6.3: Fatores trinômios
Ao final desta seção, você poderá:
- Trinômios fatoriais da formax2+bx+c
- Trinômios fatoriais do formulárioax2+bx+c usando tentativa e erro
- Trinômios fatoriais da formaax2+bx+c usando o métodoac ''
- Fator usando substituição
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Trinômios fatoriais da formax2+bx+c
Você já aprendeu como multiplicar binômios usando FOIL. Agora você precisará “desfazer” essa multiplicação. Fatorar o trinômio significa começar com o produto e terminar com os fatores.
Para descobrir como fatoraríamos um trinômio da formax2+bx+c, comox2+5x+6 e o fatoraríamos(x+2)(x+3), vamos começar com dois binômios gerais da forma(x+m)(x+n) e.
(x+m)(x+n) | |
Folha para encontrar o produto. | x2+mx+nx+mn |
Considere o GCF a partir dos termos intermediários. | x2+(m+n)x+mn |
Nosso trinômio é da formax2+bx+c. | x2+bx+c⏞x2+(m+n)x+mn |
Isso nos diz que, para fatorar um trinômio da formax2+bx+c, precisamos de dois fatores(x+m) e(x+n) onde os dois númerosmn se multiplicamc e somamb.
Fator:x2+11x+24.
- Resposta
-
Fator:q2+10q+24.
- Resposta
-
(q+4)(q+6)
Fator:t2+14t+24.
- Resposta
-
(t+2)(t+12)
Vamos resumir as etapas que usamos para encontrar os fatores.
- Escreva os fatores como dois binômios com os primeiros termos x. x2+bx+c(x)(x)
- Encontre dois númerosm en isso
- multiplicar parac,m·n=c
- adicionar ab,m+n=b
- Usem en como os últimos termos dos fatores. (x+m)(x+n)
- Verifique multiplicando os fatores.
No primeiro exemplo, todos os termos no trinômio foram positivos. O que acontece quando há termos negativos? Bem, depende de qual termo é negativo. Vejamos primeiro os trinômios com apenas o termo médio negativo.
Como você obtém um produto positivo e uma soma negativa? Usamos dois números negativos.
Fator:y2−11y+28.
- Resposta
-
Novamente, com o último termo positivo e o médio prazo negativo−11y, precisamos de dois fatores negativos.28 Encontre dois números que se multiplicam28 e se somam−11 a.
y2−11y+28Write the factors as two binomials with first terms y.(y)(y)Find two numbers that: multiply to 28 and add to −11.Fatores de28 Soma dos fatores \ (28\)” data-valign="top">−1, −28
−2, −14
−4, −7−1+(−28)=−29
−2+(−14)=−16
−4+(−7)=−11∗Use −4, −7 as the last terms of the binomials.(y−4)(y−7)Check:(y−4)(y−7)y2−7y−4y+28y2−11y+28✓
Fator:u2−9u+18.
- Resposta
-
(u−3)(u−6)
Fator:y2−16y+63.
- Resposta
-
(y−7)(y−9)
Agora, e se o último termo no trinômio for negativo? Pense em FOIL. O último termo é o produto dos últimos termos nos dois binômios. Um produto negativo resulta da multiplicação de dois números por sinais opostos. Você deve ter muito cuidado ao escolher fatores para garantir que também obtenha o sinal correto para o médio prazo.
Como você obtém um produto negativo e uma soma positiva? Usamos um número positivo e um negativo.
Quando fatoramos os trinômios, devemos ter os termos escritos em ordem decrescente — na ordem do grau mais alto para o menor grau.
Fator:2x+x2−48.
- Resposta
-
2x+x2−48First we put the terms in decreasing degree order.x2+2x−48Factors will be two binomials with first terms x.(x)(x)
Fatores de −48−48 Soma dos fatores −1, 48
−2, 24
−3, 16
−4, 12
−6, 8−1+48=47
−2+24=22
−3+16=13
−4+12=8
−6+8=2∗Use −6, 8 as the last terms of the binomials.(x−6)(x+8)Check:(x−6)(x+8)x2−6q+8q−48x2+2x−48✓
Fator:9m+m2+18.
