbrio
3. Quais são os três fatores que afetam o torque criado por uma força em relação a um ponto de articulação específico?
4. Uma bola de demolição está sendo usada para derrubar um prédio. Uma parede alta de concreto sem suporte permanece de pé. Se a bola de demolição atingir a parede próxima ao topo, é mais provável que a parede caia girando em sua base ou caindo diretamente para baixo? Explique sua resposta. Qual é a maior probabilidade de cair se for atingido com a mesma força em sua base? Observe que isso depende da firmeza com que a parede está presa em sua base.
5. Às vezes, os mecânicos colocam um pedaço de tubo sobre a alça de uma chave inglesa ao tentar remover um parafuso muito apertado. Como isso ajuda? (Também é perigoso, pois pode quebrar o parafuso.)
9.3: Estabilidade
6. Um lápis redondo deitado de lado, como na Figura, está em equilíbrio neutro em relação aos deslocamentos perpendiculares ao seu comprimento. Qual é sua estabilidade em relação aos deslocamentos paralelos ao seu comprimento?
7. Explique a necessidade de torres altas em uma ponte suspensa para garantir um equilíbrio estável.
9.4: Aplicações da estática, incluindo estratégias de resolução de problemas
8. Ao visitar alguns países, você pode ver uma pessoa balanceando uma carga na cabeça. Explique por que o centro de massa da carga precisa estar diretamente acima das vértebras do pescoço da pessoa.
9.5: Máquinas simples
9. As tesouras são como um sistema de alavanca dupla. Qual das máquinas simples em Figura e Figura é mais análoga à tesoura?
10. Suponha que você puxe um prego a uma taxa constante usando um extrator de unhas, conforme mostrado na Figura. O extrator de unhas está em equilíbrio? E se você puxar o prego com alguma aceleração — o extrator de unhas está em equilíbrio então? Nesse caso, a força aplicada ao extrator de unhas é maior e por quê?
11. Por que as forças exercidas no mundo exterior pelos membros do nosso corpo geralmente são muito menores do que as forças exercidas pelos músculos dentro do corpo?
12. Explique por que as forças em nossas articulações são várias vezes maiores do que as forças que exercemos no mundo exterior com nossos membros. Essas forças podem ser ainda maiores do que as forças musculares (veja a pergunta anterior)?
9.6: Forças e torques nos músculos e articulações
13. Por que as forças exercidas no mundo exterior pelos membros do nosso corpo geralmente são muito menores do que as forças exercidas pelos músculos dentro do corpo?
14. Explique por que as forças em nossas articulações são várias vezes maiores do que as forças que exercemos no mundo exterior com nossos membros. Essas forças podem ser ainda maiores do que as forças musculares?
15. Certos tipos de dinossauros eram bípedes (andavam sobre duas pernas). Qual é uma boa razão pela qual essas criaturas invariavelmente tinham caudas longas se tivessem pescoços longos?
16. Nadadores e atletas durante a competição precisam seguir certas posturas no início da corrida. Considere o equilíbrio da pessoa e por que as partidas são tão importantes para as corridas.
17. Se a força máxima que o músculo bíceps pode exercer é 1000 N, podemos pegar um objeto que pesa 1000 N? Explique sua resposta.
18. Suponha que o músculo bíceps estivesse preso por meio de tendões à parte superior do braço perto do cotovelo e o antebraço próximo ao pulso. Quais seriam as vantagens e desvantagens desse tipo de construção para o movimento do braço?
19. Explique uma das razões pelas quais as mulheres grávidas costumam sofrer de dores nas costas no final da gravidez.
Problemas e exercícios
9.2: A segunda condição para o equilíbrio
20. (a) Ao abrir uma porta, você a empurra perpendicularmente com uma força de 55,0 N a uma distância de 0,850 m das dobradiças. Qual torque você está exercendo em relação às dobradiças?
(b) Importa se você empurrar na mesma altura das dobradiças?
