6.6: Equações polinomiais

objetivos de aprendizagem

Ao final desta seção, você poderá:

• Use a propriedade Zero Product
• Resolva equações quadráticas por fatoração
• Resolva equações com funções polinomiais
• Resolva aplicações modeladas por equações polinomiais

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Resolver:$5y−3=0$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].
2. Considere completamente:$n^3−9n^2−22n$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].
3. Se$f(x)=8x−16$, encontre$f(3)$ e resolva$f(x)=0$.
   Se você perdeu esse problema, revise [link].

Passamos um tempo considerável aprendendo como fatorar polinômios. Agora, examinaremos as equações polinomiais e as resolveremos usando fatoração, se possível.

Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

EQUAÇÃO POLINOMIAL

Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial.

O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

Já resolvemos equações polinomiais de grau um. As equações polinomiais de grau um são equações lineares que têm a forma$ax+b=c$.

Agora vamos resolver equações polinomiais de grau dois. Uma equação polinomial de grau dois é chamada de equação quadrática. Listados abaixo estão alguns exemplos de equações quadráticas:

$$x^2+5x+6=0 \qquad 3y^2+4y=10 \qquad 64u^2−81=0 \qquad n(n+1)=42 \nonumber$$

A última equação não parece ter a variável ao quadrado, mas quando simplificarmos a expressão à esquerda, obteremos$n^2+n$.

A forma geral de uma equação quadrática é$ax^2+bx+c=0$, com$a\neq 0$. (Se$a=0$, então$0·x^2=0$ e ficamos sem termo quadrático.)

EQUAÇÃO QUADRÁTICA

Uma equação da forma$ax^2+bx+c=0$ é chamada de equação quadrática.

$$a,b,\text{ and }c\text{ are real numbers and }a\neq 0\nonumber$$

Para resolver equações quadráticas, precisamos de métodos diferentes dos que usamos na solução de equações lineares. Examinaremos um método aqui e, em seguida, vários outros em um capítulo posterior.

Use a propriedade Zero Product

Primeiro, resolveremos algumas equações quadráticas usando a Propriedade do Produto Zero. A Propriedade do Produto Zero diz que, se o produto de duas quantidades for zero, pelo menos uma das quantidades será zero. A única maneira de obter um produto igual a zero é multiplicar pelo próprio zero.

PROPRIEDADE DE PRODUTO ZERO

Se$a·b=0$, então, um$a=0$$b=0$ ou ambos.

Agora usaremos a Propriedade do Produto Zero para resolver uma equação quadrática.

Exemplo$\PageIndex{1}$: How to Solve a Quadratic Equation Using the Zero Product Property

Resolver:$(5n−2)(6n−1)=0$.

Responda

Exemplo$\PageIndex{2}$

Resolver:$(3m−2)(2m+1)=0$.

Responda

$m=\frac{2}{3},\space m=−\frac{1}{2}$

Exemplo$\PageIndex{3}$

Resolver:$(4p+3)(4p−3)=0$.

Responda

$p=−\frac{3}{4},\space p=\frac{3}{4}$

USE A PROPRIEDADE ZERO PRODUCT.

1. Defina cada fator igual a zero.
2. Resolva as equações lineares.
3. Confira.

Resolva equações quadráticas por fatoração

A Propriedade do Produto Zero funciona muito bem para resolver equações quadráticas. A equação quadrática deve ser fatorada, com zero isolado em um lado. Portanto, certifique-se de começar com a equação quadrática na forma padrão,$ax^2+bx+c=0$. Em seguida, fatoramos a expressão à esquerda.

Resolver:$2y^2=13y+45$.

Responda

Exemplo$\PageIndex{5}$

Resolver:$3c^2=10c−8$.

Responda

$c=2,\space c=\frac{4}{3}$

Exemplo$\PageIndex{6}$

Resolver:$2d^2−5d=3$.