- Resposta
-
(m+3)(m+6)
Fator:−7n+12+n2.
- Resposta
-
(n−3)(n−4)
Às vezes, você precisará fatorar os trinômios do formuláriox2+bxy+cy2 com duas variáveis, comox2+12xy+36y2. O primeiro termox2,, é o produto dos primeiros termos dos fatores binomiais,x·x. Oy2 no último termo significa que os segundos termos dos fatores binomiais devem conter cada umy. Para obter os coeficientesbc, use o mesmo processo resumido em Como fatorar trinômios.
Fator:r2−8rs−9s2.
- Resposta
-
Precisamosr no primeiro termo de cada binômio es no segundo termo. O último termo do trinômio é negativo, então os fatores devem ter sinais opostos.
r2−8rs−9s2Note that the first terms are r,last terms contain s.(rs)(rs)Find the numbers that multiply to −9 and add to −8.Fatores de−9 Soma dos fatores \ (−9\)” data-valign="top">1, −9 −1+9=8 \ (−9\)” data-valign="top">−1, 9 1+(−9)=−8∗ \ (−9\)” data-valign="top">3, −3 3+(−3)=0 Use 1, −9 as coefficients of the last terms.(r+s)(r−9s)Check:(r−9s)(r+s)r2+rs−9rs−9s2r2−8rs−9s2✓
Fator:a2−11ab+10b2.
- Resposta
-
(a−b)(a−10b)
Fator:m2−13mn+12n2.
- Resposta
-
(m−n)(m−12n)
Alguns trinômios são primos. A única maneira de ter certeza de que um trinômio é primordial é listar todas as possibilidades e mostrar que nenhuma delas funciona.
Fator:u2−9uv−12v2.
- Resposta
-
Precisamosu no primeiro termo de cada binômio ev no segundo termo. O último termo do trinômio é negativo, então os fatores devem ter sinais opostos.
u2−9uv−12v2Note that the first terms are u, last terms contain v.(uv)(uv)Find the numbers that multiply to −12 and add to −9.Fatores de−12 Soma dos fatores \ (−12\)” data-valign="top">1,−12
−1,12
2,−6
−2,6
3,−4
−3,41+(−12)=−11
−1+12=11
2+(−6)=−4
−2+6=4
3+(−4)=−1
−3+4=1Observe que não há pares de fatores que nos−9 forneçam como soma. O trinômio é primordial.
Fator:x2−7xy−10y2.
- Resposta
-
primo
Fator:p2+15pq+20q2.
- Resposta
-
primo
Vamos resumir o método que acabamos de desenvolver para fatorar os trinômios da formax2+bx+c.
Quando consideramos um trinômio, examinamos primeiro os sinais de seus termos para determinar os sinais dos fatores binomiais.
x2+bx+c | ||
(x+m)(x+n) | ||
Quandoc é positivom en tem o mesmo sinal. | ||
bpositivo | bnegativo | |
m,npositivo | m,nnegativo | |
x2+5x+6 | x2−6x+8 | |
(x+2)(x+3) | (x−4)(x−2) | |
mesmos sinais | mesmos sinais | |
Quandoc é negativom en tem o sinal oposto. | ||
x2+x−12 | x2−2x−15 | |
(x+4)(x−3) | (x−5)(x+3) | |
sinais opostos | sinais opostos |
Observe que, no caso em quem en tenham sinais opostos, o sinal daquele com o maior valor absoluto corresponde ao sinal deb.
Trinômios fatoriais da forma ax 2 + bx + c usando tentativa e erro
Nosso próximo passo é fatorar trinômios cujo coeficiente principal não é 1, trinômios da formaax2+bx+c.
Lembre-se de sempre verificar primeiro se há um GCF! Às vezes, depois de fatorar o GCF, o coeficiente principal do trinômio se torna1 e você pode fatorá-lo pelos métodos que usamos até agora. Vamos dar um exemplo para ver como isso funciona.
Fator completamente:4x3+16x2−20x.
- Resposta
-
Is there a greatest common factor?4x3+16x2−20xYes, GCF=4x. Factor it.4x(x2+4x−5)Binomial, trinomial, or more than three terms?It is a trinomial. So “undo FOIL.”4x(x)(x)Use a table like the one shown to find two numbers that4x(x−1)(x+5)multiply to −5 and add to 4.