Solução
a) 46,8 N⋅m
b) Não importa em que altura você empurra. O torque depende apenas da magnitude da força aplicada e da distância perpendicular da aplicação da força das dobradiças. (As crianças não têm mais dificuldade em abrir uma porta porque empurram mais baixo do que os adultos, têm mais dificuldade porque não se afastam das dobradiças o suficiente.)
21. Ao apertar um parafuso, você empurra perpendicularmente uma chave com uma força de 165 N a uma distância de 0,140 m do centro do parafuso.
(a) Quanto torque você está exercendo em newton × metros (em relação ao centro do parafuso)?
(b) Converta esse torque em libras.
22. Duas crianças empurram os lados opostos de uma porta durante as brincadeiras. Ambos empurram horizontalmente e perpendicularmente à porta. Uma criança empurra com uma força de 17,5 N a uma distância de 0,600 m das dobradiças e a segunda criança empurra a uma distância de 0,450 m. Que força a segunda criança deve exercer para impedir que a porta se mova? Suponha que o atrito seja insignificante.
Solução
23.3 N
23. Use a segunda condição para equilibrium (\(\displaystyle net τ = 0\)) para calcular\(\displaystyle F_p\) em Exemplo, empregando quaisquer dados fornecidos ou resolvidos em parte (a) do exemplo.
24. Repita o problema da gangorra no Exemplo com o centro de massa da gangorra 0,160 m à esquerda do pivô (na lateral da criança mais leve) e assumindo uma massa de 12,0 kg para a gangorra. Os outros dados fornecidos no exemplo permanecem inalterados. Mostre explicitamente como você segue as etapas da Estratégia de Solução de Problemas para o equilíbrio estático.
Solução
dada:
\(\displaystyle m_1=26.0 kg,m_2=32.0 kg,m_s=12.0 kg,\)
\(\displaystyle r_1=1.60 m,r_s=0.160 m,\)achar\(\displaystyle (a)r_2,(b)Fp\)
a) Como as crianças estão se equilibrando:
rede\(\displaystyle τ_{cw}=–\) líquida\(\displaystyle τ_{ccw}⇒w_1r_1+m_sgr_s=w_2r_2\)
Então, resolver\(r^2\) dá:
\(\displaystyle r_2=\frac{w_1r_1+m_sgr_s}{w_2}=\frac{m_1gr_1+m_sgr_s}{m_2g}=\frac{m_1r_1+m_sr_s}{m_2}\)
\(\displaystyle =\frac{(26.0 kg)(1.60 m)+(12.0 kg)(0.160 m)}{32.0 kg}\)
\(\displaystyle =1.36 m\)
b) Como as crianças não estão se movendo:
líquido\(\displaystyle F=0=F_p–w_1–w_2–w_s⇒F_p=w_1+w_2+w_s\)
Então, que
\(\displaystyle F_p=(26.0 kg+32.0 kg+12.0 kg)(9.80m/s^2)=686 N\)
9.3: Estabilidade
25. Suponha que um cavalo se incline contra uma parede, como na Figura. Calcule a força exercida na parede assumindo que a força é horizontal enquanto usa os dados na representação esquemática da situação. Observe que a força exercida na parede é igual em magnitude e oposta em direção à força exercida sobre o cavalo, mantendo-o em equilíbrio. A massa total do cavalo e do cavaleiro é de 500 kg. Leve os dados para serem precisos até três dígitos.
Solução
\(\displaystyle F_{wall}=1.43×10^3N\)
26. Duas crianças de massa de 20,0 kg e 30,0 kg sentam-se balanceadas em uma gangorra com o ponto de articulação localizado no centro da gangorra. Se as crianças estiverem separadas por uma distância de 3,00 m, a que distância do ponto de articulação a criança pequena está sentada para manter o equilíbrio?
27. (a) Calcule a magnitude e a direção da força em cada pé do cavalo na Figura (dois estão no chão), assumindo que o centro de massa do cavalo esteja a meio caminho entre os pés. A massa total do cavalo e do cavaleiro é de 500 kg.