Responda

$d=3,\space d=−12$

RESOLVA UMA EQUAÇÃO QUADRÁTICA POR FATORAÇÃO.

1. Escreva a equação quadrática na forma padrão,$ax^2+bx+c=0$.
2. Considere a expressão quadrática.
3. Use a propriedade Zero Product.
4. Resolva as equações lineares.
5. Confira. Substitua cada solução separadamente na equação original.

Antes de fatorarmos, devemos garantir que a equação quadrática esteja na forma padrão.

Resolver equações quadráticas por fatoração fará uso de todas as técnicas de fatoração que você aprendeu neste capítulo! Você reconhece o padrão especial do produto no próximo exemplo?

Exemplo$\PageIndex{7}$

Resolver:$169q^2=49$.

Responda

$\begin{array} {ll} &169x^2=49 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &169x^2−49=0 \\ \text{Factor. It is a difference of squares.} &(13x−7)(13x+7)=0 \\ \text{Use the Zero Product Property to set each factor to }0. & \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {ll} 13x−7=0 &13x+7=0 \\ 13x=7 &13x=−7 \\ x=\frac{7}{13} &x=−\frac{7}{13} \end{array} \end{array}$

Confira:

Deixamos o cheque para você.

Exemplo$\PageIndex{8}$

Resolver:$25p^2=49$.

Responda

$p=\frac{7}{5},p=−\frac{7}{5}$

Exemplo$\PageIndex{9}$

Resolver:$36x^2=121$.

Responda

$x=\frac{11}{6},x=−\frac{11}{6}$

No próximo exemplo, o lado esquerdo da equação é fatorado, mas o lado direito não é zero. Para usar a Propriedade do Produto Zero, um lado da equação deve ser zero. Multiplicaremos os fatores e, em seguida, escreveremos a equação na forma padrão.

Exemplo$\PageIndex{10}$

Resolver:$(3x−8)(x−1)=3x$.

Responda

$\begin{array} {ll} &(3x−8)(x−1)=3x \\ \text{Multiply the binomials.} &3x^2−11x+8=3x \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−14x+8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(3x−2)(x−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {ll} 3x−2=0 &x−4=0 \\ 3x=2 &x=4 \\ x=\frac{2}{3} & \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

Exemplo$\PageIndex{11}$

Resolver:$(2m+1)(m+3)=12m$.

Responda

$m=1,\space m=\frac{3}{2}$

Exemplo$\PageIndex{12}$

Resolver:$(k+1)(k−1)=8$.

Responda

$k=3,\space k=−3$

No próximo exemplo, quando fatorarmos a equação quadrática, obteremos três fatores. No entanto, o primeiro fator é uma constante. Sabemos que esse fator não pode ser igual a 0.

Exemplo$\PageIndex{13}$

Resolver:$3x^2=12x+63$.

Responda

$\begin{array} {ll} &3x^2=12x+63 \\ \text{Write the quadratic equation in standard form.} &3x^2−12x−63=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &3(x^2−4x−21)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &3(x−7)(x+3)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} \end{array} &\begin{array} {lll} 3\neq 0 &x−7=0 &x+3=0 \\ 3\neq 0 &x=7 &x=−3 \end{array} \\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

Exemplo$\PageIndex{14}$

Resolver:$18a^2−30=−33a$.

Responda

$a=−\frac{5}{2},a=\frac{2}{3}$

Exemplo$\PageIndex{15}$

Resolver:$123b=−6−60b^2$

Responda

$b=−2,\space b=−\frac{1}{20}$

A Propriedade do Produto Zero também se aplica ao produto de três ou mais fatores. Se o produto for zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Podemos resolver algumas equações de grau maior que dois usando a Propriedade do Produto Zero, assim como resolvemos equações quadráticas.

