Skip to main content
Global

2.3: A fórmula da distância

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    170185

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A seção anterior ensinou como traçar pontos no plano de coordenadas retangular. Esta seção ensina como encontrar a distância entre quaisquer dois pontos no plano. Por exemplo, para encontrar a distância dos pontos\((x_1, y_1)\) e\((x_2, y_2)\) considerar a seguinte fórmula:

    Definição: Fórmula de Distância

    A distância d entre dois pontos\(P_1(x_1, y_1)\) e\(P_2(x_2, y_2)\) no plano é dada por:

    \(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

    Exemplo Template:index

    Encontre a distância entre os pontos\((−5, 2)\) e\((3, 4)\)

    Solução

    \(P_2(3, 4)\)Seja\(P_1(−5, 2)\) e seja dois pontos no plano e deixe\(x_1 = −5\)\(y_1 = 2\)\(x_2 = 3\),,\(y_2 = 4\) e.

    Usando a fórmula da distância com os valores fornecidos:

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

    Portanto, a distância entre os dois pontos fornecidos é\(2\sqrt{17}\).

    Exemplo Template:index

    Encontre a distância entre os pontos\((−2.5, −1)\)\((−3, −1.5)\) e.

    Solução

    \(P_2(−3, −1.5)\)Seja\(P_1(−2.5, −1)\) e seja pontos no avião e deixe\(x_1 = −2.5\)\(y_1 = −1\),\(x_2 = −3\)\(y_2 = −1.5\) e.

    Em seguida, usar a fórmula da distância com os valores fornecidos produz,

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

    Portanto, a distância entre os dois pontos dados é de aproximadamente 0,71.

    Exercício Template:index
    1. Encontre a distância entre\(P_1(−3, −1.5)\)\(P_2(−2.5, − 1)\) e. Compare a resposta com a resposta no exemplo 2. O que pode ser concluído?
    2. Encontre a distância entre\((−3, 6)\) e\((2, 4)\)
    3. Encontre a distância entre os pontos\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) e\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
    4. Por que a fórmula da distância é usada?