11.5: Hipérboles

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Faça um gráfico de uma hipérbole com centro em$(0,0)$
• Faça um gráfico de uma hipérbole com centro em$(h,k)$
• Identifique seções cônicas por suas equações

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

1. Resolver:$x^{2}=12$.
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 9.1.
2. Expandir:$(x−4)^{2}$.
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.32.
3. Gráfico$y=-\frac{2}{3} x$.
   Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 3.4.

Faça um gráfico de uma hipérbola com o centro em$(0,0)$

A última seção cônica que examinaremos é chamada de hipérbole. Veremos que a equação de uma hipérbole parece a mesma de uma elipse, exceto que é uma diferença e não uma soma. Embora as equações de uma elipse e de uma hipérbole sejam muito semelhantes, seus gráficos são muito diferentes.

Definimos uma hipérbole como todos os pontos em um plano em que a diferença de suas distâncias de dois pontos fixos é constante. Cada um dos pontos fixos é chamado de foco da hipérbole.

Definição$\PageIndex{1}$

Uma hipérbole são todos os pontos em um plano onde a diferença de suas distâncias de dois pontos fixos é constante. Cada um dos pontos fixos é chamado de foco da hipérbole.

Figura 11.4.1

A linha que passa pelos focos é chamada de eixo transversal. Os dois pontos em que o eixo transversal cruza a hipérbole são, cada um, um vértice da hipérbole. O ponto médio do segmento que une os focos é chamado de centro da hipérbole. A linha perpendicular ao eixo transversal que passa pelo centro é chamada de eixo conjugado. Cada pedaço do gráfico é chamado de ramo da hipérbole.

Figura 11.4.2

Novamente, nosso objetivo é conectar a geometria de uma cônica com a álgebra. Colocar a hipérbole em um sistema de coordenadas retangulares nos dá essa oportunidade. Na figura, colocamos a hipérbole de forma que$((−c,0),(c,0))$ os focos fiquem no$x$ eixo -e o centro seja a origem.

Figura 11.4.3

A definição afirma que a diferença da distância entre os focos e um ponto$(x,y)$ é constante. Então$|d_{1}−d_{2}|$ é uma constante que chamaremos$2a$ assim$|d_{1}-d_{2} |=2 a$. Usaremos a fórmula da distância para nos levar a uma fórmula algébrica para uma elipse.

$\left|d_{1} - d_{2}\right| =2 a$

Use a fórmula da distância para encontrar$d_{1}, d_{2}$

$\left|\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}\right|=2 a$

Elimine os radicais. Para simplificar a equação da elipse, deixamos$c^{2}-a^{2}=b^{2}$.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}}=1$

Então, a equação de uma hipérbole centrada na origem na forma padrão é:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Para representar graficamente a hipérbole, será útil conhecer as interceptações. Encontraremos os$x$ -interceptos e$y$ -interceptos usando a fórmula.

$x$-intercepta

Deixe$y=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

As$x$ interceptações -são$(a,0)$$(−a,0)$ e.

$y$-intercepta

Deixe$x=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=-b^{2} \\ y &=\pm \sqrt{-b^{2}} \end{aligned}$

Não há$y$ interceptações.

Os\(a, b\) valores na equação também nos ajudam a encontrar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas retas que se cruzam às quais os ramos do gráfico se aproximam, mas nunca se cruzam à medida que os\(x, y\) valores ficam cada vez maiores.

Para encontrar as assíntotas, esboçamos um retângulo cujos lados cruzam o eixo x nos vértices$(−a,0),(a,0)$ e cruzamos o$y$ eixo -em$(0,−b), (0,b)$. As linhas que contêm as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole. O retângulo e as assíntotas não fazem parte da hipérbole, mas nos ajudam a representar graficamente a hipérbole.

Figura 11.4.4

As assíntotas passam pela origem e podemos avaliar sua inclinação usando o retângulo que esboçamos. Eles têm equações$y=\frac{b}{a} x$$y=-\frac{b}{a} x$ e.

Existem duas equações para hipérboles, dependendo se o eixo transversal é vertical ou horizontal. Podemos dizer se o eixo transversal é horizontal observando a equação. Quando a equação está na forma padrão, se o$x^{2}$ termo -for positivo, o eixo transversal é horizontal. Quando a equação está na forma padrão, se o$y^{2}$ termo -for positivo, o eixo transversal é vertical.

