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9.4: Racionalizar frações algébricas

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    Definição: Denominador de expressões racionais

    Se o denominador de uma expressão racional contém somas ou diferenças envolvendo radicais, é uma boa forma de sempre racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

    O conjugado do denominador contém os mesmos termos, mas operações opostas (adição ou subtração).

    Exemplo Template:index

    Racionalize o denominador e simplifique:

    1. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)
    3. \(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}\)

    Solução

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(1 + \sqrt{x})}{(1 − \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((1+\sqrt{x})\)}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {FOIL o denominador.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 −\ cancel {\ sqrt {x}} +\ cancel {\ sqrt {x}} +\ cancel {\ sqrt {x}} x}} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {Remova termos opostos que somam zero.}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {O quadrado raiz de\(x\), quantidade ao quadrado é\(x\).}\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} &\ text {Resposta final com o denominador racionalizado, o que significa que não há termos de raiz quadrada no denominador.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {FOIL o denominador.}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Remova termos opostos que soma a zero.}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} &\ text {A raiz quadrada de\(x\), quantidade ao quadrado é\(x\), e a raiz quadrada de\(y\), quantidade ao quadrado é\(y\).}\\ &\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y}} {x − y} &\ text {Resposta final com o denominador racionalizado, significando que não há termos de raiz quadrada no denominador.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\)}\\ &\ dfrac {(\ sqrt {x}) ^2 + 2 (\ sqrt {x}\ sqrt {y}) + (\ sqrt {y}) ^2} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {y} +\ sqrt {x}\ sqrt {y} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {FOIL o numerador e o denominador.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ cancel {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} − (\ sqrt {y}) ^2} &\ text {Remova termos opostos que somam zero.}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ text {A raiz quadrada de\(x\), quantidade ao quadrado é\(x\), e a raiz quadrada de\(y\), quantidade ao quadrado é\(y\).}\\ &\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} e\ text {Resposta final com o denominador racionalizado, o que significa que não há termos de raiz quadrada no denominador.} \ end {matriz}\)
    Exercício Template:index

    Racionalize o denominador e simplifique:

    1. \(\dfrac{x}{1 − \sqrt{x}}\)
    2. \(\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}\)
    3. \(\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} − 1}\)
    4. \(\dfrac{x − 1}{\sqrt{x} − 1}\)