Exemplo$\PageIndex{16}$

Resolver:$9m^3+100m=60m^2$

Responda

$\begin{array} {ll} & 9m^3+100m=60m^2 \\ \text{Bring all the terms to one side so that the other side is zero.} &9m^3−60m^2+100m=0 \\ \text{Factor the greatest common factor first.} &m(9m^2−60m+100)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &m(3m−10)^2=0 \end{array}\\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property to set each factor to 0.} \\ \text{Solve each equation.} &\begin{array} {lll} m=0 &3m−10=0 &{}\\ m=0 &m=\frac{10}{3} & {} \end{array}\\ \text{Check your answers.} &\text{The check is left to you.} \end{array}$

Exemplo$\PageIndex{17}$

Resolver:$8x^3=24x^2−18x$.

Responda

$x=0,\space x=\frac{3}{2}$

Exemplo$\PageIndex{18}$

Resolver:$16y^2=32y^3+2y$.

Responda

$y=0,\space y=14$

Resolva equações com funções polinomiais

À medida que nosso estudo das funções polinomiais continua, muitas vezes será importante saber quando a função terá um determinado valor ou quais pontos estão no gráfico da função. Nosso trabalho com a Zero Product Property nos ajudará a encontrar essas respostas.

Exemplo$\PageIndex{19}$

Para a função$f(x)=x^2+2x−2$,

ⓐ encontre$x$ quando$f(x)=6$
ⓑ encontre dois pontos que estão no gráfico da função.

Responda

ⓐ
$\begin{array} {ll} &f(x)=x^2+2x−2 \\ \text{Substitute }6\text{ for }f(x). &6=x^2+2x−2 \\ \text{Put the quadratic in standard form.} &x^2+2x−8=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=2 \end{array} \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ \begin{array} {lll} \quad &\hspace{3mm} f(x)=x^2+2x−2 &f(x)=x^2+2x−2 \\ \quad &f(−4)=(−4)^2+2(−4)−2 &f(2)=2^2+2·2−2 \\ \quad &f(−4)=16−8−2 &f(2)=4+4−2 \\ \quad &f(−4)=6\checkmark &f(2)=6\checkmark \end{array} & \end{array}$

ⓑ Desde$f(−4)=6$ e$f(2)=6$, os pontos$(−4,6)$$(2,6)$ estão no gráfico da função.

Exemplo$\PageIndex{20}$

Para a função$f(x)=x^2−2x−8$,

ⓐ encontre$x$ quando$f(x)=7$
ⓑ Encontre dois pontos que estão no gráfico da função.

Responda

ⓐ$x=−3$ ou$x=5$
ⓑ$(−3,7)\space (5,7)$

Exemplo$\PageIndex{21}$

Para a função$f(x)=x^2−8x+3$,

ⓐ encontre$x$ quando$f(x)=−4$
ⓑ Encontre dois pontos que estão no gráfico da função.

Responda

ⓐ$x=1$ ou$x=7$
ⓑ$(1,−4)\space (7,−4)$

A Propriedade do Produto Zero também nos ajuda a determinar onde a função é zero. Um valor de$x$ onde a função está$0$ é chamado de zero da função.

ZERO DE UMA FUNÇÃO

Para qualquer função$f$, if$f(x)=0$, então$x$ é um zero da função.

Quando$f(x)=0$, o ponto$(x,0)$ é um ponto no gráfico. Este ponto é uma interceptação$x$ - do gráfico. Muitas vezes, é importante saber onde o gráfico de uma função cruza os eixos. Veremos alguns exemplos mais tarde.

Exemplo$\PageIndex{22}$

Para a função$f(x)=3x^2+10x−8$, encontre

ⓐ os zeros da função,
ⓑ qualquer$x$ interceptação do gráfico da função
ⓒ qualquer$y$ interceptação do gráfico da função

Responda

ⓐ Para encontrar os zeros da função, precisamos descobrir quando o valor da função é 0.
$\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Substitute }0\text{ for}f(x). &0=3x^2+10x−8 \\ \text{Factor the trinomial.} &(x+4)(3x−2)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the zero product property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {lll} x+4=0 &\text{or} &3x−2=0 \\ x=−4 &\text{or} &x=\frac{2}{3} \end{array} \end{array}$

ⓑ Uma$x$ intercepção -ocorre quando$y=0$. Desde$f(−4)=0$ e$f(\frac{2}{3})=0$, os pontos$(−4,0)$ e$(\frac{2}{3},0)$ estão no gráfico. Esses pontos são$x$ -interceptos da função.


