6.3: Força centrípeta
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Objetivos de
Ao final desta seção, você poderá:
- Calcule o coeficiente de atrito em um pneu de carro.
- Calcule a velocidade e o ângulo ideais de um carro em uma curva.
Qualquer força ou combinação de forças pode causar uma aceleração centrípeta ou radial. Apenas alguns exemplos são a tensão na corda em uma bola de amarração, a força da gravidade da Terra na Lua, o atrito entre patins e o piso de uma pista, a força de uma pista inclinada em um carro e as forças no tubo de uma centrífuga giratória.
Qualquer força líquida que cause movimento circular uniforme é chamada de força centrípeta. A direção de uma força centrípeta é em direção ao centro da curvatura, a mesma direção da aceleração centrípeta. De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, a força líquida é massa vezes aceleração: líquida\(F = ma \). Para um movimento circular uniforme, a aceleração é a aceleração centrípeta -\(a = a_c\). Assim, a magnitude da força centrípeta\(F_c\) é\[ F_c = ma_c.\]
Usando as expressões para aceleração centrípeta\(a_c\) de\( a_c = \frac{v^2}{r}; \, a_c = r\omega^2\), obtemos duas expressões para a força centrípeta\(F_c\) em termos de massa, velocidade, velocidade angular e raio de curvatura:
\[F_c = m \dfrac{v^2}{r}; \, F_c = mr\omega^2.\]
Você pode usar qualquer expressão para força centrípeta que seja mais conveniente. A força centrípeta\(F_c\) é sempre perpendicular ao caminho e aponta para o centro da curvatura, porque\(a_c\) é perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura. Observe que, se você resolver a primeira expressão para\(r\), obterá\[r = \dfrac{mv^2}{F_c}.\]
Isso implica que, para uma determinada massa e velocidade, uma grande força centrípeta causa um pequeno raio de curvatura, ou seja, uma curva estreita.
Exemplo \(\PageIndex{1}\): What Coefficient of Friction Do Car Tires Need on a Flat Curve?
- Calcule a força centrípeta exercida em um carro de 900 kg que negocia uma curva de raio de 500 m a 25,0 m/s.
- Assumindo uma curva sem inclinação, encontre o coeficiente mínimo de atrito estático, entre os pneus e a estrada, sendo o atrito estático o motivo que impede o carro de escorregar (veja a Figura).
Estratégia e solução para (a)
Sabemos que\(F_c = \frac{mv^2}{r}.\), portanto,\[F_c = \dfrac{mv^2}{r} = \dfrac{(900\, kg)(25.0 \, m/s)^2}{500 \, m)} = 1125 \, N. \nonumber\]
Estratégia para (b)
A figura mostra as forças que atuam no carro em uma curva sem inclinação (nível do solo).
O atrito é para a esquerda, impedindo que o carro escorregue e, como é a única força horizontal atuando sobre o carro, o atrito é a força centrípeta neste caso. Sabemos que o atrito estático máximo (no qual os pneus rolam, mas não escorregam) é\(\mu_s N,\) onde\(\mu_s\) está o coeficiente estático de atrito e N é a força normal. A força normal é igual ao peso do carro em terreno nivelado,) de modo que\( N = mg\). Assim, a força centrípeta nessa situação é
\[F_c = f = \mu_sN = \mu_s mg. \nonumber\]
Agora temos uma relação entre a força centrípeta e o coeficiente de atrito. Usando a primeira expressão para\(F_c\) da equação
\[\begin{align*} F_c = m\dfrac{v^2}{r} \\[5pt] &= mr\omega^2 \end{align*} \]
\[m\dfrac{v^2}{r} = \mu_smg. \nonumber\]
Resolvemos isso\(\mu_s\), observando que a massa é cancelada e obtemos
\[\mu_s = \dfrac{v^2}{rg}. \nonumber\]
Solução para (b)
Substituindo os conhecidos,
\[\mu_s = \dfrac{(25.0 \, m/s)^2}{(500 \, m)(9.80 \, m/s^2)} = 0.13. \nonumber\]
(Como os coeficientes de atrito são aproximados, a resposta é dada a apenas dois dígitos.)