Fatores de−5 Soma dos fatores \ (−5\)” data-valign="top">−1,5
1,−5−1+5=4∗
1+(−5)=−4Check:4x(x−1)(x+5)4x(x2+5x−x−5)4x(x2+4x−5)4x3+16x2−20x✓
Fator completamente:5x3+15x2−20x.
- Resposta
-
5x(x−1)(x+4)
Fator completamente:6y3+18y2−60y.
- Resposta
-
6y(y−2)(y+5)
O que acontece quando o coeficiente principal não é1 e não há GCF? Existem vários métodos que podem ser usados para fatorar esses trinômios. Primeiro, usaremos o método de tentativa e erro.
Vamos considerar o trinômio3x2+5x+2.
De nosso trabalho anterior, esperamos que isso seja considerado em dois binômios.
3x2+5x+2()()
Sabemos que os primeiros termos dos fatores binomiais se multiplicarão para nos dar3x2. Os únicos fatores do3x2 são1x, 3x. Podemos colocá-los nos binômios.
Verifique: Faz1x·3x=3x2?
Sabemos que os últimos termos dos binômios se multiplicarão para2. Como esse trinômio tem todos os termos positivos, precisamos apenas considerar fatores positivos. Os únicos fatores de2 são12 e. Mas agora temos dois casos a considerar, pois fará diferença se escrevermos1,2 ou2,1.
Quais fatores estão corretos? Para decidir isso, multiplicamos os termos interno e externo.
Como o termo médio do trinômio é5x, os fatores no primeiro caso funcionarão. Vamos usar FOIL para verificar.
(x+1)(3x+2)3x2+2x+3x+23x2+5x+2✓
Nosso resultado da fatoração é:
3x2+5x+2(x+1)(3x+2)
Considere completamente usando tentativa e erro:3y2+22y+7.
- Resposta
-
Considere completamente usando tentativa e erro:2a2+5a+3.
- Resposta
-
(a+1)(2a+3)
Considere completamente usando tentativa e erro:4b2+5b+1.
- Resposta
-
(b+1)(4b+1)
- Escreva o trinômio em ordem decrescente de graus, conforme necessário.
- Fator qualquer GCF.
- Encontre todos os pares de fatores do primeiro termo.
- Encontre todos os pares de fatores do terceiro termo.
- Teste todas as combinações possíveis dos fatores até que o produto correto seja encontrado.
- Verifique multiplicando.
Lembre-se de que, quando o termo médio é negativo e o último termo é positivo, os sinais nos binômios devem ser negativos.
Considere completamente usando tentativa e erro:6b2−13b+5.
- Resposta
-
O trinômio já está em ordem decrescente. Encontre os fatores do primeiro termo. Encontre os fatores do último período. Considere os sinais.
Como o último termo5,, é positivo, seus fatores devem ser
positivos ou negativos. O coeficiente do termo
médio é negativo, então usamos os fatores negativos.Considere todas as combinações de fatores.
6b2−13b+5 Fatores possíveis Produto \ (6b^2−13b+5\) Fatores possíveis” data-valign="top">(b−1)(6b−5) \ (6b^2−13b+5\) Produto” data-valign="top">6b2−11b+5 \ (6b^2−13b+5\) Fatores possíveis” data-valign="top">(b−5)(6b−1) \ (6b^2−13b+5\) Produto” data-valign="top">6b2−31b+5 \ (6b^2−13b+5\) Fatores possíveis” data-valign="top">(2b−1)(3b−5) \ (6b^2−13b+5\) Produto” data-valign="middle">6b2−13b+5∗ \ (6b^2−13b+5\) Fatores possíveis” data-valign="top">(2b−5)(3b−1) \ (6b^2−13b+5\) Produto” data-valign="middle">6b2−17b+5 The correct factors are those whose productis the original trinomial.(2b−1)(3b−5)Check by multiplying:(2b−1)(3b−5)6b2−10b−3b+56b2−13b+5✓
Considere completamente usando tentativa e erro:8x2−14x+3.
