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7.3: Linhas perpendiculares

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    Definição: Linhas perpendiculares

    Duas linhas distintas\(l\) e\(q\) são perpendiculares, escritas\(l ⊥ q\), se sua interseção formar quatro ângulos retos ou ângulos com medida\(90^{\circ}\). As inclinações das retas perpendiculares\(l\) e\(q\) são recíprocos negativos. Ou seja,

    \[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

    e

    \[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

    Exemplo Template:index

    Determine se as linhas fornecidas são perpendiculares. A linha\(l\) que passa pelos pontos\((0, 1)\) e\((1, 3)\), e a linha\(q\) que passa pelos pontos\((−1, 4)\)\((5, 1)\) e.

    Solução

    Para determinar se as linhas são perpendiculares, primeiro encontre suas inclinações usando a fórmula da inclinação da linha. A inclinação da linha\(l\)\(m_l\), que passa pelos pontos\((0, 1)\) e\((1, 3)\) é,

    \(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

    A inclinação da linha\(q\),\(m_q\), que passa pelos pontos\((−1, 4)\) e\((5, 1)\), é

    \(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

    Agora, as linhas\(l\) e\(q\) são perpendiculares se e somente se:

    \(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

    \(m_l = 2\)\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\)e. Portanto, as inclinações das retas são recíprocas negativas, então pode-se concluir que as retas\(l\) e\(q\) são retas perpendiculares.

    Exemplo Template:index

    Encontre a inclinação de uma linha perpendicular à linha\(l\) que passa pelos pontos\((−3, 0)\)\((3, 4)\) e.

    Solução

    Comece encontrando a inclinação da linha\(l\) que passa pelos pontos\((−3, 0)\) e\((3, 4)\), usando a fórmula da inclinação da linha. Assim,

    \(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

    Qualquer linha perpendicular à linha\(l\) deve ter uma inclinação negativa recíproca de sua inclinação. Desde\(m_l = \dfrac{2}{3}\) então, a inclinação da linha perpendicular à linha\(l\) deve ser\(m = −\dfrac{3}{2}\)

    Exercício Template:index

    Determine se as linhas fornecidas são perpendiculares.

    1. A linha\(l\) que passa pelos pontos\((0, 4)\)\((5, 3)\) e a linha\(q\) que passa pelos pontos\((1, 5)\)\((−1, −5)\) e.
    2. A linha\(l\) que passa pelos pontos\((−2, −5)\)\((1, 7)\) e a linha\(q\) que passa pelos pontos\((−4, 1)\)\((−3, −3)\) e.
    Exercício Template:index

    Encontre a inclinação de uma linha perpendicular a:

    1. Linha\(l\) que passa pelos pontos\((4, 2)\)\((−1, −2)\) e.
    2. Linha\(q\) que passa pelos pontos\((7, −8)\)\((9, 1)\) e.