6.6: Satélites e leis de Kepler - um argumento para a simplicidade

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Declare as leis do movimento planetário de Kepler.
Derive a terceira lei de Kepler para órbitas circulares.
Discuta o modelo ptolomaico do universo.

Exemplos de órbitas gravitacionais são abundantes. Centenas de satélites artificiais orbitam a Terra junto com milhares de pedaços de detritos. A órbita da Lua em torno da Terra intrigou os humanos desde tempos imemoriais. As órbitas de planetas, asteróides, meteoros e cometas ao redor do Sol não são menos interessantes. Se olharmos mais longe, veremos um número quase inimaginável de estrelas, galáxias e outros objetos celestes orbitando uns aos outros e interagindo por meio da gravidade.

Todos esses movimentos são governados pela força gravitacional e é possível descrevê-los com vários graus de precisão. Descrições precisas de sistemas complexos devem ser feitas com computadores grandes. No entanto, podemos descrever uma importante classe de órbitas sem o uso de computadores e consideraremos instrutivo estudá-las. Essas órbitas têm as seguintes características:

Uma massa pequena$m$ orbita uma massa muito maior$M$. Isso nos permite ver o movimento como se$M$ fosse estacionário - na verdade, como se fosse de um quadro de referência inercial colocado sobre$M$ - sem erros significativos. A massa$m$ é o satélite de$M$, se a órbita estiver ligada gravitacionalmente.
O sistema está isolado de outras massas. Isso nos permite negligenciar quaisquer pequenos efeitos causados pelas massas externas.

As condições são satisfeitas, com boa aproximação, pelos satélites da Terra (incluindo a Lua), pelos objetos que orbitam o Sol e pelos satélites de outros planetas. Historicamente, os planetas foram estudados primeiro, e há um conjunto clássico de três leis, chamadas leis do movimento planetário de Kepler, que descrevem as órbitas de todos os corpos que satisfazem as duas condições anteriores (não apenas planetas em nosso sistema solar). Essas leis descritivas receberam o nome do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), que as criou após um estudo cuidadoso (ao longo de cerca de 20 anos) de uma grande quantidade de observações meticulosamente registradas do movimento planetário feitas por Tycho Brahe (1546—1601). Essa coleta cuidadosa e o registro detalhado de métodos e dados são marcas da boa ciência. Os dados constituem a evidência a partir da qual novas interpretações e significados podem ser construídos.

Leis do movimento planetário de Kepler

Primeira Lei de Kepler

A órbita de cada planeta em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um foco.

Figura$\PageIndex{1}$: (a) Uma elipse é uma curva fechada de forma que a soma das distâncias de um ponto na curva até os dois focos$(f_1 and f_2) $ seja uma constante. Você pode desenhar uma elipse conforme mostrado colocando um alfinete em cada foco e, em seguida, colocando uma corda ao redor de um lápis e dos pinos e traçando uma linha no papel. Um círculo é um caso especial de uma elipse em que os dois focos coincidem (portanto, qualquer ponto do círculo está à mesma distância do centro). (b) Para qualquer órbita gravitacional fechada,$m$ segue um caminho elíptico com$M$ um foco. A primeira lei de Kepler afirma esse fato para planetas que orbitam o Sol.

Segunda Lei de Kepler

Cada planeta se move de forma que uma linha imaginária traçada do Sol para o planeta varra áreas iguais em tempos iguais (veja a Figura).

Terceira Lei de Kepler

A proporção dos quadrados dos períodos de quaisquer dois planetas em torno do Sol é igual à proporção dos cubos de suas distâncias médias do Sol. Em forma de equação, isso é\[ \dfrac{T_1^2}{T_2^2} =\dfrac{r_1^3}{r_2^3}\]

onde$T$ é o período (tempo para uma órbita) e$r$ é o raio médio. Essa equação é válida somente para comparar duas massas pequenas orbitando a mesma massa grande. Mais importante ainda, essa é apenas uma equação descritiva, não fornecendo informações sobre a causa da igualdade.

Na figura, o caminho elíptico de um planeta é mostrado. O Sol está no foco esquerdo. Três regiões sombreadas M A B, M C D e M E F são marcadas na figura unindo o Sol aos três pares de pontos A B, C D e E F no caminho elíptico. A velocidade do planeta é mostrada no planeta em uma direção tangencial ao caminho. — Figura$\PageIndex{2}$: As regiões sombreadas têm áreas iguais. Leva vezes iguais para$m$ ir de A a B, de C a D e de E a F. A massa$m$ se move mais rápido quando está mais próxima de$M$. A segunda lei de Kepler foi originalmente concebida para planetas que orbitam o Sol, mas tem uma validade mais ampla.