(b) Qual é o coeficiente mínimo de atrito entre os cascos e o solo? Observe que a força exercida pela parede é horizontal.
Solução
a)\(\displaystyle 2.55×10^3N, 16.3º\) à esquerda da vertical (ou seja, em direção à parede)
b) 0,292
28. Uma pessoa carrega uma prancha de madeira de 2,00 m de comprimento com uma mão empurrando-a para baixo em uma extremidade com força\(\displaystyle F_1\) e a outra mão segurando-a a 0,500 m da extremidade da prancha com força\(\displaystyle F_2\). Se a prancha tem uma massa de 20,0 kg e seu centro de gravidade está no meio da prancha, quais são as magnitudes das forças\(\displaystyle F_1\) e\(\displaystyle F_2\)?
29. Uma parede de 17,0 m de altura e 11,0 m de comprimento em construção e seu reforço são mostrados na Figura. A parede está em equilíbrio estável sem o suporte, mas pode girar em sua base. Calcule a força exercida por cada uma das 10 chaves se um vento forte exercer uma força horizontal de 650 N em cada metro quadrado da parede. Suponha que a força líquida do vento atue a uma altura na metade da parede e que todas as chaves exerçam forças iguais paralelas ao seu comprimento. Negligencie a espessura da parede.
Solução
\(\displaystyle F_B=2.12×10^4N\)
30. (a) Que força deve ser exercida pelo vento para sustentar uma galinha de 2,50 kg na posição mostrada na Figura?
(b) Qual é a relação dessa força com o peso da galinha?
(c) Isso apóia a alegação de que o frango tem uma construção relativamente estável?
31. Suponha que o peso da ponte levadiça na Figura seja suportado inteiramente por suas dobradiças e pela margem oposta, de modo que seus cabos fiquem frouxos.
(a) Qual fração do peso é suportada pela margem oposta se o ponto de apoio estiver diretamente abaixo dos acessórios do cabo?
(b) Qual é a direção e a magnitude da força que as dobradiças exercem na ponte nessas circunstâncias? A massa da ponte é de 2500 kg.
Uma pequena ponte levadiça, mostrando as forças nas dobradiças (\(\displaystyle F\)), seu peso (\(\displaystyle w\)) e a tensão em seus fios (\(\displaystyle T\)).
A solução a) 0,167, ou cerca de um sexto do peso, é suportada pela margem oposta.
b)\(\displaystyle F=2.0×10^4N\), em linha reta.
32. Suponha que um carro de 900 kg esteja na ponte na Figura com seu centro de massa a meio caminho entre as dobradiças e os acessórios do cabo. (A ponte é suportada somente pelos cabos e dobradiças.)
(a) Encontre a força nos cabos.
(b) Encontre a direção e a magnitude da força exercida pelas dobradiças na ponte.
33. Uma placa publicitária de sanduíche é construída conforme mostrado na Figura. A massa do sinal é de 8,00 kg.
(a) Calcule a tensão na corrente assumindo que não há atrito entre as pernas e a calçada.
(b) Que força é exercida por cada lado na dobradiça?
Uma placa publicitária de sanduíche demonstra tensão.
Solução
a) 21,6 N
b) 21,6 N
34. (a) Qual coeficiente mínimo de atrito é necessário entre as pernas e o solo para manter a placa na Figura na posição mostrada se a corrente quebrar?
(b) Que força é exercida por cada lado na dobradiça?
35. Uma ginasta está tentando realizar divisões. A partir das informações fornecidas na Figura, calcule a magnitude e a direção da força exercida em cada pé pelo chão.
Uma ginasta executa uma divisão completa. O centro de gravidade e as várias distâncias dele são mostrados.
Solução
350 N diretamente para cima
9.4: Aplicações da estática, incluindo estratégias de resolução de problemas
36. Para subir no telhado, uma pessoa (massa 70,0 kg) coloca uma escada de alumínio de 6,00 m (massa 10,0 kg) contra a casa em um bloco de concreto com a base da escada a 2,00 m da casa. A escada está apoiada em uma calha de chuva de plástico, que podemos supor ser sem atrito. O centro de massa da escada está a 2 m da parte inferior. A pessoa está a 3 m do fundo. Quais são as magnitudes das forças na escada na parte superior e inferior?
