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11.4: Elipses

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Faça um gráfico de uma elipse com centro na origem
    • Encontre a equação de uma elipse com centro na origem
    • Faça um gráfico de uma elipse com o centro não na origem
    • Resolva a aplicação com elipses

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Gráfico\(y=(x-1)^{2}-2\) usando transformações.
      Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 9.57.
    2. Complete o quadrado:\(x^{2}-8 x=8\).
      Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 9.12.
    3. Escreva em formato padrão. \(y=2 x^{2}-12 x+14\)
      Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 9.59.

    Faça um gráfico de uma elipse com o centro na origem

    A próxima seção cônica que veremos é uma elipse. Definimos uma elipse como todos os pontos em um plano onde a soma das distâncias de dois pontos fixos é constante. Cada um dos pontos fornecidos é chamado de foco da elipse.

    Definição\(\PageIndex{1}\)

    Uma elipse são todos os pontos em um plano em que a soma das distâncias de dois pontos fixos é constante. Cada um dos pontos fixos é chamado de foco da elipse.

    Esta figura mostra um cone duplo cruzado por um plano para formar uma elipse.
    Figura 11.3.1

    Podemos desenhar uma elipse pegando um comprimento fixo de corda flexível e prendendo as pontas a duas tachinhas. Usamos uma caneta para esticar a corda e girá-la em torno das duas tachinhas. A figura resultante é uma elipse.

    Esta figura mostra uma caneta presa a duas cordas, cujas outras extremidades estão presas a duas tachinhas. As cordas são esticadas e a caneta é girada para desenhar uma elipse. As tachinhas são rotuladas como F subscrito 1 e F subscrito 2.
    Figura 11.3.2

    Uma linha traçada através dos focos cruza a elipse em dois pontos. Cada ponto é chamado de vértice da elipse. O segmento que conecta os vértices é chamado de eixo principal. O ponto médio do segmento é chamado de centro da elipse. Um segmento perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro e cruza a elipse em dois pontos é chamado de eixo menor.

    Esta figura mostra duas elipses. Em cada um, dois pontos dentro da elipse são identificados como focos. Uma linha traçada através dos focos cruza a elipse em dois pontos. Cada ponto é rotulado como vértice. Em A figura à esquerda, o segmento que conecta os vértices é chamado de eixo principal. Um segmento perpendicular ao eixo maior que passa por seu ponto médio e cruza a elipse em dois pontos é rotulado como eixo menor. O eixo principal é maior que o eixo menor. Em A figura à direita, o segmento através dos focos, conectando os vértices, é mais curto e é rotulado como eixo menor. Seu ponto médio é rotulado como centro.
    Figura 11.3.3

    Mencionamos anteriormente que nosso objetivo é conectar a geometria de uma cônica com a álgebra. Colocar a elipse em um sistema de coordenadas retangulares nos dá essa oportunidade. Na figura, colocamos a elipse de forma que os focos\(((−c,0),(c,0))\) fiquem no\(x\) eixo -e o centro seja a origem.

    A figura à esquerda mostra uma elipse com seu centro na origem dos eixos coordenados e seus focos nos pontos menos (c, 0) e (c, 0). Um segmento se conecta (menos c, 0) a um ponto (x, y) na elipse. O segmento é rotulado como d subscrito 1. Outro segmento, denominado d subscript 2, conecta (c, 0) a (x, y). A figura à direita mostra uma elipse com centro na origem, focos (menos c, 0) e (c, 0) e vértices (menos a, 0) e (a, 0). O ponto em que a elipse cruza com o eixo y é rotulado (0, b). Os segmentos que conectam (0, 0) a (c, 0), (c, 0) a (0, b) e (0, b) a (0, 0) formam um triângulo estreito com os lados c, a e b respectivamente. A equação é um quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado.
    Figura 11.3.4

    A definição afirma que a soma da distância dos focos até um ponto\((x,y)\) é constante. Então\(d_{1}+d_{2}\) é uma constante que chamaremos\(2a\) assim,\(d_{1}+d_{2}=2 a\). Usaremos a fórmula da distância para nos levar a uma fórmula algébrica para uma elipse.

