7.2: Energia cinética e o teorema trabalho-energia
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Objetivos de
Ao final desta seção, você poderá:
- Explique o trabalho como uma transferência de energia e o trabalho em rede como o trabalho realizado pela força da rede.
- Explique e aplique o teorema trabalho-energia.
O trabalho transfere energia
O que acontece com o trabalho realizado em um sistema? A energia é transferida para o sistema, mas de que forma? Ele permanece no sistema ou segue em frente? As respostas dependem da situação. Por exemplo, se o cortador de grama em [link] (a) for pressionado com força suficiente para mantê-lo funcionando a uma velocidade constante, a energia colocada no cortador pela pessoa é removida continuamente por atrito e, eventualmente, deixa o sistema na forma de transferência de calor. Em contraste, o trabalho realizado na maleta pela pessoa que a carrega escada acima em [link] (d) é armazenado no sistema Briefcase-Earth e pode ser recuperado a qualquer momento, conforme mostrado em [link] (e). Na verdade, a construção das pirâmides no antigo Egito é um exemplo de armazenamento de energia em um sistema trabalhando no sistema. Parte da energia transmitida aos blocos de pedra ao levantá-los durante a construção das pirâmides permanece no sistema Pedra-Terra e tem potencial para funcionar.
Nesta seção, começamos o estudo de vários tipos de trabalho e formas de energia. Descobriremos que alguns tipos de trabalho deixam a energia de um sistema constante, por exemplo, enquanto outros mudam o sistema de alguma forma, como fazê-lo se mover. Também desenvolveremos definições de formas importantes de energia, como a energia do movimento.
Trabalho em rede e o teorema trabalho-energia
Sabemos pelo estudo das leis de Newton em Dinâmica: Força e Leis do Movimento de Newton que a força líquida causa aceleração. Veremos nesta seção que o trabalho realizado pela força líquida fornece energia de movimento ao sistema e, no processo, também encontraremos uma expressão para a energia do movimento.
Vamos começar considerando o trabalho total, ou líquido, realizado em um sistema. O trabalho em rede é definido como a soma do trabalho realizado por todas as forças externas, ou seja, o trabalho em rede é o trabalho realizado pela força externa líquida\(F_{net}\). Em forma de equação, isto é\(W_{net} = F_{net}d \, cos \, \theta\), onde\(\theta\) está o ângulo entre o vetor de força e o vetor de deslocamento. A Figura (a) mostra um gráfico de força versus deslocamento para a componente da força na direção do deslocamento, ou seja, um\(d\) gráfico\(F \, cos \, \theta\) versus. Neste caso,\(F \, cos \, \theta\) é constante. Você pode ver que a área abaixo do gráfico é\(F \, cos \, \theta\) ou o trabalho realizado. A Figura (b) mostra um processo mais geral em que a força varia. A área abaixo da curva é dividida em tiras, cada uma com uma força média\((F \, cos \, \theta)_{i(ave)}\). O trabalho realizado é e\((F \, cos \, \theta)_{i(ave)}d_i\) para cada faixa, e o trabalho total realizado é a soma dos\(W_i\). Assim, o trabalho total realizado é a área total sob a curva, uma propriedade útil à qual nos referiremos posteriormente.
O trabalho em rede será mais simples de examinar se considerarmos uma situação unidimensional em que uma força é usada para acelerar um objeto em uma direção paralela à sua velocidade inicial. Essa situação ocorre para a embalagem no sistema transportador de correia de rolos mostrado na Figura.