- Resposta
-
(2x−3)(4x−1)
Considere completamente usando tentativa e erro:10y2−37y+7.
- Resposta
-
(2y−7)(5y−1)
Quando consideramos uma expressão, sempre procuramos primeiro o maior fator comum. Se a expressão não tiver o maior fator comum, também não pode haver um em seus fatores. Isso pode nos ajudar a eliminar algumas das combinações possíveis de fatores.
Considere completamente usando tentativa e erro:18x2−37xy+15y2.
- Resposta
-
O trinômio já está em ordem decrescente. Encontre os fatores do primeiro termo. Encontre os fatores do último período. Considere os sinais.
Como 15 é positivo e o coeficiente do médio
prazo é negativo, usamos os fatores negativos.Considere todas as combinações de fatores.
The correct factors are those whose product isthe original trinomial.(2x−3y)(9x−5y)Check by multiplying:(2x−3y)(9x−5y)18x2−10xy−27xy+15y218x2−37xy+15y2✓
Considere completamente usando tentativa e erro18x2−3xy−10y2.
- Resposta
-
(3x+2y)(6x−5y)
Considere completamente usando tentativa e erro:30x2−53xy−21y2.
- Resposta
-
(3x+y)(10x−21y)
Não se esqueça de procurar primeiro um GCF e lembre-se se o coeficiente principal é negativo, assim como o GCF.
Considere completamente usando tentativa e erro:−10y4−55y3−60y2.
- Resposta
-
Observe o maior fator comum, então considere-o primeiro. Considere o trinômio. Considere todas as combinações.
-
The correct factors are those whose productis the original trinomial. Remember to includethe factor −5y2.−5y2(y+4)(2y+3)Check by multiplying:−5y2(y+4)(2y+3)−5y2(2y2+8y+3y+12)−10y4−55y3−60y2✓
Considere completamente usando tentativa e erro:15n3−85n2+100n.
- Resposta
-
5n(n−4)(3n−5)
Considere completamente usando tentativa e erro:56q3+320q2−96q.
- Resposta
-
8q(q+6)(7q−2)
Trinômios fatoriais da formaax2+bx+c usando o método “ac”
Outra forma de fatorar os trinômios da formaax2+bx+c é o método “ac”. (O método “ac” às vezes é chamado de método de agrupamento.) O método “ac” é, na verdade, uma extensão dos métodos que você usou na última seção para fatorar trinômios com o coeficiente inicial um. Esse método é muito estruturado (passo a passo) e sempre funciona!
Fator usando o método “ac”:6x2+7x+2.
- Resposta
-
Fator usando o método “ac”:6x2+13x+2.
- Resposta
-
(x+2)(6x+1)
Fator usando o método “ac”:4y2+8y+3.
- Resposta
-
(2y+1)(2y+3)
O método “ac” está resumido aqui.
- Fator qualquer GCF.
- Encontre o produtoac.
- Encontre dois númerosm en isso:
Multiply to acm·n=a·cAdd to bm+n=bax2+bx+c - Divida o termo intermediário usandomn e. ax2+mx+nx+c
- Fator por agrupamento.
- Verifique multiplicando os fatores.
Não se esqueça de procurar um fator comum!
Fator usando o método '“ac”:10y2−55y+70.
- Resposta
-
Existe um fator comum maior? Sim. O GCF é5. Fator isso. O trinômio dentro dos parênteses tem um coeficiente
principal que não é1.Encontre o produtoac. ac=28 Encontre dois números que se multiplicam porac (−4)(−7)=28 e adicioneb a. −4(−7)=−11 Divida o meio termo. Fatore o trinômio por agrupamento. Verifique multiplicando todos os três fatores.
5(y−2)(2y−7)5(2y2−7y−4y+14)
5(2y2−11y+14)
10y2−55y+70✓
Fator usando o método “ac”:16x2−32x+12.
- Resposta
-
4(2x−3)(2x−1)
Fator usando o método “ac”:18w2−39w+18.
- Resposta
-
3(3w−2)(2w−3)
Fator usando substituição
Às vezes, um trinômio não parece estar naax2+bx+c forma. No entanto, muitas vezes podemos fazer uma substituição cuidadosa que nos permitirá ajustá-la aoax2+bx+c formulário. Isso é chamado de fatoração por substituição. É padrãou para uso na substituição.