    \(d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a\)

    Use a fórmula da distância para encontrar\(d_{1},d_{2}\).

    \(\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a\)

    Depois de eliminar os radicais e simplificar, obtemos:

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1\)

    Para simplificar a equação da elipse, deixamos\(a^{2}−c^{2}=b^{2}\) .So, a equação de uma elipse centrada na origem na forma padrão é:

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Para representar graficamente a elipse, será útil conhecer as interceptações. Encontraremos os\(x\) -interceptos e\(y\) -interceptos usando a fórmula.

    \(y\)-intercepta

    Deixe\(x=0\).

    \(\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}\)

    As\(y\) interceptações -são\((0,b)\)\((0, -b)\) e.

    \(x\)-intercepta

    Deixe\(y=0\).

    \(\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}\)

    As\(x\) interceptações -são\((a,0)\)\((-a,0)\) e.

    Definição\(\PageIndex{2}\)

    Forma padrão da equação: uma elipse com centro\((0,0)\)

    A forma padrão da equação de uma elipse com centro\((0,​​0)\) é

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    As\(x\) interceptações -são\((a,0)\)\((−a,0)\) e.

    As\(y\) interceptações -são\((0,b)\)\((0,−b)\) e.

    Duas figuras mostram elipses com seus centros na origem dos eixos coordenados. Eles cruzam o eixo x nos pontos (menos a, 0) e (a, 0) e o eixo y nos pontos (0, b) e (0, menos b). Na figura à esquerda, o eixo principal da elipse está ao longo do eixo x e na figura à direita, está ao longo do eixo y.
    Figura 11.3.5

    Observe que quando o eixo principal é horizontal, o valor de\(a\) será maior que o valor de\(b\) e quando o eixo principal for vertical, o valor de\(b\) será maior que o valor de\(a\). Usaremos essas informações para representar graficamente uma elipse centrada na origem.

    Elipse com centro\((0,0)\)

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) \(a>b\) \(b>a\)
    Eixo principal no\(x\) eixo -. no\(y\) eixo -
    \(x\)-intercepta \((-a, 0),(a, 0)\)  
    \(y\)-intercepta \((0,-b),(0, b)\)  
    Tabela 11.3.1
    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Gráfico:\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\).

    Solução:

    Etapa 1. Escreva a equação na forma padrão. Está na forma padrão. \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
    Etapa 2. Determine se o eixo principal é horizontal ou vertical. Como\(9>4\) e\(9\) está no\(y^{2}\) termo, o eixo principal é vertical. O eixo principal é vertical.
    Etapa 3. Encontre as extremidades do eixo principal.

    Os pontos finais serão os\(y\) interceptos.

    Desde\(b^{2}=9\) então\(b=\pm 3\).

    Os pontos finais do eixo principal são\((0,3),(0,-3)\).

    		 Os pontos finais do eixo principal são\((0,3),(0,-3)\).
    Etapa 4. Encontre as extremidades do eixo menor. Os pontos finais serão os\(x\) interceptos.

    Desde\(a^{2}=4\) então\(a=\pm 2\).

    Os pontos finais do eixo principal são\((2,0),(-2,0)\).

    		 Os pontos finais do eixo principal são\((2,0),(-2,0)\).
    Etapa 5. Esboce a elipse.   Captura de tela (147) .png
    Tabela 11.3.2
    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Gráfico:\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 2, 0) e (2, 0) e interceptos y (0, 4) e (0, menos 4).
    Figura 11.3.7
    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Gráfico:\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 3, 0) e (3, 0) e interceptos y (0, 4) e (0, menos 4).
    Figura 11.3.8

    Resumimos as etapas para referência.

    COMO REPRESENTAR GRAFICAMENTE UMA ELIPSE COM O CENTRO\((0,0)\).