37. Na Figura, o cg do poste segurado pelo salto com vara está a 2,00 m da mão esquerda e os ponteiros estão separados por 0,700 m. Calcule a força exercida por
(a) sua mão direita e
(b) sua mão esquerda.
(c) Se cada mão suportar metade do peso do poste na Figura, mostre que a segunda condição de equilíbrio (rede\(\displaystyle τ=0\)) é satisfeita para um pivô diferente daquele localizado no centro de gravidade do poste. Mostre explicitamente como você segue as etapas da Estratégia de Solução de Problemas para o equilíbrio estático descrita acima.
9.5: Máquinas simples
38. Qual é a vantagem mecânica de um extrator de pregos - semelhante ao mostrado na Figura - em que você exerce uma força a 45 cm do pivô e o prego fica a 1,8 cm do outro lado? Qual força mínima você deve exercer para aplicar uma força de 1250 N na unha?
Solução
25
50 N
39. Suponha que você precise levantar um cortador de grama de 250 kg a uma distância de 6,0 cm acima do solo para trocar o pneu. Se você tivesse uma alavanca de 2,0 m de comprimento, onde colocaria o ponto de apoio se sua força fosse limitada a 300 N?
40. a) Qual é a vantagem mecânica de um carrinho de mão, como o da Figura, se o centro de gravidade do carrinho de mão e sua carga tiverem um braço de alavanca perpendicular de 5,50 cm, enquanto as mãos têm um braço de alavanca perpendicular de 1,02 m?
(b) Que força ascendente você deve exercer para apoiar o carrinho de mão e sua carga se sua massa combinada for de 55,0 kg?
(c) Que força a roda exerce no solo?
Solução
a)\(\displaystyle MA=18.5\)
b)\(\displaystyle F_i=29.1 N\)
c) 510 N para baixo
41. Um carro típico tem um eixo com\(\displaystyle 1.10 cm\) raio acionando um pneu com raio de\(\displaystyle 27.5 cm\). Qual é sua vantagem mecânica assumindo o modelo muito simplificado na Figura (b)?
42. Que força o extrator de unhas do Exercício exerce na superfície de suporte? O extrator de unhas tem uma massa de 2,10 kg.
Solução
\(\displaystyle 1.3×10^3N\)
43. Se você usou uma polia ideal do tipo mostrado na Figura (a) para suportar um motor de carro de massa 115 kg,
(a) Qual seria a tensão na corda?
(b) Que força o teto deve fornecer, supondo que você puxe diretamente para baixo a corda? Negligencie a massa do sistema de polias.
44. Repita o exercício para a polia mostrada na Figura (c), supondo que você puxe a corda diretamente para cima. A massa do sistema de polias é de 7,00 kg.
Solução
a)\(\displaystyle T=299 N\)
b) 897 N para cima
9.6: Forças e torques nos músculos e articulações
45. Verifique se a força na articulação do cotovelo no Exemplo é 407 N, conforme declarado no texto.
Solução
\(\displaystyle F_B=470 N;r_1=4.00 cm;w_a=2.50 kg;r_2=16.0 cm;w_b=4.00 kg;r_3=38.0 cm\)
\(\displaystyle F_E=w_a(\frac{r_2}{r_1}−1)+w_b(\frac{r_3}{r_1}−1)\)
\(\displaystyle =(2.50 kg)(9.80m/s^2)(\frac{16.0 cm}{4.0 cm}–1)+(4.00 kg)(9.80m/s^2)(\frac{38.0 cm}{4.00 cm}–1)\)
\(\displaystyle =407 N\)
46. Dois músculos na parte de trás da perna puxam o tendão de Aquiles, conforme mostrado na Figura. Que força total eles exercem?