Discussão
Também poderíamos resolver a parte (a) usando a primeira expressão em
\[\begin{align*} F_c &= m\dfrac{v^2}{r} \\[4pt] &= mr\omega^2 \end{align*}\]
porque\(m\),\(v\) e\(r\) são dados. O coeficiente de atrito encontrado na parte (b) é muito menor do que normalmente é encontrado entre pneus e estradas. O carro ainda negociará a curva se o coeficiente for maior que 0,13, porque o atrito estático é uma força responsiva, podendo assumir um valor menor que, mas não maior que\(\mu_sN\). Um coeficiente mais alto também permitiria que o carro negociasse a curva em uma velocidade mais alta, mas se o coeficiente de atrito for menor, a velocidade segura seria inferior a 25 m/s. Observe que a massa é cancelada, o que implica que, neste exemplo, não importa o quão pesado o carro esteja para negociar a curva. A massa é cancelada porque o atrito é considerado proporcional à força normal, que por sua vez é proporcional à massa. Se a superfície da estrada estivesse inclinada, a força normal seria menor, como será discutido abaixo.
Vamos agora considerar curvas inclinadas, onde a inclinação da estrada ajuda você a negociar a curva. Veja a Figura. Quanto maior o ângulo\(\theta\), mais rápido você pode pegar a curva. As pistas de corrida para bicicletas e carros, por exemplo, costumam ter curvas acentuadas. Em uma “curva inclinada idealmente”, o ângulo\(\theta\) é tal que você pode negociar a curva em uma determinada velocidade sem o auxílio do atrito entre os pneus e a estrada. Derivaremos uma expressão\(\theta\) para uma curva idealmente inclinada e consideraremos um exemplo relacionado a ela.
Para uma inclinação ideal, a força externa líquida é igual à força centrípeta horizontal na ausência de atrito. Os componentes da força normal N nas direções horizontal e vertical devem ser iguais à força centrípeta e ao peso do carro, respectivamente. Nos casos em que as forças não são paralelas, é mais conveniente considerar os componentes ao longo dos eixos perpendiculares — nesse caso, nas direções vertical e horizontal.
A figura mostra um diagrama de carroceria livre para um carro em uma curva inclinada sem atrito. Se o ângulo\(\theta\) for ideal para a velocidade e o raio, a força externa líquida será igual à força centrípeta necessária. As duas únicas forças externas que atuam no carro são seu peso\(w\) e a força normal da estrada\(N\). (Uma superfície sem atrito só pode exercer uma força perpendicular à superfície, ou seja, uma força normal.) Essas duas forças devem ser adicionadas para dar uma força externa líquida que seja horizontal em direção ao centro da curvatura e tenha magnitude\(mv^2/r\). Como essa é a força crucial e é horizontal, usamos um sistema de coordenadas com eixos vertical e horizontal. Somente a força normal tem um componente horizontal e, portanto, isso deve ser igual à força centrípeta, ou seja,
\[N\, \sin \, \theta = \dfrac{mv^2}{r}.\]
Como o carro não sai da superfície da estrada, a força vertical líquida deve ser zero, o que significa que os componentes verticais das duas forças externas devem ser iguais em magnitude e opostos na direção. A partir da figura, vemos que o componente vertical da força normal é\(N\, cos \, \theta\), e a única outra força vertical é o peso do carro. Eles devem ser iguais em magnitude; portanto,
\[N\, \cos \, \theta = mg.\]
Agora podemos combinar as duas últimas equações para eliminar\(N\) e obter uma expressão para\(\theta\), conforme desejado. Resolver a segunda equação e substituí-la pela primeira produz\(N = mg/(cos \, \theta) \)
\[mg\dfrac{\sin\, \theta}{\cos \, \theta} = \dfrac{mv^2}{r}\]
\[ mg \, tan \, \theta = \dfrac{mv^2}{r}\]
\[\tan \, \theta = \dfrac{v^2}{rg}\]
Tomando a tangente inversa dá
\[\theta = \tan^{-1} \left( \dfrac{v^2}{rg} \right) \, (ideally \, banked \, curve, \, no \, friction). \]
Essa expressão pode ser entendida considerando como\(\theta\) depende de\(v\)\(r\) e. Um grande\(\theta\) será obtido para um grande\(v\) e um pequeno\(r\). Ou seja, as estradas devem ser inclinadas para altas velocidades e curvas nítidas. O atrito ajuda, pois permite que você faça a curva em uma velocidade maior ou menor do que se a curva não tivesse atrito. Note que isso\(\theta\) não depende da massa do veículo.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): What is the Ideal Speed to Take a Steeply Banked Tight Curve?
