5.4: Multiplicar polinômios
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- 183224
Ao final desta seção, você poderá:
- Multiplique monômios
- Multiplique um polinômio por um monômio
- Multiplique um binômio por um binômio
- Multiplique um polinômio por um polinômio
- Multiplique produtos especiais
- Multiplique funções polinomiais
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Multiplique monômios
Estamos prontos para realizar operações em polinômios. Como monômios são expressões algébricas, podemos usar as propriedades dos expoentes para multiplicar monômios.
Multiplique:
- \((3x^2)(−4x^3)\)
- \(\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2).\)
- Responda a
-
\(\begin{array} {ll} {} &{(3x^2)(−4x^3)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{3·(−4)·x^2·x^3} \\ {\text{}} &{−12x^5} \\ \end{array} \)
- Resposta b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{\left(\frac{5}{6}x^3y\right)(12xy^2)} \\ {\text{Use the Commutative Property to rearrange the terms.}} &{\frac{5}{6}·12·x^3·x·y·y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{10x^4y^3} \\ \end{array} \)
Multiplique:
- \((5y^7)(−7y^4)\)
- \((25a^4b^3)(15ab^3)\)
- Responda a
-
\(−35y^{11}\)
- Resposta b
-
\(375 a^5b^6\)
Multiplique:
- \((−6b^4)(−9b^5)\)
- \((23r^5s)(12r^6s^7).\)
- Responda a
-
\(54b^9\)
- Resposta b
-
\(276 r^{11}s^8\)
Multiplique um polinômio por um monômio
Multiplicar um polinômio por um monômio é, na verdade, apenas aplicar a propriedade distributiva.
Multiplique:
- \(−2y(4y^2+3y−5)\)
- \(3x^3y(x^2−8xy+y^2)\).
- Responda a
-
Distribuir. 
Multiplique. 
- Resposta b
-
\(\begin{array} {ll} {} &{3x^3y(x^2−8xy+y^2)} \\ {\text{Distribute.}} &{3x^3y⋅x^2+(3x^3y)⋅(−8xy)+(3x^3y)⋅y^2} \\ {\text{Multiply.}} &{3x^5y−24x^4y^2+3x^3y^3} \\ \end{array} \)
Multiplique:
- \(-3y(5y^2+8y^{7})\)
- \(4x^2y^2(3x^2−5xy+3y^2)\)
- Responda a
-
\(−15y^3−24y^8\)
- Resposta b
-
\(12x^4y^2−20x^3y^3+12x^2y^4\)
Multiplique:
- \(4x^2(2x^2−3x+5)\)
- \(−6a^3b(3a^2−2ab+6b^2)\)
- Responda a
-
\(8x^4−12x^3+20x^2\)
- Resposta b
-
\(−18a^5b+12a^4b^2−36a^3b^3\)
Multiplique um binômio por um binômio
Assim como existem diferentes maneiras de representar a multiplicação de números, existem vários métodos que podem ser usados para multiplicar um binômio vezes um binômio. Começaremos usando a propriedade distributiva.
Multiplique:
- \((y+5)(y+8)\)
- \((4y+3)(2y−5)\).
- Resposta
-
ⓐ
Distribuir\((y+8)\). 
Distribua novamente. 
Combine termos semelhantes. 
ⓑ
Distribuir. 
Distribua novamente. 
Combine termos semelhantes. 
Multiplique:
- \((x+8)(x+9)\)
- \((3c+4)(5c−2)\).
- Responda a
-
\(x^2+17x+72\)
- Resposta b
-
\(15c^2+14c−8\)
Multiplique:
- \((5x+9)(4x+3)\)
- \((5y+2)(6y−3)\).
- Responda a um
-
\(20x^2+51x+27\)
- Resposta b
-
\(30y^2−3y−6\)
Se você multiplicar binômios com frequência suficiente, poderá notar um padrão. Observe que o primeiro termo no resultado é o produto dos primeiros termos em cada binômio. O segundo e o terceiro termos são o produto da multiplicação dos dois termos externos e, em seguida, dos dois termos internos. E o último termo resulta da multiplicação dos dois últimos termos,
Nós abreviamos “First, Outer, Inner, Last” como FOIL. As letras significam “Primeiro, Externo, Interno, Último”. Usamos isso como outro método de multiplicação de binômios. A palavra FOIL é fácil de lembrar e garante que encontremos todos os quatro produtos.
Vamos multiplicar\((x+3)(x+7)\) usando os dois métodos.
Resumimos as etapas do método FOIL abaixo. O método FOIL só se aplica à multiplicação de binômios, não a outros polinômios!