O tendão de Aquiles da perna posterior serve para unir os músculos plantares, gastrocnêmios e sóleo ao osso calcâneo.
47. O músculo da parte superior da perna (quadríceps) exerce uma força de 1250 N, que é transportada por um tendão sobre a rótula (a patela) nos ângulos mostrados na Figura. Encontre a direção e a magnitude da força exercida pela rótula no osso da parte superior da perna (o fêmur).
A articulação do joelho funciona como uma dobradiça para dobrar e endireitar a parte inferior da perna. Ele permite que uma pessoa se sente, fique de pé e gire.
Solução
\(\displaystyle 1.1×10^3N\)\(\displaystyle θ=190º\) ccw do eixo x positivo
48. Um dispositivo para exercitar o músculo da parte superior da perna é mostrado na Figura, junto com uma representação esquemática de um sistema de alavanca equivalente. Calcule a força exercida pelo músculo da parte superior da perna para levantar a massa a uma velocidade constante. Mostre explicitamente como você segue as etapas da Estratégia de Solução de Problemas para o equilíbrio estático em Aplicações de Estatística, incluindo estratégias de resolução de problemas.
Uma massa é conectada por polias e fios ao tornozelo neste dispositivo de exercícios.
49. Uma pessoa que trabalha em uma mesa de redação pode segurar sua cabeça conforme mostrado na Figura, exigindo ação muscular para apoiar a cabeça. As três principais forças atuantes são mostradas. Calcule a direção e a magnitude da força fornecida pelas vértebras superiores\(\displaystyle F_V\) para manter a cabeça parada, assumindo que essa força atua ao longo de uma linha que passa pelo centro de massa, assim como o peso e a força muscular.
Solução
\(\displaystyle F_V=97N,θ=59º\)
50. Analisamos o exemplo do músculo bíceps com o ângulo entre o antebraço e a parte superior do braço fixado em 90º. Usando os mesmos números do Exemplo, encontre a força exercida pelo músculo bíceps quando o ângulo é de 120º e o antebraço está na posição descendente.
51. Mesmo quando a cabeça é mantida ereta, como na Figura, seu centro de massa não está diretamente sobre o ponto de apoio principal (a articulação atlanto-occipital). Os músculos da nuca devem, portanto, exercer uma força para manter a cabeça ereta. É por isso que sua cabeça cai para frente quando você adormece na aula.
(a) Calcule a força exercida por esses músculos usando as informações da figura.
(b) Qual é a força exercida pelo pivô na cabeça?
O centro de massa da cabeça fica em frente ao seu principal ponto de apoio, exigindo ação muscular para manter a cabeça ereta. Um sistema de alavanca simplificado é mostrado.
Solução
(a) 25 N para baixo
(b) 75 N para cima
52. Um homem de 75 kg fica na ponta dos pés exercendo uma força ascendente através do tendão de Aquiles, como na Figura.
(a) Qual é a força no tendão de Aquiles se ele estiver em pé?
(b) Calcule a força no pivô do sistema de alavanca simplificado mostrado — essa força é representativa das forças na articulação do tornozelo.
Os músculos da parte de trás da perna puxam o tendão de Aquiles quando alguém fica na ponta dos pés. Um sistema de alavanca simplificado é mostrado.
Solução
(a)\(\displaystyle F_A=2.21×10^3N\) para cima
(b)\(\displaystyle F_B=2.94×10^3N\) para baixo
53. Um pai levanta seu filho conforme mostrado na Figura. Que força o músculo da parte superior da perna deve exercer para levantar a criança a uma velocidade constante?
Uma criança sendo levantada pela parte inferior da perna de um pai.
54. Ao contrário da maioria dos outros músculos do nosso corpo, o músculo masseter da mandíbula, conforme ilustrado na Figura, está preso relativamente longe da articulação, permitindo que grandes forças sejam exercidas pelos dentes posteriores.
(a) Usando as informações da figura, calcule a força exercida pelos dentes inferiores na bala.
(b) Calcule a força na junta.
Uma pessoa cerrando uma bala entre os dentes.