As segundas equações podem ser derivadas de forma semelhante ao que fizemos. Vamos resumir os resultados aqui.

Definição$\PageIndex{2}$

Forma padrão da equação: uma hipérbole com centro$(0,0)$

A forma padrão da equação de uma hipérbole com centro$(0,0)$ é

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad$ou$\quad \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$

Figura 11.4.5

Observe que, diferentemente da equação de uma elipse, o denominador de nem sempre$x^{2}$ é$a^{2}$ e o denominador de nem sempre$y^{2}$ é$b^{2}$.

Observe que quando o$x^{2}$ termo -é positivo, o eixo transversal está no$x$ eixo -. Quando o$y^{2}$ termo -é positivo, o eixo transversal está no$y$ eixo -.

Formas padrão da equação: uma hipérbole com centro$(0,0)$

Tabela 11.4.1

	$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
Orientação	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Eixo transversal no$x$ eixo. Abre à esquerda e à direita	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Eixo transversal no$y$ eixo. Abre para cima e para baixo
Vértices	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
$x$-intercepta	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">nenhum
$y$-intercepta	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">nenhum	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
Retângulo	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Usar$( \pm a, 0)(0, \pm b)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Usar$(0, \pm a)( \pm b, 0)$
Assíntotas	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x$

Usaremos essas propriedades para representar graficamente hipérboles.

Exemplo$\PageIndex{1}$ How to Graph a Hyperbola with Center $(0,0)$

Gráfico$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1$.

Solução:

Tabela 11.4.2

Etapa 1: Escreva a equação no formato padrão.	A equação está na forma padrão.	$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1$
Etapa 2: Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.	Como o$x^{2}$ termo -é positivo, o eixo transversal é horizontal.	O eixo transversal é horizontal.
Etapa 3: Encontre os vértices.	Desde$a^{2}=25$ então$a=\pm 5$. Os vértices estão no$x$ eixo -.	$(-5,0),(5,0)$
Etapa 4: Desenhe o retângulo centrado na interseção de origem, um eixo em$\pm a$ e outro em$\pm b$.	Desde então$a=\pm 5$, o retângulo cruzará o$x$ eixo -nos vértices. Desde então$b=\pm 2$, o retângulo cruzará o$y$ eixo -em$(0,-2)$$(0,2)$ e.
Etapa 5: esboce as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo.	As assíntotas têm as equações$y=\frac{5}{2} x, y=-\frac{5}{2} x$.
Etapa 6: Desenhe os dois ramos da hipérbole.	Comece em cada vértice e use as assíntotas como guia.

Exercício$\PageIndex{1}$

Gráfico$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$.

Responda

Figura 11.4.9

Exercício$\PageIndex{2}$

Gráfico$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$.

Responda

Figura 11.4.10

Resumimos as etapas para referência.

Faça um gráfico de uma hipérbole centrada em$(0,0)$

1. Escreva a equação na forma padrão.
2. Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.
3. Encontre os vértices.
4. Desenhe o retângulo centrado na origem cruzando um eixo em$±a$ e o outro em$±b$.
5. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo.
6. Desenhe os dois ramos da hipérbole.

Às vezes, a equação de uma hipérbole precisa ser colocada primeiro na forma padrão antes de representá-la graficamente.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Gráfico$4 y^{2}-16 x^{2}=64$.

Solução:

Tabela 11.4.3

	$4 y^{2}-16 x^{2}=64$
Para escrever a equação na forma padrão, divida cada termo por$64$ para que a equação seja igual$1$ a.	$\frac{4 y^{2}}{64}-\frac{16 x^{2}}{64}=\frac{64}{64}$
Simplifique.	$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1$
Como o$y^{2}$ termo -é positivo, o eixo transversal é vertical. Desde$a^{2}=16$ então$a=\pm 4$.
Os vértices estão no$y$ eixo -,$(0,-a),(0, a)$. Desde$b^{2}=4$ então$b=\pm 2$.	$(0,-4),(0,4)$
Desenhe o retângulo que cruza o$x$ eixo -em$(-2,0),(2,0)$ e o$y$ eixo -nos vértices. Desenhe as assíntotas nas diagonais do retângulo. Desenhe os dois ramos da hipérbole.