    1. Escreva a equação na forma padrão.
    2. Determine se o eixo principal é horizontal ou vertical.
    3. Encontre as extremidades do eixo principal.
    4. Encontre os pontos finais do eixo menor
    5. Esboce a elipse.

    Às vezes, nossa equação primeiro precisa ser colocada na forma padrão.

    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Gráfico\(x^{2}+4 y^{2}=16\).

    Solução:

    Reconhecemos isso como a equação de uma
    elipse, pois os\(y\) termos\(x\) e são
    quadrados e têm coeficientes diferentes.    		 \(x^{2}+4 y^{2}=16\)
    Para obter a equação na forma padrão, divida os
    dois lados\(16\) por para que a equação seja
    igual\(1\) a.    		 \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}\)
    Simplifique. \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\)
    A equação está na forma padrão.
    A elipse está centrada na origem.    		 O centro é\((0,0)\).
    Como\(16>4\) e\(16\) está no\(x^{2}\) termo,
    o eixo principal é horizontal.    		  
    \(a^{2}=16, a=\pm 4\)
    \(b^{2}=4, \quad b=\pm 2\)
    Os vértices são\((4,0),(−4,0)\).
    Os pontos finais do eixo menor são
    \((0,2),(0,−2)\).
    Esboce a parábola. .
    Tabela 11.3.3
    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Gráfico\(9 x^{2}+16 y^{2}=144\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 4, 0) e (4, 0) e interceptos y (0, 3) e (0, menos 3).
    Figura 11.3.10
    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Gráfico\(16 x^{2}+25 y^{2}=400\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 5, 0) e (5, 0) e interceptos y (0, 4) e (0, menos 4).
    Figura 11.3.11

    Encontre a equação de uma elipse com o centro na origem

    Se recebermos o gráfico de uma elipse, podemos encontrar a equação da elipse.

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encontre a equação da elipse mostrada.

    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 4, 0) e (4, 0) e interceptos y (0, 3) e (0, menos 3).
    Figura 11.3.12

    Solução:

    Nós reconhecemos isso como uma elipse centrada na origem.

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Como o eixo principal é horizontal e a distância do centro ao vértice é\(4\), nós sabemos\(a=4\) e assim\(a^{2}=16\).

    \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    O eixo menor é vertical e a distância do centro até a elipse é\(3\), nós sabemos\(b=3\) e assim por diante\(b^{2}=9\).

    \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Encontre a equação da elipse mostrada.

    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 2, 0) e (2, 0) e interceptos y (0, 5) e (0, menos 5).
    Figura 11.3.13
    Resposta

    \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Encontre a equação da elipse mostrada.

    Este gráfico mostra uma elipse com interceptos x (menos 3, 0) e (3, 0) e interceptos y (0, 2) e (0, menos 2).
    Figura 11.3.14
    Resposta

    \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)

    Faça um gráfico de uma elipse com o centro fora da origem

    As elipses que observamos até agora estão todas centradas na origem. Agora veremos as elipses cujo centro é\((h,k)\).

    A equação é\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\) e quando\(a>b\), o eixo principal é horizontal, então a distância do centro ao vértice é\(a\). Quando\(b>a\), o eixo principal é vertical, então a distância do centro até o vértice é\(b\).

    Definição\(\PageIndex{3}\)

    Forma padrão da equação: uma elipse com centro\((h,k)\)

    A forma padrão da equação de uma elipse com centro\((h,k)\) é

    \(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

    Quando\(a>b\), o eixo principal é horizontal, então a distância do centro até o vértice é\(a\).

    Quando\(b>a\), o eixo principal é vertical, então a distância do centro até o vértice é\(b\).

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Gráfico:\(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\).