A força da gravidade e a força normal que atua na embalagem são perpendiculares ao deslocamento e não funcionam. Além disso, eles também são iguais em magnitude e direção oposta, então eles cancelam o cálculo da força líquida. A força líquida surge unicamente da força aplicada horizontal\(F_{app}\) e da força de atrito horizontal\(f\). Assim, como esperado, a força líquida é paralela ao deslocamento, de modo que\(\theta = 0\) e\(cos \, \theta = 1\), e a rede é dada por
\[W_{net} = F_{net} d.\]
O efeito da força líquida\(F_{net}\) é acelerar a embalagem de\(v_0\) para\(v\) A energia cinética da embalagem aumenta, indicando que o trabalho de rede realizado no sistema é positivo. (Veja o exemplo.) Usando a segunda lei de Newton e fazendo alguma álgebra, podemos chegar a uma conclusão interessante. Substituindo\(F = ma\) a segunda lei de Newton dá
\[W_{net} = mad.\]
Para obter uma relação entre a rede e a velocidade dada a um sistema pela força líquida atuando sobre ele, pegamos\(d = x - x_0\) e usamos a equação estudada em Equações de Movimento para Aceleração Constante em Uma Dimensão para a mudança na velocidade a uma distância\(d\) se a aceleração tiver o valor constante\(a\), ou seja\(v^2 = v_0^2 + 2ad\). (observe que\(a\) aparece na expressão da rede). Resolver a aceleração dá\(a = \frac{v^2 - v_0^2}{2d}.\) Quando\(a\) é substituído na expressão anterior, pois\(W_{net}\) obtemos
\[W_{net} = m \left(\dfrac{v^2 - v_0^2}{2d} \right)d. \]
O\(d\) cancela, e nós reorganizamos isso para obter
\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2. \]
Essa expressão é chamada de teorema trabalho-energia e, na verdade, se aplica em geral (mesmo para forças que variam em direção e magnitude), embora a tenhamos derivado para o caso especial de uma força constante paralela ao deslocamento. O teorema implica que a rede em um sistema é igual à mudança na quantidade\(\frac{1}{2}mv^2\). Essa quantidade é nosso primeiro exemplo de uma forma de energia.
Teorema da Energia do Trabalho
A rede em um sistema é igual à mudança na quantidade\(\frac{1}{2}mv^2\).
\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2. \]
A quantidade\(\frac{1}{2}mv^2\) no teorema da energia de trabalho é definida como a energia cinética translacional (KE) de uma massa\(m\) se movendo a uma velocidade\(v\). (A energia cinética translacional é distinta da energia cinética rotacional, que é considerada posteriormente.) Em forma de equação, a energia cinética translacional,
\[KE = \dfrac{1}{2}mv^2,\]
é a energia associada ao movimento translacional. A energia cinética é uma forma de energia associada ao movimento de uma partícula, corpo único ou sistema de objetos se movendo juntos.
Estamos cientes de que é necessária energia para acelerar um objeto, como um carro ou o pacote na Figura, mas pode ser um pouco surpreendente que a energia cinética seja proporcional à velocidade ao quadrado. Essa proporcionalidade significa, por exemplo, que um carro viajando a 100 km/h tem quatro vezes a energia cinética que tem a 50 km/h, ajudando a explicar por que colisões de alta velocidade são tão devastadoras. Agora vamos considerar uma série de exemplos para ilustrar vários aspectos do trabalho e da energia.
Exemplo \(\PageIndex{1}\): Calculating the Kinetic Energy of a Package
Suponha que um pacote de 30,0 kg no sistema transportador de correia de rolos na Figura 7.03.2 esteja se movendo a 0,500 m/s. Qual é sua energia cinética?
Estratégia
Como a massa\(m\) e a velocidade\(v\) são dadas, a energia cinética pode ser calculada a partir de sua definição, conforme dada na equação\(KE = \frac{1}{2}mv^2\).
Solução
A energia cinética é dada por\[KE = \dfrac{1}{2}mv^2.\]
A inserção de valores conhecidos fornece
\[KE = 0.5(30.0 \, kg)(0.500 \, m/s)^2,\]
que rende
\[KE = 3.75 \, kg \cdot m^2/s^2 = 3.75 \, J\]
Discussão
Observe que a unidade de energia cinética é o joule, o mesmo que a unidade de trabalho, conforme mencionado quando o trabalho foi definido pela primeira vez. Também é interessante que, embora seja um pacote bastante grande, sua energia cinética não seja grande nessa velocidade relativamente baixa. Esse fato é consistente com a observação de que as pessoas podem mover pacotes assim sem se esgotar.