Exercício$\PageIndex{3}$

Gráfico$4 y^{2}-25 x^{2}=100$.

Responda

Figura 11.4.12

Exercício$\PageIndex{4}$

Gráfico$25 y^{2}-9 x^{2}=225$.

Responda

Figura 11.4.13

Faça um gráfico de uma hipérbola com o centro em$(h,k)$

As hipérboles nem sempre estão centradas na origem. Quando uma hipérbole está centrada nas equações,$(h,k)$ as equações mudam um pouco conforme refletido na tabela.

Formas padrão da equação: uma hipérbole com centro$(h,k)$

Tabela 11.4.4

	$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
Orientação	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">O eixo transversal é horizontal. Abre à esquerda e à direita	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">O eixo transversal é vertical. Abre para cima e para baixo
Centro	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(h,k)$	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(h,k)$
Vértices	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$a$ unidades à esquerda e à direita do centro	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$a$ unidades acima e abaixo do centro
Retângulo	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Use$a$ unidades à esquerda/direita das$b$ unidades centrais acima/abaixo do centro	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Use$a$ unidades acima/abaixo das$b$ unidades centrais à esquerda/direita do centro

Exemplo$\PageIndex{3}$ How to Graph a Hyperbola with Center $(h,k)$

Gráfico$\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$

Solução:

Tabela 11.4.5

Etapa 1: Escreva a equação no formato padrão.	A equação está na forma padrão.	$\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$
Etapa 2: Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.	Como o$x^{2}$ termo -é positivo, a hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.	O eixo transversal é horizontal. A hipérbole se abre à esquerda e à direita.
Etapa 3: Encontre o centro$a, b$ e.	$h=1$e$k=2$ $a^{2}=9$ $b^{2}=16$	$\begin{array} {c} \frac{\left(\stackrel{\color{red}{x-h}}{\color{black}{x-1}} \right)^{2}}{9} - \frac{\left(\stackrel{\color{red}{y-k}}{\color{black}{y-2}} \right)^{2}}{16} = 1 \end{array}$ Centro:$(1,2)$ $a=3$ $b=4$
Etapa 4: Desenhe o retângulo centrado no$(h,k)$ uso$a,b$.	Marque o centro,$(1,2)$. Desenhe o retângulo que passa pelas$3$ unidades de pontos à esquerda/direita do centro e$4$ unidades acima e abaixo do centro.
Etapa 5: esboce as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo. Marque os vértices.	Esboce as diagonais. Marque os vértices, que estão nas$3$ unidades do retângulo à esquerda e à direita do centro.
Etapa 6: Desenhe os dois ramos da hipérbole.	Comece em cada vértice e use as assíntotas como guia.

Exercício$\PageIndex{5}$

Gráfico$\frac{(x-3)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=1$.

Responda

Figura 11.4.17

Exercício$\PageIndex{6}$

Gráfico$\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$.

Responda

Figura 11.4.18

Resumimos as etapas para facilitar a referência.

Faça um gráfico de uma hipérbole centrada em$(h,k)$

1. Escreva a equação na forma padrão.
2. Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.
3. Encontre o centro$a,b$ e.
4. Desenhe o retângulo centrado em$(h,k)$ usar$a,b$.
5. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo. Marque os vértices.
6. Desenhe os dois ramos da hipérbole.

Tenha cuidado ao identificar o centro. A equação padrão tem$x−h$ e$y−k$ com o centro como$(h,k)$.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Gráfico$\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+1)^{2}}{4}=1$.

Solução:

Tabela 11.4.6

Como o$y^{2}$ termo -é positivo, a hipérbole se abre para cima e para baixo.
Encontre o centro,$(h,k)$.	Centro:$(-1,-2)$
Encontre$a,b$.	$a=3 b=2$
Desenhe o retângulo que passa pelas$3$ unidades de pontos acima e abaixo do centro e $2$ unidades à esquerda/direita do centro. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo. Marque os vértices. Faça um gráfico dos galhos.