Solução
(a)\(\displaystyle F_{\text{teeth on bullet}}=1.2×10^2N\) para cima
(b)\(\displaystyle F_J=84 N\) para baixo
55. Conceitos integrados
Suponha que substituamos o livro de 4,0 kg em Exercício do músculo bíceps por uma corda elástica que obedece à Lei de Hooke. Suponha que sua força seja constante\(\displaystyle k=600N/m\).
(a) Quanto a corda é esticada (após o equilíbrio) para fornecer a\(\displaystyle F_B\) mesma força que neste exemplo? Suponha que a corda esteja segurada na mão no mesmo local do livro.
(b) Que força existe no músculo bíceps se a corda de exercícios for puxada para cima, de modo que o antebraço faça um ângulo\(\displaystyle 25º\) com a horizontal? Suponha que o músculo bíceps ainda esteja perpendicular ao antebraço.
56. (a) Que força a mulher na Figura deve exercer no chão com cada mão para fazer uma flexão? Suponha que ela suba a uma velocidade constante.
(b) O músculo tríceps na parte de trás do braço tem um braço de alavanca efetivo de 1,75 cm e ela exerce força no chão a uma distância horizontal de 20,0 cm da articulação do cotovelo. Calcule a magnitude da força em cada músculo tríceps e compare-a com o peso dela.
(c) Quanto trabalho ela faz se seu centro de massa subir 0,240 m? (d) Qual é a potência útil dela se ela fizer 25 flexões em um minuto?
Uma mulher fazendo flexões.
Solução
(a) 147 N para baixo
(b) 1680 N, 3,4 vezes seu peso
(c) 118 J
(d) 49,0 W
57. Você acabou de plantar uma palmeira resistente de 2 m de altura no gramado da frente para o aniversário de sua mãe. Seu irmão chuta uma bola de 500 g, que atinge o topo da árvore a uma velocidade de 5 m/s e permanece em contato com ela por 10 ms. A bola cai no chão perto da base da árvore e o recuo da árvore é mínimo.
(a) Qual é a força na árvore?
(b) O comprimento da seção robusta da raiz é de apenas 20 cm. Além disso, o solo ao redor das raízes está solto e podemos supor que uma força efetiva seja aplicada na ponta do comprimento de 20 cm. Qual é a força efetiva exercida pela ponta da raiz para impedir que a árvore caia? Suponha que a árvore seja arrancada em vez de dobrada.
(c) O que você poderia ter feito para garantir que a árvore não se desenraizasse facilmente?
58. Resultados irracionais
Suponha que duas crianças estejam usando uma gangorra uniforme com 3,00 m de comprimento e seu centro de massa sobre o pivô. O primeiro filho tem uma massa de 30,0 kg e fica a 1,40 m do pivô.
(a) Calcule onde a segunda criança de 18,0 kg deve sentar para equilibrar a gangorra.
(b) O que não é razoável no resultado?
(c) Quais premissas não são razoáveis ou quais premissas são inconsistentes?
Solução
a)\(\displaystyle \bar{x}_2=2.33 m\)
b) A gangorra tem 3,0 m de comprimento e, portanto, há apenas 1,50 m de placa no outro lado do pivô. O segundo filho está fora do tabuleiro.
c) A posição do primeiro filho deve ser encurtada, ou seja, aproximada do pivô.
59. Construa seu próprio problema
Considere um método para medir a massa do braço de uma pessoa em estudos anatômicos. O sujeito está de costas, estende o braço relaxado para o lado e duas escamas são colocadas abaixo do braço. Um é colocado sob o cotovelo e o outro sob a parte de trás da mão. Crie um problema no qual você calcule a massa do braço e encontre seu centro de massa com base nas leituras da escala e nas distâncias da balança da articulação do ombro. Você deve incluir um diagrama de corpo livre do braço para direcionar a análise. Considere mudar a posição da balança sob a mão para fornecer mais informações, se necessário. Você pode consultar referências para obter valores de massa razoáveis.