Quando você multiplica pelo método FOIL, desenhar as linhas ajudará seu cérebro a se concentrar no padrão e facilitará sua aplicação.
Agora vamos fazer um exemplo em que usamos o padrão FOIL para multiplicar dois binômios.
Multiplique:
- \((y−7)(y+4)\)
- \((4x+3)(2x−5)\).
- Resposta
-
uma.
b.
Multiplique:
- \((x−7)(x+5)\)
- \((3x+7)(5x−2)\).
- Resposta
-
a.\(x^2−2x−35\)
b.\(15x^2+29x−14\)
Multiplique:
- \((b−3)(b+6)\)
- \((4y+5)(4y−10)\).
- Resposta
-
a.\(b^2+3b−18\)
b.\(16y^2−20y−50\)
Os produtos finais no último exemplo foram trinômios porque pudemos combinar os dois termos intermediários. Isso nem sempre é o caso.
Multiplique:
- \((n^2+4)(n−1)\)
- \((3pq+5)(6pq−11)\).
- Resposta
-
uma.
Etapa 1. Multiplique os primeiros termos. 
Etapa 2. Multiplique os termos externos. 
Etapa 3. Multiplique os termos internos. 
Etapa 4. Multiplique os últimos termos. 
Etapa 5. Combine termos semelhantes — não há nenhum. 
b.
Etapa 1. Multiplique os primeiros termos. 
Etapa 2. Multiplique os termos externos. 
Etapa 3. Multiplique os termos internos. 
Etapa 4. Multiplique os últimos termos. 
Etapa 5. Combine termos semelhantes. 
Multiplique:
- \((x^2+6)(x−8)\)
- \((2ab+5)(4ab−4)\).
- Resposta
-
a.\(x^3−8x^2+6x−48\)
b.\(8a^2b^2+12ab−20\)
Multiplique:
- \((y^2+7)(y−9)\)
- \((2xy+3)(4xy−5)\).
- Resposta
-
a.\(y^3−9y^2+7y−63\)
b.\(8x^2y^2+2xy−15\)
O método FOIL geralmente é o método mais rápido para multiplicar dois binômios, mas só funciona para binômios. Você pode usar a Propriedade Distributiva para encontrar o produto de quaisquer dois polinômios. Outro método que funciona para todos os polinômios é o Método Vertical. É muito parecido com o método usado para multiplicar números inteiros. Veja cuidadosamente este exemplo de multiplicação de números de dois dígitos.
Agora vamos aplicar esse mesmo método para multiplicar dois binômios.
Multiplique usando o método vertical:\((3y−1)(2y−6)\).
- Resposta
-
Não importa qual binômio fique no topo.
\ (\ begin {align*} & & &\ quad\;\; 3y - 1\\ [4pt]
& & &\ underline {\ quad\ times\; 2y-6}\\ [4pt]
&\ text {Multiplique} 3y-1\ texto {por} -6. & &\ quad -18y + 6 & &\ text {produto parcial}\\ [4pt]
&\ text {Multiplique} 3y-1\ texto {por} 2y. & &\ underline {6y^2 - 2y} & &\ text {produto parcial}\\ [4pt]
&\ text {Adicionar termos semelhantes.} & & 6y^2 - 20y + 6\ end {align*}\)Observe que os produtos parciais são iguais aos termos do método FOIL.
Multiplique usando o método vertical:\((5m−7)(3m−6)\).
- Resposta
-
\(15m^2−51m+42\)
Multiplique usando o método vertical:\((6b−5)(7b−3)\).
- Resposta
-
\(42b^2−53b+15\)
Agora usamos três métodos para multiplicar binômios. Não deixe de praticar cada método e tente decidir qual deles você prefere. Os métodos estão listados aqui todos juntos, para ajudar você a se lembrar deles.
Para multiplicar binômios, use:
- Propriedade distributiva
- Método FOIL
- Método vertical
Multiplique um polinômio por um polinômio
Multiplicamos monômios por monômios, monômios por polinômios e binômios por binômios. Agora estamos prontos para multiplicar um polinômio por um polinômio. Lembre-se de que FOIL não funcionará nesse caso, mas podemos usar a propriedade distributiva ou o método vertical.
Multiplique\((b+3)(2b^2−5b+8)\) usando ⓐ a propriedade distributiva e ⓑ o método vertical.
- Resposta
-
uma.
Distribuir. 
Multiplique. 
Combine termos semelhantes. 
b. É mais fácil colocar o polinômio com menos termos na parte inferior porque obtemos menos produtos parciais dessa forma.
Multiplique\((2b^2−5b+8)\) por 3.
Multiplique\((2b^2−5b+8)\) por\(b\).