ⓒ Uma$y$ intercepção -ocorre quando$x=0$. Para encontrar as$y$ interceptações -, precisamos encontrar$f(0)$.
$\begin{array} {ll} &f(x)=3x^2+10x−8 \\ \text{Find }f(0)\text{ by substituting }0\text{ for }x. &f(0)=3·0^2+10·0−8 \\ \text{Simplify.} &f(0)=−8 \end{array}$
Desde então$f(0)=−8$, o ponto$(0,−8)$ está no gráfico. Esse ponto é o$y$ intercepto -da função.

Exemplo$\PageIndex{23}$

Para a função$f(x)=2x^2−7x+5$, encontre

ⓐ os zeros da função
ⓑ qualquer$x$ interceptação do gráfico da função
ⓒ qualquer$y$ interceptação do gráfico da função.

Responda

ⓐ$x=1$ ou$x=\frac{5}{2}$
ⓑ$(1,0),\space (\frac{5}{2},0)$ ⓒ$(0,5)$

Exemplo$\PageIndex{24}$

Para a função$f(x)=6x^2+13x−15$, encontre

ⓐ os zeros da função
ⓑ qualquer$x$ interceptação do gráfico da função
ⓒ qualquer$y$ interceptação do gráfico da função.

Responda

ⓐ$x=−3$ ou$x=\frac{5}{6}$
ⓑ$(−3,0),\space (\frac{5}{6},0)$ ⓒ$(0,−15)$

Resolva aplicações modeladas por equações polinomiais

A estratégia de resolução de problemas que usamos anteriormente para aplicativos que se traduzem em equações lineares também funcionará bem para aplicativos que se traduzem em equações polinomiais. Vamos copiar a estratégia de resolução de problemas aqui para que possamos usá-la como referência.

USE UMA ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PALAVRAS.

1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
2. Identifique o que estamos procurando.
3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
4. Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
5. Resolva a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
7. Responda à pergunta com uma frase completa.

Começaremos com um problema numérico para praticar a tradução de palavras em uma equação polinomial.

Exemplo$\PageIndex{25}$

O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 323. Encontre os números inteiros.

Responda

$\begin{array} {ll} \textbf{Step 1. Read }\text{the problem.} & \\ \textbf{Step 2. Identify }\text{what we are looking for.} &\text{We are looking for two consecutive integers.} \\ \textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.} &\text{Let } n=\text{ the first integer.} \\ &n+2= \text{ next consecutive odd integer} \\ \begin{array} {l} \textbf{Step 4. Translate }\text{into an equation. Restate the}\hspace{20mm} \\ \text{problem in a sentence.} \end{array} &\begin{array} {l} \text{The product of the two consecutive odd} \\ \text{integers is }323. \end{array} \\ &\quad n(n+2)=323 \\ \textbf{Step 5. Solve }\text{the equation.} n^2+2n=323 \\ \text{Bring all the terms to one side.} &n^2+2n−323=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &(n−17)(n+19)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve the equations.} \end{array} &\begin{array} {ll} n−17=0 \hspace{10mm}&n+19=0 \\ n=17 &n=−19 \end{array} \end{array}$
Existem dois valores para$n$ que sejam soluções para esse problema. Portanto, existem dois conjuntos de números inteiros ímpares consecutivos que funcionarão.