Observe novamente que, embora, por razões históricas, as leis de Kepler sejam estabelecidas para planetas que orbitam o Sol, elas são realmente válidas para todos os corpos que satisfazem as duas condições estabelecidas anteriormente.

Exemplo $\PageIndex{1}$: Find the Time for One Orbit of an Earth Satellite

Dado que a Lua orbita a Terra a cada 27,3 d e que está a uma distância média$3.84 \times 10^8 \, m$ do centro da Terra, calcule o período de um satélite artificial orbitando a uma altitude média de 1500 km acima da superfície da Terra.

Estratégia

O período, ou tempo de uma órbita, está relacionado ao raio da órbita pela terceira lei de Kepler, dada de forma matemática em$\frac{T_1^2}{T_2^2} =\frac{r_1^3}{r_2^3}$. Vamos usar o subscrito 1 para a Lua e o subscrito 2 para o satélite. Somos convidados a encontrar$T_2$. As informações fornecidas nos dizem que o raio orbital da Lua é$r_1 = 3.84 \times 10^8 \, m$ e que o período da Lua é$T_1 = 27.3 \, d$.

A altura do satélite artificial acima da superfície da Terra é dada e, portanto, devemos adicionar o raio da Terra (6380 km) para chegar$r_2 = (1500 +6380) km = 7880 \, km$. Agora, todas as quantidades são conhecidas e, portanto,$T_2$ podem ser encontradas.

Solução

A terceira lei de Kepler é\[ \dfrac{T_1^2}{T_2^2} =\dfrac{r_1^3}{r_2^3}.\]

Para resolver$T_2$, multiplicamos cruzadamente e pegamos a raiz quadrada, produzindo

\[T_2^2 = T_1^2 \left(\dfrac{r_2}{r_1} \right)^3 \]

\[T_2 = T_1 \left(\dfrac{r_2}{r_1} \right)^{\frac{3}{2}}. \]

Substituir valores conhecidos rende

\[T_2 = 27.3 \, d \times \dfrac {24 \, h}{d} \times \left( \dfrac {7880 \, km}{3.84 \times 10^5 km} \right )^{ \frac{3}{2}} \]

\[ = 1.93 \, h. \]

Discussão Este é um período razoável para um satélite em uma órbita bastante baixa. É interessante que qualquer satélite nessa altitude orbite na mesma quantidade de tempo. Esse fato está relacionado à condição de que a massa do satélite seja pequena em comparação com a da Terra.

As pessoas imediatamente buscam um significado mais profundo quando leis amplamente aplicáveis, como a de Kepler, são descobertas. Foi Newton quem deu o próximo grande passo quando propôs a lei da gravitação universal. Enquanto Kepler conseguiu descobrir o que estava acontecendo, Newton descobriu que a força gravitacional era a causa.

Derivação da Terceira Lei de Kepler para Órbitas Circulares

Devemos derivar a terceira lei de Kepler, começando com as leis do movimento de Newton e sua lei universal da gravitação. O objetivo é demonstrar que a força da gravidade é a causa das leis de Kepler (embora possamos derivar apenas a terceira).

Vamos considerar uma órbita circular de uma massa pequena$m$ em torno de uma grande massa$M$, satisfazendo as duas condições estabelecidas no início desta seção. A gravidade fornece a força centrípeta à massa$m$. Começando com a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular,

\[ F_{net} = ma_c = m\dfrac{v^2}{r}. \]

A força externa líquida sobre a massa$m$ é a gravidade e, portanto, substituímos a força da gravidade por$F_{net}$:

\[ G\dfrac{mM}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}. \]

A missa$m$ cancela, cedendo

\[G\dfrac{M}{r} = v^2. \]

O fato de ser$m$ cancelado é outro aspecto do fato frequentemente observado de que em um determinado local todas as massas caem com a mesma aceleração. Aqui vemos que em um determinado raio orbital$r$, todas as massas orbitam na mesma velocidade. (Isso estava implícito no resultado do exemplo trabalhado anterior.) Agora, para chegar à terceira lei de Kepler, precisamos colocar o período$T$ na equação. Por definição, período$T$ é o tempo de uma órbita completa. Agora, a velocidade média$v$ é a circunferência dividida pelo período, ou seja,

\[v = \dfrac{2\pi r}{T}. \]

Substituindo isso na equação anterior, obtém-se\[G\dfrac{M}{r} = \dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}.\]

Solução para obter$T^2$ rendimentos\[T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3. \]

Usando os subscritos 1 e 2 para denotar dois satélites diferentes, e tomando a proporção da última equação do satélite 1 para o satélite 2 produz

\[\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{r_1^3}{r_2^3}. \]

Esta é a terceira lei de Kepler. Note que a terceira lei de Kepler é válida somente para comparar satélites do mesmo corpo parental, porque só então a massa do corpo progenitor é$M$ cancelada.