Exemplo \(\PageIndex{2}\): Determining the Work to Accelerate a Package
Suponha que você empurre a embalagem de 30,0 kg na Figura 7.03.2. com uma força constante de 120 N a uma distância de 0,800 m e que a força de atrito oposta seja em média 5,00 N.
(a) Calcule o trabalho de rede realizado na embalagem. (b) Resolva o mesmo problema da parte (a), desta vez encontrando o trabalho realizado por cada força que contribui para a força líquida.
Estratégia e conceito para (a)
Esse é um problema de movimento em uma dimensão, porque a força descendente (do peso do pacote) e a força normal têm a mesma magnitude e direção oposta, de modo que elas se cancelam no cálculo da força líquida, enquanto a força aplicada, o atrito e o deslocamento são todos horizontais. (Veja a Figura 7.03.2.) Como esperado, a rede é a força líquida multiplicada pela distância.
Solução para (a)
A força líquida é a força de empuxo menos o atrito, ou\(F_{net} = 120 \, N - 5.00 \, N = 115 \, N\). Assim, a rede é
\[W_{net} = F_{net}d = (115 \, N)(0.800 \, m) \]
\[= 92.0 \, N \cdot m = 92.0 \, J\]
Discussão para (a)
Esse valor é o trabalho de rede realizado no pacote. A pessoa realmente trabalha mais do que isso, porque o atrito se opõe ao movimento. O atrito faz um trabalho negativo e remove parte da energia que a pessoa gasta e a converte em energia térmica. A rede é igual à soma do trabalho realizado por cada força individual.
Estratégia e conceito para (b)
As forças que atuam na embalagem são a gravidade, a força normal, a força de atrito e a força aplicada. A força normal e a força da gravidade são perpendiculares ao deslocamento e, portanto, não funcionam.
Solução para (b)
A força aplicada funciona.
\[W_{app} = F_{app}d \, cos \, (0^o) = F_{app}d\]
\[= (120 \, N)(0.800 \, m) \]
\[= 96.0 \, J\]
A força de atrito e o deslocamento estão em direções opostas, de modo que\(\theta = 180^o\), e o trabalho realizado por atrito é
\[W_{fr} = F_{fr}d \, cos \, (180^o)\]
\[= -(5.00 \, N)(0.800 \, m)\]
\[= -4.00 \, J\]
Portanto, as quantidades de trabalho realizado pela gravidade, pela força normal, pela força aplicada e por atrito são, respectivamente,
\[W_{gr} = 0,\]
\[W_N = 0,\]
\[W_{app} = 96.0 \, J,\]
\[W_{fr} = -4 \, J.\]
O trabalho total realizado como a soma do trabalho realizado por cada força é então visto como
\[W_{total} = W_{gr} + W_N + W_{app} + W_{fr} = 92.0 \, J.\]
Discussão para (b)
O trabalho total calculado\(W_{total}\) como a soma do trabalho de cada força concorda, conforme esperado, com o trabalho\(W_{net}\) realizado pela força líquida. O trabalho realizado por uma coleção de forças atuando sobre um objeto pode ser calculado por qualquer abordagem.
Exemplo\(\PageIndex{3}\): Determining Speed from Work and Energy
Encontre a velocidade da embalagem na Figura 7.03.2. no final do push, usando conceitos de trabalho e energia.
Estratégia
Aqui, o teorema da energia de trabalho pode ser usado, porque acabamos de calcular o trabalho líquido\(W_{net}\) e a energia cinética inicial.\(\frac{1}{2}mv_0^2\) Esses cálculos nos permitem encontrar a energia cinética final\(\frac{1}{2}mv^2\) e, portanto, a velocidade final\(v\).