$\begin{array} {ll} \text{If the first integer is } n=17 \hspace{60mm} &\text{If the first integer is } n=-19 \\ \text{then the next odd integer is} &\text{then the next odd integer is} \\ \hspace{53mm} n+2 &\hspace{53mm} n+2 \\ \hspace{51mm} 17+2 &\hspace{51mm} -19+2 \\ \hspace{55mm} 19 &\hspace{55mm} -17 \\ \hspace{51mm} 17,19 &\hspace{51mm} -17,-19 \\ \textbf{Step 6. Check }\text{the answer.} & \\ \text{The results are consecutive odd integers} & \\ \begin{array} {ll} 17,\space 19\text{ and }−19,\space −17. & \\ 17·19=323\checkmark &−19(−17)=323\checkmark \end{array} & \\ \text{Both pairs of consecutive integers are solutions.} & \\ \textbf{Step 7. Answer }\text{the question} &\text{The consecutive integers are }17, 19\text{ and }−19,−17. \end{array}$

Exemplo$\PageIndex{26}$

O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 255. Encontre os números inteiros.

Responda

$−15,−17$e$15, 17$

Exemplo$\PageIndex{27}$

O produto de dois números inteiros ímpares consecutivos é 483 Encontre os números inteiros.

Responda

$−23,−21$e$21, 23$

Você ficou surpreso com o par de números inteiros negativos que é uma das soluções para o exemplo anterior? O produto dos dois números inteiros positivos e o produto dos dois números inteiros negativos dão resultados positivos.

Em algumas aplicações, soluções negativas resultarão da álgebra, mas não serão realistas para a situação.

Exemplo$\PageIndex{28}$

Um quarto retangular tem uma área de 117 pés quadrados. O comprimento do quarto é quatro pés a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura do quarto.

Responda

Etapa 1. Leia o problema. Em problemas envolvendo figuras geométricas, um esboço pode ajudar você a visualizar a situação.
Etapa 2. Identifique o que você está procurando.	Estamos procurando o comprimento e a largura.
Etapa 3. Diga o que você está procurando.	Deixe$w=\text{ the width of the bedroom}$.
O comprimento é quatro pés a mais do que a largura.	$w+4=\text{ the length of the garden}$
Etapa 4. Traduza em uma equação.
Reafirme as informações importantes em uma frase.	A área do quarto é de 117 pés quadrados.
Use a fórmula para a área de um retângulo.	$A=l·w$
Substitua as variáveis.	$117=(w+4)w$
Etapa 5. Resolva a equação Distribuir primeiro.	$117=w^2+4w$
Obtenha zero em um lado.	$117=w^2+4w$
Considere o trinômio.	$0=w^2+4w−117$
Use a propriedade Zero Product.	$0=(w^2+13)(w−9)$
Resolva cada equação.	$0=w+13\quad 0=w−9$
Como$w$ é a largura do quarto, não faz sentido que seja negativo. Eliminamos esse valor para$w$.	$\cancel{w=−13}$$\quad w=9$
	$w=9$A largura é de 9 pés.
Encontre o valor do comprimento.	$w+4$ $9+4$ 13 O comprimento é de 13 pés.
Etapa 6. Verifique a resposta. A resposta faz sentido? Sim, isso faz sentido.
Etapa 7. Responda à pergunta.	A largura do quarto é de 9 pés e o comprimento é de 13 pés.

Exemplo$\PageIndex{29}$

Uma placa retangular tem uma área de 30 pés quadrados. O comprimento da placa é um pé a mais do que a largura. Encontre o comprimento e a largura da placa.

Responda

A largura é de 5 pés e o comprimento é de 6 pés.

Exemplo$\PageIndex{30}$

Um pátio retangular tem uma área de 180 pés quadrados. A largura do pátio é três pés menor que o comprimento. Encontre o comprimento e a largura do pátio.

Responda

O comprimento do pátio é de 12 pés e a largura de 15 pés.

No próximo exemplo, usaremos o Teorema de Pitágoras$(a^2+b^2=c^2)$. Essa fórmula fornece a relação entre as pernas e a hipotenusa de um triângulo reto.