Agora, considere o que obteremos se$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$ resolvermos a proporção$r^3/T^2$. Obtemos uma relação que pode ser usada para determinar a massa$M$ de um corpo parental a partir das órbitas de seus satélites:

\[\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{G}{4\pi^2}M.\]

Se$r$ e$T$ forem conhecidos por um satélite, a massa$M$ do pai pode ser calculada. Esse princípio tem sido usado extensivamente para encontrar as massas de corpos celestes que têm satélites. Além disso, a proporção$r^3/T^2$ deve ser constante para todos os satélites do mesmo corpo parental (porque$r^3/T^2 = GM/4\pi$. (Veja a tabela).

Fica claro na Tabela que a razão de$r^3/T^2$ é constante, pelo menos até o terceiro dígito, para todos os satélites do Sol listados e para os de Júpiter. Pequenas variações nessa proporção têm duas causas: incertezas nos$T$ dados$r$ e e perturbações das órbitas devido a outros corpos. Curiosamente, essas perturbações podem ser — e foram — usadas para prever a localização de novos planetas e luas. Essa é outra verificação da lei universal da gravitação de Newton.

FAZENDO CONEXÕES

A lei universal da gravitação de Newton é modificada pela teoria geral da relatividade de Einstein, como veremos em Física de Partículas. A gravidade de Newton não está seriamente errada — foi e ainda é uma aproximação extremamente boa para a maioria das situações. A modificação de Einstein é mais perceptível em campos gravitacionais extremamente grandes, como perto de buracos negros. No entanto, a relatividade geral também explica fenômenos como pequenos, mas conhecidos, desvios da órbita do planeta Mercúrio em relação às previsões clássicas.

A defesa da simplicidade

O desenvolvimento da lei universal da gravitação por Newton desempenhou um papel fundamental na história das ideias. Embora esteja além do escopo deste texto cobrir essa história com qualquer detalhe, notamos alguns pontos importantes. A definição de planeta estabelecida em 2006 pela União Astronômica Internacional (IAU) afirma que, no sistema solar, um planeta é um corpo celeste que:

está em órbita ao redor do Sol,
tem massa suficiente para assumir o equilíbrio hidrostático e
limpou a vizinhança em torno de sua órbita.

Um corpo não satélite que cumpra apenas os dois primeiros critérios acima é classificado como “planeta anão”.

Em 2006, Plutão foi rebaixado a um “planeta anão” depois que os cientistas revisaram sua definição do que constitui um planeta “verdadeiro”.

Pai	Satélite	Raio orbital médio r (km)	Período *T (y)*	$r^3/T^2 (km^3/y^2)$
Terra	Lua	$3.84 \times 10^5$ $\times 105$	0,07481	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $1.01 \times 10^{19}$ $. 10 \times 1019$
Sol	Mercúrio	$5.79 \times 10^7$. 79	0,2409	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $ 3,34 \times 10^{24}$ $. 34 \times 1024$
	Vênus	$1.082 \times 10^8$ $. 082 \times 108$	0,6150	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Terra	$1.496 \times 10^8$ $. 496 \times 108$	1.000	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Marte	$2.279 \times 10^8$ $. 279 \times 108$	1.881	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Júpiter	$7.783 \times 10^8$ $. 783 \times 108$	11,86	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Saturno	$1.427 \times 10^9$ $. 427 \times 109$	29,46	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Netuno	$4.497 \times 10^9$ $. 497 \times 109$	164,8	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.35 \times 10^{24}$ $. 35 \times 1024$
	Plutão	$5.90 \times 10^9$ $. 90 \times 109$	248,3	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.33 \times 10^{24}$ $. 33 \times 1024$
Júpiter	Io	$4.22 \times 10^5$ $. 22 \times 105$	0,00485 (1,77 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.19 \times 10^{21}$ $. 19 \times 1021$
	Europa	$6.71 \times 10^5$ $. 71 \times 105$	0,00972 (3,55 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.20 \times 10^{21}$ $. 20 \times 1021$
	Ganimedes	$1.07 \times 10^6$ $. 07 \times 106$	0,0196 (7,16 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.19 \times 10^{21}$ $. 19 \times 1021$
	Calisto	$1.88 \times 10^6$ $. 88 \times 106$	0,0457 (16,19 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> $3.20 \times 10^{21}$ $. 20 \times 1021$

A lei universal da gravitação é um bom exemplo de um princípio físico que é amplamente aplicável. Essa equação única para a força gravitacional descreve todas as situações nas quais a gravidade atua. Isso causa um grande número de efeitos, como as órbitas dos planetas e luas do sistema solar. Ele resume a unidade e a simplicidade subjacentes da física.