Exercício$\PageIndex{7}$

Gráfico$\frac{(y+3)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1$.

Responda

Figura 11.4.22

Exercício$\PageIndex{8}$

Gráfico$\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1$.

Responda

Figura 11.4.23

Novamente, às vezes temos que colocar a equação na forma padrão como nosso primeiro passo.

Exemplo$\PageIndex{5}$

Escreva a equação em formato padrão e gráfico$4 x^{2}-9 y^{2}-24 x-36 y-36=0$.

Solução:

Tabela 11.4.7

Para chegar ao formulário padrão, preencha os quadrados.
Divida cada termo por$36$ para que a constante seja$1$.
Como o$x^{2}$ termo -é positivo, a hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.
Encontre o centro,$(h,k)$.	Centro:$(3, -2)$
Encontre$a,b$.	$a=3$ $b=4$
Desenhe o retângulo que passa pelas$3$ unidades de pontos à esquerda/direita do centro e$2$ unidades acima e abaixo do centro. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo. Marque os vértices. Faça um gráfico dos galhos.

Exercício$\PageIndex{9}$

1. Escreva a equação na forma padrão e
2. Gráfico$9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$.

Responda

1. $\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1$

Figura 11.4.31

Exercício$\PageIndex{10}$

1. Escreva a equação na forma padrão e
2. Gráfico$16 x^{2}-25 y^{2}+96 x-50 y-281=0$.

Responda

1. $\frac{(x+3)^{2}}{25}-\frac{(y+1)^{2}}{16}=1$

Figura 11.4.32

Identifique seções cônicas por suas equações

Agora que concluímos nosso estudo das seções cônicas, examinaremos as diferentes equações e reconheceremos algumas maneiras de identificar uma cônica por sua equação. Quando recebemos uma equação para representar graficamente, é útil identificar a cônica para que saibamos quais os próximos passos a serem dados.

Para identificar uma cônica a partir de sua equação, é mais fácil colocar os termos variáveis em um lado da equação e as constantes no outro.

Tabela 11.4.8

Cônico	Características de$x^{2}$ - e$y^{2}$ -termos	Exemplo
Parábola	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">OU$x^{2}$ OU$y^{2}$. Somente uma variável é quadrada.	$x=3 y^{2}-2 y+1$
Círculo	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$ - e$y^{2}$ - termos têm os mesmos coeficientes.	$x^{2}+y^{2}=49$
Elipse	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$ - e$y^{2}$ - termos têm o mesmo sinal, coeficientes diferentes.	$4 x^{2}+25 y^{2}=100$
Hyperbole	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$$y^{2}$ - e - termos têm sinais diferentes, coeficientes diferentes.	$25 y^{2}-4 x^{2}=100$

Exemplo$\PageIndex{6}$

Identifique o gráfico de cada equação como um círculo, parábola, elipse ou hipérbole.

1. $9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0$
2. $9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$
3. $x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$
4. $y=-2 x^{2}-4 x-5$

Solução:

a. Os$y^{2}$ termos$x^{2}$ - e -têm o mesmo sinal e coeficientes diferentes.

$9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0$

Elipse

b. Os$y^{2}$ termos$x^{2}$ - e -têm sinais e coeficientes diferentes.

$9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0$

Hyperbole

c. Os$y^{2}$ termos$x^{2}$ - e -têm os mesmos coeficientes.

$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0$

Círculo

d. Somente uma variável,$x$, é quadrada.

$y=-2 x^{2}-4 x-5$

Parábola

Exercício$\PageIndex{11}$

Identifique o gráfico de cada equação como um círculo, parábola, elipse ou hipérbole.

1. $x^{2}+y^{2}-8 x-6 y=0$
2. $4 x^{2}+25 y^{2}=100$
3. $y=6 x^{2}+2 x-1$
4. $16 y^{2}-9 x^{2}=144$

Responda

1. Círculo
2. Elipse
3. Parábola
4. Hyperbole

Exercício$\PageIndex{12}$

Identifique o gráfico de cada equação como um círculo, parábola, elipse ou hipérbole.