Usaremos essa fórmula para no próximo exemplo.

Exemplo$\PageIndex{31}$

A vela de um barco tem a forma de um triângulo reto, conforme mostrado. A hipotenusa terá 17 pés de comprimento. O comprimento de um lado será 7 pés a menos que o comprimento do outro lado. Encontre os comprimentos dos lados da vela.

Responda

Etapa 1. Leia o problema
Etapa 2. Identifique o que você está procurando.	Estamos procurando os comprimentos das laterais da vela.
Etapa 3. Diga o que você está procurando. Um lado é 7 a menos que o outro.	Deixe$x=\text{ length of a side of the sail}$. $x−7=\text{ length of other side}$
Etapa 4. Traduza em uma equação. Como esse é um triângulo reto, podemos usar o Teorema de Pitágoras.	$a^2+b^2=c^2$
Substitua as variáveis.	$x^2+(x−7)^2=17^2$
Etapa 5. Resolva a equação Simplifique.	$x^2+x^2−14x+49=289$
	$2x^2−14x+49=289$
É uma equação quadrática, então obtenha zero em um lado.	$2x^2−14x−240=0$
Considere o maior fator comum.	$2(x^2−7x−120)=0$
Considere o trinômio.	$2(x−15)(x+8)=0$
Use a propriedade Zero Product.	$2\neq 0\quad x−15=0\quad x+8=0$
Resolver.	$2\neq 0\quad x=15\quad x=−8$
Como$x$ é um lado do triângulo, não$x=−8$ faz sentido.	$2\neq 0\quad x=15\quad \cancel{x=−8}$
Encontre o comprimento do outro lado.
Se o comprimento de um lado for , então o comprimento do outro lado é	8 é o comprimento do outro lado.
Etapa 6. Verifique a resposta no problema Esses números fazem sentido?
Etapa 7. Responda à pergunta	Os lados da vela têm 8, 15 e 17 pés.

Exemplo$\PageIndex{32}$

Justine quer colocar um baralho no canto de seu quintal em forma de triângulo reto. O comprimento de um lado do convés é 7 pés a mais do que o outro lado. A hipotenusa é 13. Encontre os comprimentos dos dois lados do baralho.

Responda

5 pés e 12 pés

Exemplo$\PageIndex{33}$

Um jardim de meditação tem a forma de um triângulo reto, com uma perna de 7 pés. O comprimento da hipotenusa é um a mais do que o comprimento da outra perna. Encontre o comprimento da hipotenusa e da outra perna.

Responda

24 pés e 25 pés

O próximo exemplo usa a função que fornece a altura de um objeto em função do tempo quando ele é lançado de 80 pés acima do solo.

Exemplo$\PageIndex{34}$

Dennis vai jogar sua bola de elástico para cima do topo de um prédio do campus. Quando ele joga a bola de elástico a 80 pés acima do solo, a função$h(t)=−16t^2+64t+80$ modela a altura$h$,, da bola acima do solo em função do tempo,$t$. Encontre:

ⓐ os zeros dessa função que nos dizem quando a bola atinge o chão
ⓑ quando a bola estará 80 pés acima do solo
ⓒ a altura da bola em$t=2$ segundos.

Responda

ⓐ Os zeros dessa função são encontrados pela resolução$h(t)=0$. Isso nos dirá quando a bola atingirá o chão.
$\begin{array} {ll} &h(t)=0 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16. &−16(t^2−4t−5)=0 \\ \text{Factor the trinomial.} &−16(t−5)(t+1)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.} \end{array} &\begin{array} {ll} t−5=0 &t+1=0 \\ t=5 &t=−1 \end{array} \end{array}$

O resultado$t=5$ indica que a bola atingirá o chão 5 segundos depois de ser lançada. Como o tempo não pode ser negativo, o resultado$t=−1$ é descartado.