    Solução:

    A equação está na forma padrão,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\). \(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)
    A elipse está centrada em\((h,k)\). O centro é\((3,1)\).
    Como\(9>4\) e\(9\) está no\(x^{2}\) termo, o eixo principal é horizontal.  
    \(a^{2}=9, a=\pm 3\)
    \(b^{2}=4, b=\pm 2\)    		 A distância do centro aos vértices é\(3\).
    A distância do centro até as extremidades do eixo
    menor é\(2\).
    Esboce a elipse. .
    Tabela 11.3.4
    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Gráfico:\(\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com centro em (menos 3, 5), vértices em (menos 3, 9) e (menos 3, 1) e pontos finais do eixo menor em (menos 5, 5) e (menos 1, 5).
    Figura 11.3.16
    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Gráfico:\(\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1\).

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com centro em 1, menos 3, vértices em (menos 4, menos 3) e (6, menos 3) e pontos finais do eixo menor em 1, 1) e (menos 1, menos 7).
    Figura 11.3.17

    Se observarmos as equações de\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) e\(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\), veremos que ambas são elipses com\(a=3\)\(b=2\) e. Então, eles terão o mesmo tamanho e forma. Eles são diferentes porque não têm o mesmo centro.

    A equação na primeira figura é x ao quadrado sobre 9 mais y ao quadrado sobre 4 é igual a 1. Aqui, a é 3 e b é 2. A elipse é representada graficamente com o centro em (0, 0). A equação à direita é parênteses abertos x menos 3 parênteses próximos ao quadrado sobre 9 mais parênteses abertos y menos 1 parênteses próximos ao quadrado sobre 4 é igual a 1. Aqui, também, a é 3 e b é 2, mas o centro é (3, 1). A elipse é mostrada no mesmo gráfico junto com a primeira elipse. É mostrado que o centro moveu 3 unidades para a direita e 1 unidade para cima.
    Figura 11.3.18

    Observe no gráfico acima que poderíamos ter representado graficamente\(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\) por traduções. Movemos a elipse original para as\(3\) unidades certas e depois para cima\(1\).

    Este gráfico mostra uma elipse traduzida do centro (0, 0) para o centro (3, 1). O centro moveu 3 unidades para a direita e 1 unidade para cima. A elipse original tem vértices em (menos 3, 0) e (3, 0) e ponto final do eixo menor em (menos 2, 0) e (2, 0). A elipse traduzida tem vértices em (0, 1) e (6, 1) e pontos finais do eixo menor em (3, menos 1) e (3, 3).
    Figura 11.3.19

    No próximo exemplo, usaremos o método de tradução para representar graficamente a elipse.

    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Gráfico\(\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1\) por tradução.

    Solução:

    Essa elipse terá o mesmo tamanho e forma de\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\) quem está o centro\((0,0)\). Primeiro, representamos graficamente essa elipse.

    O centro é\((0,0)\). Centro\((0,0)\)
    Desde então\(16>9\), o eixo principal é horizontal.  
    \(a^{2}=16, a=\pm 4\)
    \(b^{2}=9, \quad b=\pm 3\)    		 Os vértices são\((4,0),(−4,0)\).
    Os pontos finais do eixo menor são
    \((0,3),(0,−3)\).
    Esboce a elipse. .
    A equação original está na forma padrão,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\). \(\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1\)
    A elipse está centrada em\((h,k)\). O centro é\((-4,6)\).
    Traduzimos o gráfico de\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\) quatro
    unidades para a esquerda e depois para cima\(6\).
    Verifique se o centro está\((−4,6)\).
    A nova elipse é a elipse cuja equação
    é
    \(\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1\).    		 .
    Tabela 11.3.5
    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Gráfico\(\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1\) por tradução.

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com centro (5, menos 4), vértices (2, menos 4) e (8, menos 4) e pontos finais do eixo menor (5, menos 2) e (5, menos 6).
    Figura 11.3.22
    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Gráfico\(\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1\) por tradução.