1. $16 x^{2}+9 y^{2}=144$
2. $y=2 x^{2}+4 x+6$
3. $x^{2}+y^{2}+2 x+6 y+9=0$
4. $4 x^{2}-16 y^{2}=64$

Responda

1. Elipse
2. Parábola
3. Círculo
4. Hyperbole

Acesse esses recursos on-line para obter instruções adicionais e praticar com hipérboles.

• Faça um gráfico de uma hipérbole com o centro na origem
• Faça um gráfico de uma hipérbole com o centro não na origem
• Faça um gráfico de uma hipérbole em forma geral
• Identificação de seções cônicas em formato geral

Conceitos-chave

• Hipérbole: Uma hipérbole são todos os pontos em um plano em que a diferença de suas distâncias de dois pontos fixos é constante.

Figura 11.4.1

• Cada um dos pontos fixos é chamado de foco da hipérbole.
  A linha que passa pelos focos é chamada de eixo transversal.
  Os dois pontos em que o eixo transversal cruza a hipérbole são, cada um, um vértice da hipérbole.
  O ponto médio do segmento que une os focos é chamado de centro da hipérbole.
  A linha perpendicular ao eixo transversal que passa pelo centro é chamada de eixo conjugado.
  Cada pedaço do gráfico é chamado de ramo da hipérbole.
  

Figura 11.4.2

Formas padrão da equação: uma hipérbole com centro$(0,0)$

Tabela 11.4.1

	$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$
Orientação	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Eixo transversal no$x$ eixo. Abre à esquerda e à direita	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Eixo transversal no$y$ eixo. Abre para cima e para baixo
Vértices	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
$x$-intercepta	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(-a, 0),(a, 0)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">nenhum
$y$-intercepta	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">nenhum	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(0,-a),(0, a)$
Retângulo	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Usar$( \pm a, 0)(0, \pm b)$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Usar$(0, \pm a)( \pm b, 0)$
Assíntotas	\ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x$	\ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x$

• Como representar graficamente uma hipérbole centrada em$(0,0)$.
  1. Escreva a equação na forma padrão.
  2. Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.
  3. Encontre os vértices.
  4. Desenhe o retângulo centrado na origem cruzando um eixo em$±a$ e o outro em$±b$.
  5. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo.
  6. Desenhe os dois ramos da hipérbole.

Formas padrão da equação: uma hipérbole com centro$(h,k)$

Tabela 11.4.4

	$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
Orientação	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">O eixo transversal é horizontal. Abre à esquerda e à direita	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">O eixo transversal é vertical. Abre para cima e para baixo
Centro	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(h,k)$	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$(h,k)$
Vértices	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$a$ unidades à esquerda e à direita do centro	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">$a$ unidades acima e abaixo do centro
Retângulo	\ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Use$a$ unidades à esquerda/direita das$b$ unidades centrais acima/abaixo do centro	\ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Use$a$ unidades acima/abaixo das$b$ unidades centrais à esquerda/direita do centro

• Como representar graficamente uma hipérbole centrada em$(h,k)$.
  1. Escreva a equação na forma padrão.
  2. Determine se o eixo transversal é horizontal ou vertical.
  3. Encontre o centro$a,b$ e.
  4. Desenhe o retângulo centrado em$(h,k)$ usar$a,b$.
  5. Desenhe as assíntotas — as linhas nas diagonais do retângulo. Marque os vértices.
  6. Desenhe os dois ramos da hipérbole.

Tabela 11.4.8

Cônico	Características de$x^{2}$ - e$y^{2}$ -termos	Exemplo
Parábola	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">OU$x^{2}$ OU$y^{2}$. Somente uma variável é quadrada.	$x=3 y^{2}-2 y+1$
Círculo	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$ - e$y^{2}$ - termos têm os mesmos coeficientes.	$x^{2}+y^{2}=49$
Elipse	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$ - e$y^{2}$ - termos têm o mesmo sinal, coeficientes diferentes.	$4 x^{2}+25 y^{2}=100$
Hyperbole	\ (x^ {2}\) - e$y^{2}$ -terms">$x^{2}$$y^{2}$ - e - termos têm sinais diferentes, coeficientes diferentes.	$25 y^{2}-4 x^{2}=100$

Glossário

hipérbole

Uma hipérbole é definida como todos os pontos em um plano em que a diferença de suas distâncias de dois pontos fixos é constante.