ⓑ A bola estará 80 pés acima do solo quando$h(t)=80$.
$\begin{array} {ll} &h(t)=80 \\ \text{Substitute in the polynomial for }h(t). &−16t^2+64t+80=80 \\ \text{Subtract 80 from both sides.} &−16t^2+64t=0 \\ \text{Factor the GCF, }−16t. &−16t(t−4)=0 \\ \begin{array} {l} \text{Use the Zero Product Property.} \\ \text{Solve.}\end{array} &\begin{array} {ll} −16t=0 &t−4=0 \\ t=0 &t=4 \end{array} \\ &\text{The ball will be at 80 feet the moment Dennis} \\ &\text{tosses the ball and then 4 seconds later, when} \\ &\text{the ball is falling.} \end{array}$

ⓒ Para encontrar a bola de altura em$t=2$ segundos, encontramos$h(2)$.
$\begin{array} {ll} &h(t)=−16t^2+64t+80 \\ \text{To find }h(2)\text{ substitute }2\text{ for }t. &h(2)=−16(2)^2+64·2+80 \\ \text{Simplify.} &h(2)=144 \\ &\text{After 2 seconds, the ball will be at 144 feet.} \end{array}$

Exemplo$\PageIndex{35}$

Genevieve vai jogar uma pedra do topo de uma trilha com vista para o oceano. Quando ela joga a rocha para cima a partir de 160 pés acima do oceano, a função$h(t)=−16t^2+48t+160$ modela a altura$h$,, da rocha acima do oceano em função do tempo,$t$. Encontre:

ⓐ os zeros dessa função que nos dizem quando a rocha atingirá o oceano
ⓑ quando a rocha estará 160 pés acima do oceano.
ⓒ a altura da rocha em$t=1.5$ segundos.

Responda

ⓐ 5 ⓑ 0; 3 ⓒ 196

Exemplo$\PageIndex{36}$

Calib vai jogar seu centavo da sorte de sua varanda em um navio de cruzeiro. Quando ele joga o centavo para cima a partir de 128 pés acima do solo, a função$h(t)=−16t^2+32t+128$ modela a altura$h$,, do centavo acima do oceano em função do tempo,$t$. Encontre:

ⓐ os zeros dessa função, que é quando o centavo atingirá o oceano
ⓑ quando o centavo estará 128 pés acima do oceano.
ⓒ a altura em que o centavo estará em$t=1$ segundos, quando o centavo estará em seu ponto mais alto.

Responda

ⓐ 4 ⓑ 0; 2 ⓒ 144

Acesse este recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com equações quadráticas.

• Iniciando álgebra e resolvendo quadráticas com a propriedade zero

Conceitos-chave

• Equação polinomial: Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial. O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.
• Equação quadrática: Uma equação da forma$ax^2+bx+c=0$ é chamada de equação quadrática.

  $$a,b,c\text{ are real numbers and } a\neq 0\nonumber$$

• Propriedade de produto zero: se$a·b=0$, então um$a=0$$b=0$ ou ambos.
• Como usar a propriedade Zero Product
  1. Defina cada fator igual a zero.
  2. Resolva as equações lineares.
  3. Confira.
• Como resolver uma equação quadrática por fatoração.
  1. Escreva a equação quadrática na forma padrão,$ax^2+bx+c=0$.
  2. Considere a expressão quadrática.
  3. Use a propriedade Zero Product.
  4. Resolva as equações lineares.
  5. Confira. Substitua cada solução separadamente na equação original.
• Zero de uma função: Para qualquer função$f$, if$f(x)=0$, então$x$ é um zero da função.
• Como usar uma estratégia de resolução de problemas para resolver problemas com palavras.
  1. Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
  2. Identifique o que estamos procurando.
  3. Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
  4. Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com todas as informações importantes. Em seguida, traduza a frase em inglês em uma equação algébrica.
  5. Resolva a equação usando técnicas de álgebra apropriadas.
  6. Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
  7. Responda à pergunta com uma frase completa.