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9.3: Adicionar e subtrair expressões racionais

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    Definição: Adicionar ou subtrair expressões racionais

    Para adicionar ou subtrair expressões racionais, pense nisso como frações com variáveis. Um denominador comum (chamado LCD) é necessário para adição e subtração.

    Encontre o LCD/LCM

    Definição: LCD/LCM

    Para encontrar o LCD, primeiro fatore totalmente todos os denominadores. Construa o LCD a partir dos fatores encontrados em todos os denominadores. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes que ele ocorre em qualquer expressão. Se o mesmo fator ocorrer mais de uma vez em ambas as expressões, multiplique o fator pelo maior número de vezes que ele ocorre em qualquer expressão. Ele será chamado de LCM nesta seção (Múltiplo Menos Comum), porque não há frações nesses problemas.

    Exemplo Template:index
    1. \((x^2 − 2x − 3)\)e\((x^2 + 2x − 15)\)
    2. \((x^2 − 9)\)e\((2x^2 − 5x − 3)\)
    3. \((x^2 + x − 2)\)e\((x^2 + 4x + 4)\)

    Solução

    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 2x − 3) \text{ and } (x^2 + 2x − 15) &\text{Example problem} \\ &(x − 3)(x + 1) \text{ and } (x − 3)(x + 5) &\text{Factor} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 1)(x + 5) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\& &\text{Only one copy of \((x − 3)\)é necessário porque representa o fator encontrado em cada expressão.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − 9) \text{ and } (2x^2 − 5x − 3) &\text{Example problem} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x^2−6x+1x−3) &\text{Factor; the first polynomial is a difference of squares, and use factor by grouping for the second polynomial.} \\ &(x−3)(x+3) \text{ and } (2x(x−3)+1(x− 3)) &\text{Factor by grouping.} \\ &(x − 3)(x + 3) \text{ and } (2x + 1)(x − 3) &\text{Completely factored.} \\ &\text{The LCM is } (x − 3)(x + 3)(2x + 1) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Only one copy of \((x − 3)\)é necessário porque representa o fator encontrado em cada expressão.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 + x − 2) \text{ and } (x^2 + 4x + 4) &\text{Example problem} \\ &(x − 1)(x + 2) \text{ and } (x + 2)(x + 2) &\text{Factor.} \\ &\text{The LCM is } (x − 1)(x + 2)(x + 2) &\text{Final answer. Every factor must be represented in the answer.} \\ & &\text{Two copies of \((x + 2)\)são necessários, porque representam o maior número desses fatores encontrados em qualquer expressão.}\\ &\ text {O LCM é} (x − 1) (x + 2) ^2 &\ text {Resposta alternativa.} \ end {matriz}\)
    Exercício Template:index

    Encontre o LCM:

    1. \((3x^2 − 13x + 4)\)e\((x^2 − 16)\)
    2. \((2x^2 + x − 3)\)e\((x^2 − 2x + 1)\)
    3. \((x − 1)\)e\((x^2 − 4x − 5)\)
    4. \((6x^2 − 23x + 20)\)e\((4x^2 − 25)\)

    Subtraia expressões racionais e simplifique para uma única expressão racional

    Definição: Adicionar ou subtrair expressões racionais usando o LCD

    Expressões racionais são frações com variáveis (também conhecidas como frações algébricas). Para adicionar ou subtrair expressões racionais, primeiro encontre o denominador comum (o LCD) e, em seguida, adicione ou subtraia os numeradores, mantendo o mesmo denominador (comum). Finalmente, fatore e simplifique removendo fatores comuns do numerador e do denominador, se possível.

    Exemplo Template:index

    Adicione ou subtraia e simplifique:

    1. \(\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5}\)
    2. \(\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9}\)
    3. \(\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)

    Solução

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x}{2x − 1} - \dfrac{2x}{2x + 5} &\text{Find the LCD, which is \((2x − 1)(2x + 5)\)}\\ &\ dfrac {2x (2x + 5)} {(2x − 1) (2x + 5)} -\ dfrac {2x (2x − 1)} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Multiplique o numerador e o denominador de cada expressão racional pelos termos que faltam no LCD.}\\ &\ dfrac {2x x (2x + 5) − [2x (2x − 1)]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Coloque a subtração no numerador sobre um único denominador comum.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − [4x^2 − 2x]} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Distribua, combine termos semelhantes e simplifique o numerador.}\\ &\ dfrac {4x^2 + 10x − 4x^2 + 2x} {(2x − 2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Tenha o cuidado de distribuir a subtração em ambos os termos.}\\ &\ dfrac { 12x} {(2x − 1) (2x + 5)} &\ text {Resposta final.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{4}{x^2 − 9} - \dfrac{5}{x^2 − 6x + 9} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{4}{(x + 3)(x − 3)} - \dfrac{5}{(x − 3)(x − 3)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 3)(x − 3)(x + 3)\)}\\ &\ dfrac {4 (x − 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} -\ dfrac {5 (x + 3)} {(x − 3) (x − 3) (x + 3) (x + 3)} &\ text {Multiplique o numerador e o denominador de cada expressão racional pelos termos que faltam no LCD.}\\ &\ dfrac {4} {(x − 3) − 5 (x + 3)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Coloque a subtração em o numerador sobre um único denominador comum.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − [5x + 15]} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Distribua, combine termos semelhantes e simplifique o numerador.}\\ &\ dfrac {4x − 12 − 5x − 15} {(x + 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x 3) (x) (x 3) (x − 3)} &\ text {Tenha o cuidado de distribuir a subtração para ambos os termos.}\\ &\ dfrac {−x − 27} {(x + 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Resposta final.}\\ &\ dfrac {− (x + 27)} {(x + 3) (x − 3) (x − 3) (x − 3)} &\ text {Resposta alternativa}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x}{1 + x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Factor the denominators.} \\ &\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2x + 3}{(x − 1)(x + 1)} &\text{Find the LCD, which is \((x − 1)(x + 1)\)}\\ &\ dfrac {x (x − 1)} {(x + 1) (x − 1)} +\ dfrac {(2x + 3)} {(x − 1) (x + 1)} &\ text {Multiplique o numerador e o denominador de cada expressão racional pelos termos que faltam no LCD.}\\ & &\ text {Observe que a segunda expressão racional já tem o LCD como seu denominador.}\\ [0,125 in] &\ dfrac {x (x − 1) + (2x + 3)} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Coloque a subtração no numerador sobre um único denominador comum.}\\ &\ dfrac {x^2 − x + 2x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Distribuir, combinar termos como e simplifique o numerador.}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text { Tenha o cuidado de distribuir a subtração para os dois termos.}\\ &\ dfrac {x^2 + x + 3} {(x + 1) (x − 1)} &\ text {Resposta final.} \ end {matriz}\)
    Exercício Template:index

    Adicione ou subtraia e simplifique:

    1. \(\dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{24x^3}{x3 + 2}\)
    2. \(\dfrac{x}{1 − x} + \dfrac{2x + 3}{x^2 − 1}\)
    3. \(\dfrac{5}{x + 3} + \dfrac{x^2 − 4x − 21}{x^2 − 9}\)
    4. \(\dfrac{39x + 36}{x^2 − 3x − 10} - \dfrac{23x − 16}{x^2 − 7x + 10}\)