As curvas em algumas pistas de teste e pistas de corrida, como o Daytona International Speedway, na Flórida, são muito inclinadas. Esse banco, com a ajuda do atrito dos pneus e de configurações de carro muito estáveis, permite que as curvas sejam percorridas em altíssima velocidade. Para ilustrar, calcule a velocidade na qual uma curva de raio de 100 m inclinada a 65,0° deve ser percorrida se a estrada estiver sem atrito.
Estratégia
Primeiro, notamos que todos os termos na expressão para o ângulo ideal de uma curva inclinada, exceto a velocidade, são conhecidos; portanto, precisamos apenas reorganizá-la para que a velocidade apareça no lado esquerdo e, em seguida, substituir as quantidades conhecidas.
Solução
Começando com
\[\tan \, \theta = \dfrac{v^2}{rg} \nonumber\]
nós obtemos
\[v = (rg \, tan \, \theta)^{\frac{1}{2}}. \nonumber\]
Observando que tan 65,0º = 2,14, obtemos
\[ \begin{align*} v &= [(100 \, m)(9.80 \, m/s^2)(2.14)]^{\frac{1}{2}} \\[4pt] &= 45.8 \, m/s \end{align*} \]
Discussão
Isso é apenas cerca de 165 km/h, consistente com uma curva muito inclinada e bastante nítida. O atrito do pneu permite que um veículo faça a curva em velocidades significativamente mais altas.
Cálculos semelhantes aos dos exemplos anteriores podem ser realizados para uma série de situações interessantes nas quais a força centrípeta está envolvida — algumas delas são apresentadas nos Problemas e Exercícios deste capítulo.
EXPERIÊNCIA PARA LEVAR PARA CASA
Peça para um amigo ou parente balançar um taco de golfe ou uma raquete de tênis. Faça as medidas apropriadas para estimar a aceleração centrípeta da extremidade do taco ou da raquete. Você pode optar por fazer isso em câmera lenta.
EXPLORAÇÕES PHET: GRAVIDADE E ÓRBITAS
Mova o sol, a terra, a lua e a estação espacial para ver como isso afeta suas forças gravitacionais e caminhos orbitais. Visualize os tamanhos e as distâncias entre diferentes corpos celestes e desligue a gravidade para ver o que aconteceria sem ela!
Resumo
- Força centrípeta\(F_c\) é qualquer força que causa movimento circular uniforme. É uma força de “busca central” que sempre aponta para o centro de rotação. É perpendicular à velocidade linear\(v\) e tem uma magnitude\[F_c = ma_c \nonumber \] que também pode ser expressa como\[F_c = \dfrac{v^2}{r} \nonumber \] ou\[F_c = mr\omega^2 \nonumber\]
Glossário
- força centrípeta
- qualquer força líquida que cause movimento circular uniforme
- sistema bancário ideal
- a inclinação de uma curva em uma estrada, onde o ângulo da inclinação permite que o veículo negocie a curva a uma determinada velocidade sem o auxílio de atrito entre os pneus e a estrada; a força externa líquida sobre o veículo é igual à força centrípeta horizontal na ausência de atrito
- velocidade ideal
- a velocidade máxima segura na qual um veículo pode girar em uma curva sem o auxílio do atrito entre o pneu e a estrada
- ângulo ideal
- o ângulo em que um carro pode girar com segurança em uma curva íngreme, que é proporcional à velocidade ideal
- curva inclinada
- a curva em uma estrada que é inclinada de uma maneira que ajuda um veículo a negociar a curva