    Resposta
    Este gráfico mostra uma elipse com centro (menos 6, menos 2), vértices (menos 6, 3) e (menos 6, menos 7) e pontos finais do eixo menor (menos 10, menos 2) e (menos 2, menos 2).
    Figura 11.3.23

    Quando uma equação tem um\(x^{2}\) e a\(y^{2}\) com coeficientes diferentes, verificamos se é uma elipse colocando-a na forma padrão. Em seguida, poderemos representar graficamente a equação.

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Escreva a equação\(x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0\) em formato padrão e gráfico.

    Solução:

    Colocamos a equação na forma padrão completando os quadrados em\(x\)\(y\) e.

      \(x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0\)
    Reescreva o agrupamento dos\(x\) termos e\(y\) termos. .
    Faça com que os coeficientes sejam\(y^{2}\) iguais\(x^{2}\) e iguais\(1\). .
    Complete os quadrados. .
    Escreva como quadrados binomiais. .
    Divida os dois lados por\(16\) para ir para a\(1\) direita. .
    Simplifique. .
    A equação está na forma padrão,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\) .
    A elipse está centrada em\((h,k)\). O centro é\((2,-3)\).

    Como\(16>4\) e\(16\) está no\(x^{2}\) termo, o eixo principal é horizontal.

    \(a^{2}=16, a=\pm 4\)
    \(b^{2}=4, \quad b=\pm 2\)

    A distância do centro aos vértices é\(4\).

    A distância do centro até as extremidades do eixo menor é\(2\).
    Esboce a elipse. .
    Tabela 11.3.6
    Exercício\(\PageIndex{11}\)
    1. Escreva a equação\(6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0\) na forma padrão e
    2. Gráfico.
    Resposta
    1. \(\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1\)
    Este gráfico mostra uma elipse com centro (menos 1, 4), vértices menos (1, 1) e (menos 1, 7) e pontos finais do eixo menor aproximadamente (menos 3,5, 4) e (aproximadamente 1,5, 4).
    Figura 11.3.32
    Exercício\(\PageIndex{12}\)
    1. Escreva a equação\(4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0\) na forma padrão e
    2. Gráfico.
    Resposta
    1. \(\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1\)
    Este gráfico mostra uma elipse com centro (2, 3), vértices (2, menos 1) e (2, 7) e pontos finais de eixos menores (0, 3) e (4, 3).
    Figura 11.3.33

    Resolva aplicações com elipses

    As órbitas dos planetas ao redor do sol seguem caminhos elípticos.

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Plutão (um planeta anão) se move em uma órbita elíptica ao redor do Sol. O mais próximo que Plutão chega do Sol é de aproximadamente unidades\(30\) astronômicas (UA) e o mais distante é aproximadamente\(50\) UA. O Sol é um dos focos da órbita elíptica. Deixando a elipse centrar na origem e rotulando os eixos em AU, a órbita ficará parecida com a figura abaixo. Use o gráfico para escrever uma equação para a órbita elíptica de Plutão.

    Este gráfico mostra uma elipse com centro (0, 0) e vértices (menos 40, 0) e (40, 0). O sol é mostrado no ponto (10, 0). Isso é 30 unidades do vértice direito e 50 unidades do vértice esquerdo.
    Figura 11.3.34

    Solução:

    Nós reconhecemos isso como uma elipse centrada na origem.

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Como o eixo principal é horizontal e a distância do centro ao vértice é\(40\), nós sabemos\(a=40\) e assim\(a^{2}=1600\).

    \(\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    O eixo menor é vertical, mas os pontos finais não são fornecidos. Para descobrir,\(b\) usaremos a localização do Sol. Como o Sol é o foco da elipse no ponto\((10,0)\), nós sabemos\(c=10\). Use isso para resolver\(b^{2}\).

    \(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)
    \(b^{2}=40^{2}-10^{2}\)
    \(b^{2}=1600-100\)
    \(b^{2}=1500\)

    Substitua\(a^{2}\) e\(b^{2}\) na forma padrão da elipse.