Solução
O teorema trabalho-energia em forma de equação é
\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2.\]
Resolvendo\(\frac{1}{2}mv^2\) doações
\[\dfrac{1}{2}mv^2 = W_{net} + \dfrac{1}{2}mv_0^2\]
Assim,\[\dfrac{1}{2}mv^2 = 92.0 \, J + 3.75 \, J = 95.75 \, J. \]
Resolver a velocidade final conforme solicitado e inserir valores conhecidos fornece
\[v = \sqrt{\dfrac{2(95.75 \, J)}{m}} = \sqrt{\dfrac{191.5 \, kg \cdot m^2/s^2}{30.0 \, kg}}\]
\[= 2.53 \, m/s\]
Discussão
Usando trabalho e energia, não apenas chegamos a uma resposta, vemos que a energia cinética final é a soma da energia cinética inicial e do trabalho em rede realizado na embalagem. Isso significa que o trabalho realmente aumenta a energia da embalagem.
Exemplo\(\PageIndex{4}\): Work and Energy Can Reveal Distance, Too
Até que ponto a embalagem na Figura 7.03.2. desce após a pressão, supondo que o atrito permaneça constante? Use considerações de trabalho e energia.
Estratégia
Sabemos que, quando a pessoa parar de empurrar, o atrito fará com que a embalagem descanse. Em termos de energia, o atrito faz um trabalho negativo até remover toda a energia cinética da embalagem. O trabalho realizado por atrito é a força do atrito vezes a distância percorrida vezes o cosseno do ângulo entre a força de atrito e o deslocamento; portanto, isso nos dá uma maneira de encontrar a distância percorrida depois que a pessoa para de empurrar.
Solução
A força normal e a força da gravidade se cancelam no cálculo da força líquida. A força de atrito horizontal é então a força líquida e atua de forma oposta ao deslocamento, portanto\(\theta = 180^o\). Para reduzir a energia cinética da embalagem a zero, o trabalho\(W_{fr}\) por atrito deve ser menos a energia cinética com a qual a embalagem começou mais o que a embalagem acumulou devido ao empurrão. Assim\(W_{fr} = -95.75 \, J\). Além disso\(W_{fr} = df' \, cos \, \theta = - Fd'\), onde\(d'\) está a distância necessária para parar. Assim,
\[d' = -\dfrac{W_{fr}}{f} = \dfrac{-95.75 \, J}{5.00 \, N}, \]
e assim
\[ d' = 19.2 \, m\]
Discussão
Essa é uma distância razoável para uma embalagem se deslocar em um sistema de transporte relativamente livre de atrito. Observe que o trabalho realizado por atrito é negativo (a força está na direção oposta do movimento), então ele remove a energia cinética.
Alguns dos exemplos desta seção podem ser resolvidos sem considerar a energia, mas à custa de perder a oportunidade de obter informações sobre o que trabalho e a energia estão fazendo nessa situação. No geral, as soluções que envolvem energia são geralmente mais curtas e fáceis do que aquelas que usam apenas cinemática e dinâmica.
Resumo
- A rede\(W_{net}\) é o trabalho realizado pela força da rede atuando sobre um objeto.
- O trabalho realizado em um objeto transfere energia para o objeto.
- A energia cinética translacional de um objeto de massa\(m\) se movendo em alta velocidade\(v\) é\(KE = \frac{1}{2}mv^2\).
- O teorema da energia de trabalho afirma que a rede\(W_{net} \) em um sistema muda sua energia cinética,\(W_{net} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\).
Glossário
- trabalho em rede
- trabalho realizado pela força líquida, ou soma vetorial de todas as forças, atuando sobre um objeto
- teorema da energia do trabalho
- o resultado, baseado nas leis de Newton, é que o trabalho em rede realizado em um objeto é igual à sua mudança na energia cinética
- energia cinética
- a energia que um objeto tem em razão de seu movimento, igual ao\(\frac{1}{2}mv^2\) movimento translacional (ou seja, não rotacional) de um objeto de massa\(m\) se movendo em velocidade\(v\)