Noax2+bx+c, o termo intermediário tem uma variável,x, e seu quadradox2,, é a parte variável do primeiro termo. Procure esse relacionamento ao tentar encontrar um substituto.
Fator por substituição:x4−4x2−5.
- Resposta
-
A parte variável do termo médio éx2 e seu quadrado,x4, é a parte variável do primeiro termo. (Nós sabemos(x2)2=x4). Se deixarmosu=x2, podemos colocar nosso trinômio naax2+bx+c forma que precisamos para fatorá-lo.
x4−4x2−5 Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição. (x2)2−4(x2)−5 Deixeu=x2 e substitua. (u)2−4(u)−5 Considere o trinômio. (u+1)(u−5) uSubstitua porx2. (x2+1)(x2−5) Confira:
(x2+1)(x2−5)x4−5x2+x2−5x4−4x2−5✓
Fator por substituição:h4+4h2−12.
- Resposta
-
(h2−2)(h2+6)
Fator por substituição:y4−y2−20.
- Resposta
-
(y2+4)(y2−5)
Às vezes, a expressão a ser substituída não é um monômio.
Fator por substituição:(x−2)2+7(x−2)+12
- Resposta
-
O binômio, no termo médio,(x−2) é quadrado no primeiro termo. Se deixarmosu=x−2 e substituirmos, nosso trinômio estará emax2+bx+c forma.
Reescreva o trinômio para se preparar para a substituição. Deixeu=x−2 e substitua. Considere o trinômio. uSubstitua porx−2. Simplifique dentro dos parênteses. Isso também pode ser fatorado multiplicando primeiro o(x−2)2 e o7(x−2) e, em seguida, combinando termos semelhantes e depois fatorando. A maioria dos estudantes prefere o método de substituição.
Fator por substituição:(x−5)2+6(x−5)+8.
- Resposta
-
(x−3)(x−1)
Fator por substituição:(y−4)2+8(y−4)+15.
- Resposta
-
(y−1)(y+1)
Assista a este vídeo para obter instruções adicionais e praticar a fatoração.
Conceitos chave
- Como fatorar os trinômios do formuláriox2+bx+c.
- Escreva os fatores como dois binômios com os primeiros termos x. l)x2+bx+c(x)(x)
- Encontre dois númerosm en isso
multiply toc, m·n=cadd tob, m+n=b - Usem en como os últimos termos dos fatores. (x+m)(x+n)
- Verifique multiplicando os fatores.
- Estratégia para fatorar trinômios da formax2+bx+c: Quando fatoramos um trinômio, examinamos primeiro os sinais de seus termos para determinar os sinais dos fatores binomiais.
Para trinômios da forma:x2+bx+c=(x+m)(x+n)
Quandoc é positivom en deve ter o mesmo sinal (e este será o sinal deb ).
Exemplos:x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2−6x+8=(x−4)(x−2)
Quandoc é negativom en tem sinais opostos. O maiorm en terá o sinal deb.
Exemplos:x2+x−12=(x+4)(x−3),x2−2x−15=(x−5)(x+3)
Observe que, no caso de sinais opostosm en quando houver sinais opostos, o sinal daquele com o maior valor absoluto corresponde ao sinal deb. - Como fatorar os trinômios do formulárioax2+bx+c usando tentativa e erro.
- Escreva o trinômio em ordem decrescente de graus, conforme necessário.
- Fator qualquer GCF.
- Encontre todos os pares de fatores do primeiro termo.
- Encontre todos os pares de fatores do terceiro termo.
- Teste todas as combinações possíveis dos fatores até que o produto correto seja encontrado.
- Verifique multiplicando.
- Como fatorar os trinômios do formulárioax2+bx+c usando o método “ac”.
- Fator qualquer GCF.
- Encontre o produtoac.
- Encontre dois númerosm en isso:
Multiply to ac.m·n=a·cAdd to b.m+n=bax2+bx+c - Divida o termo intermediário usandomn e. ax2+mx+nx+c
- Fator por agrupamento.
- Verifique multiplicando os fatores.