    \(\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1\)

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Um planeta se move em uma órbita elíptica ao redor do sol. O mais próximo que o planeta chega do sol é aproximadamente\(20\) AU e o mais distante é aproximadamente\(30\) AU. O sol é um dos focos da órbita elíptica. Deixando a elipse centrar na origem e rotulando os eixos em AU, a órbita ficará parecida com a figura abaixo. Use o gráfico para escrever uma equação para a órbita elíptica do planeta.

    Este gráfico mostra uma elipse com centro (0, 0) e vértices (menos 25, 0) e (25, 0). O sol é mostrado no ponto (5, 0). Isso é 20 unidades do vértice direito e 30 unidades do vértice esquerdo.
    Figura 11.3.35
    Resposta

    \(\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1\)

    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Um planeta se move em uma órbita elíptica ao redor do sol. O mais próximo que o planeta chega do sol é aproximadamente\(20\) AU e o mais distante é aproximadamente\(50\) AU. O sol é um dos focos da órbita elíptica. Deixando a elipse centrar na origem e rotulando os eixos em AU, a órbita ficará parecida com a figura abaixo. Use o gráfico para escrever uma equação para a órbita elíptica do planeta.

    Este gráfico mostra uma elipse com centro (0, 0) e vértices (menos 35, 0) e (35, 0). O sol é mostrado no ponto (15, 0). Isso é 20 unidades do vértice direito e 50 unidades do vértice esquerdo.
    Figura 11.3.36
    Resposta

    \(\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1\)

    Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar com elipses.

    • Seções cônicas: representação gráfica de elipses, parte 1
    • Seções cônicas: representação gráfica de elipses, parte 2
    • Equação para elipse a partir do gráfico

    Conceitos-chave

    • Elipse: Uma elipse são todos os pontos em um plano em que a soma das distâncias de dois pontos fixos é constante. Cada um dos pontos fixos é chamado de foco da elipse.
      Esta figura mostra duas elipses. Em cada um, dois pontos dentro da elipse são identificados como focos. Uma linha traçada através dos focos cruza a elipse em dois pontos. Cada ponto é rotulado como vértice. Em A figura à esquerda, o segmento que conecta os vértices é chamado de eixo principal. Um segmento perpendicular ao eixo maior que passa por seu ponto médio e cruza a elipse em dois pontos é rotulado como eixo menor. O eixo principal é maior que o eixo menor. Em A figura à direita, o segmento através dos focos, conectando os vértices, é mais curto e é rotulado como eixo menor. Seu ponto médio é rotulado como centro.

    Figura 11.3.37

    • Se traçarmos uma linha através dos focos, cruzamos a elipse em dois pontos — cada um é chamado de vértice da elipse.
      O segmento que conecta os vértices é chamado de eixo principal.
      O ponto médio do segmento é chamado de centro da elipse.
      Um segmento perpendicular ao eixo maior que passa pelo centro e cruza a elipse em dois pontos é chamado de eixo menor.
    • Forma padrão da equação uma elipse com centro\((0,0)\): A forma padrão da equação de uma elipse com centro\((0,0)\), é

      \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

      As\(x\) interceptações -são\((a,0)\)\((−a,0)\) e.
      As\(y\) interceptações -são\((0,b)\)\((0,−b)\) e.
    • Como fazer uma elipse com centro\((0,0)\)
      1. Escreva a equação na forma padrão.
      2. Determine se o eixo principal é horizontal ou vertical.
      3. Encontre as extremidades do eixo principal.
      4. Encontre os pontos finais do eixo menor
      5. Esboce a elipse.
    • Forma padrão da equação uma elipse com centro\((h,k)\): A forma padrão da equação de uma elipse com centro\((h,k)\), é

      \(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

      Quando\(a>b\), o eixo principal é horizontal, então a distância do centro até o vértice é\(a\).
      Quando\(b>a\), o eixo principal é vertical, então a distância do centro até o vértice é\(b\).

    Glossário

    elipse
    Uma elipse são todos os pontos em um plano em que a soma das distâncias de dois pontos fixos é constante.