Antes das descobertas de Kepler, Copérnico, Galileu, Newton e outros, pensava-se que o sistema solar girava em torno da Terra, conforme mostrado na Figura (a). Isso é chamado de visão ptolomaica, para o filósofo grego que viveu no século II dC. Esse modelo é caracterizado por uma lista de fatos sobre os movimentos dos planetas sem explicação de causa e efeito. Costumava haver uma regra diferente para cada corpo celestial e uma falta geral de simplicidade.

A figura (b) representa o modelo moderno ou copernicano. Neste modelo, um pequeno conjunto de regras e uma única força subjacente explicam não apenas todos os movimentos no sistema solar, mas todas as outras situações que envolvem a gravidade. A amplitude e a simplicidade das leis da física são convincentes. À medida que nosso conhecimento da natureza cresceu, a simplicidade básica de suas leis se tornou cada vez mais evidente.

Na figura a, os caminhos dos diferentes planetas são mostrados na forma de círculos concêntricos pontilhados com a Terra no centro com sua Lua. O Sol também é mostrado girando em torno da Terra. Cada planeta é rotulado com seu nome. Nos planetas Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno são mostrados epiciclos de cor verde. Na figura b, é mostrada uma visão copernicana do planeta. O Sol é mostrado no centro do sistema solar. Os planetas são mostrados se movendo ao redor do Sol. — Figura$\PageIndex{3}$: (a) O modelo ptolomaico do universo tem a Terra no centro com a Lua, os planetas, o Sol e as estrelas girando em torno dela em superposições complexas de caminhos circulares. Esse modelo geocêntrico, que pode ser progressivamente mais preciso adicionando mais círculos, é puramente descritivo, não contendo dicas sobre quais são as causas desses movimentos. (b) O modelo copernicano tem o Sol no centro do sistema solar. É totalmente explicado por um pequeno número de leis da física, incluindo a lei universal da gravitação de Newton.

Resumo

As leis de Kepler são estabelecidas para uma massa pequena$m$ orbitando uma massa maior$M$ em quase isolamento. As leis do movimento planetário de Kepler são então as seguintes:

Primeira lei de Kepler

A órbita de cada planeta em torno do Sol é uma elipse com o Sol em um foco.

Segunda lei de Kepler

Cada planeta se move de forma que uma linha imaginária traçada do Sol para o planeta varra áreas iguais em tempos iguais.

Terceira lei de Kepler

A proporção dos quadrados dos períodos de quaisquer dois planetas em torno do Sol é igual à proporção dos cubos de suas distâncias médias do Sol:

\[ \dfrac{T_1^2}{T_2^2} =\dfrac{r_1^3}{r_2^3},\]

onde T é o período (tempo para uma órbita) e$r$ é o raio médio da órbita.

O período e o raio da órbita de um satélite em torno de um corpo maior M estão relacionados por
\[T^2=\frac{4π^2}{GM}r^3\]ou\[\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{G}{4\pi^2}M.\]

Pai	Satélite	Raio orbital médio r (km)	Período *T (y)*	\(r^3/T^2 (km^3/y^2)\)
Terra	Lua	\(3.84 \times 10^5\) $\times 105$	0,07481	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(1.01 \times 10^{19}\) $. 10 \times 1019$
Sol	Mercúrio	\(5.79 \times 10^7\). 79	0,2409	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \( 3,34 \times 10^{24}\) $. 34 \times 1024$
	Vênus	\(1.082 \times 10^8\) $. 082 \times 108$	0,6150	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Terra	\(1.496 \times 10^8\) $. 496 \times 108$	1.000	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Marte	\(2.279 \times 10^8\) $. 279 \times 108$	1.881	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Júpiter	\(7.783 \times 10^8\) $. 783 \times 108$	11,86	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Saturno	\(1.427 \times 10^9\) $. 427 \times 109$	29,46	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Netuno	\(4.497 \times 10^9\) $. 497 \times 109$	164,8	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.35 \times 10^{24}\) $. 35 \times 1024$
	Plutão	\(5.90 \times 10^9\) $. 90 \times 109$	248,3	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.33 \times 10^{24}\) $. 33 \times 1024$
Júpiter	Io	\(4.22 \times 10^5\) $. 22 \times 105$	0,00485 (1,77 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.19 \times 10^{21}\) $. 19 \times 1021$
	Europa	\(6.71 \times 10^5\) $. 71 \times 105$	0,00972 (3,55 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.20 \times 10^{21}\) $. 20 \times 1021$
	Ganimedes	\(1.07 \times 10^6\) $. 07 \times 106$	0,0196 (7,16 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.19 \times 10^{21}\) $. 19 \times 1021$
	Calisto	\(1.88 \times 10^6\) $. 88 \times 106$	0,0457 (16,19 d)	\ (R^3/t^2 (km^3/y^2)\)” style="alinhamento vertical:médio; "> \(3.20 \times 10^{21}\) $. 20 \times 1021$