Adicione termos semelhantes. 
Multiplique\((y−3)(y^2−5y+2)\) usando ⓐ a propriedade distributiva e ⓑ o método vertical.
- Resposta
-
a.\(y^3−8y^2+17y−6\)
b.\(y^3−8y^2+17y−6\)
Multiplique\((x+4)(2x^2−3x+5)\) usando a) a propriedade distributiva e b) O método vertical.
- Resposta
-
a. e b.\(2x^3+5x^2−7x+20\)
Agora vimos dois métodos que você pode usar para multiplicar um polinômio por um polinômio. Depois de praticar cada método, você provavelmente descobrirá que prefere um método ao outro. Listamos os dois métodos listados aqui, para facilitar a consulta.
Para multiplicar um trinômio por um binômio, use:
- Propriedade distributiva
- Método vertical
Multiplique produtos especiais
Os matemáticos gostam de procurar padrões que facilitem seu trabalho. Um bom exemplo disso é o quadrado de binômios. Embora você sempre possa obter o produto escrevendo o binômio duas vezes e multiplicando-o, há menos trabalho a ser feito se você aprender a usar um padrão. Vamos começar examinando três exemplos e procurando um padrão.
Veja esses resultados. Você vê algum padrão?
E quanto ao número de termos? Em cada exemplo, colocamos um binômio ao quadrado e o resultado foi um trinômio.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Agora, veja o primeiro termo em cada resultado. De onde veio isso?
O primeiro termo é o produto dos primeiros termos de cada binômio. Como os binômios são idênticos, é apenas o quadrado do primeiro termo!
\[(a+b)^2=a^2+\text{___}+\text{___} \nonumber\]
Para obter o primeiro termo do produto, eleve ao quadrado o primeiro termo.
De onde veio o último termo? Veja os exemplos e encontre o padrão.
O último termo é o produto dos últimos termos, que é o quadrado do último termo.
\[(a+b)^2=\text{___}+\text{___}+b^2 \nonumber\]
Para obter o último termo do produto, eleve ao quadrado o último termo.
Finalmente, veja o médio prazo. Observe que isso veio da adição dos termos “externo” e “interno”, que são ambos iguais! Portanto, o termo médio é o dobro do produto dos dois termos do binômio.
\[(a+b)^2=\text{___}+2ab+\text{___} \nonumber\]
\[(a−b)^2=\text{___}−2ab+\text{___} \nonumber\]
Para obter o prazo médio do produto, multiplique os termos e duplique o produto.
Juntando tudo:
Se a e b forem números reais,
Para quadrar um binômio, eleve ao quadrado o primeiro termo, eleve ao quadrado o último termo e dobre seu produto.
Multiplique: a.\((x+5)^2\)\((2x−3y)^2\) b.
- Resposta
-
uma.
Efetue o quadrado do primeiro termo. 
Elabore o último termo. 
Duplique seu produto. 
Simplifique. 
b.
Use o padrão. 
Simplifique. 
Multiplique: a.\((x+9)^2\)\((2c−d)^2\) b.
- Resposta
-
a.\(x^2+18x+81\)
b.\(4c^2−4cd+d^2\)
Multiplique: a.\((y+11)^2\)\((4x−5y)^2\) b.
- Resposta
-
a.\(y^2+22y+121\)
b.\(16x^2−40xy+25y^2\)
Acabamos de ver um padrão para quadrar binômios que podemos usar para facilitar a multiplicação de alguns binômios. Da mesma forma, há um padrão para outro produto de binômios. Mas antes de chegarmos a isso, precisamos introduzir um pouco de vocabulário.
Um par de binômios em que cada um tem o mesmo primeiro termo e o mesmo último termo, mas um é uma soma e outro é uma diferença é chamado de par conjugado e tem a forma\((a−b)\),\((a+b)\).
Um par conjugado são dois binômios da forma
\[(a−b), (a+b). \nonumber\]
Cada par de binômios tem o mesmo primeiro termo e o mesmo último termo, mas um binômio é uma soma e o outro é uma diferença.
Existe um bom padrão para encontrar o produto dos conjugados. Você poderia, é claro, simplesmente FOIL para obter o produto, mas usar o padrão facilita seu trabalho. Vamos procurar o padrão usando FOIL para multiplicar alguns pares conjugados.
O que você observa sobre os produtos?
O produto dos dois binômios também é um binômio! A maioria dos produtos resultantes do FOIL são trinômios.
Cada primeiro termo é o produto dos primeiros termos dos binômios e, como são idênticos, é o quadrado do primeiro termo.
\[(a+b)(a−b)=a^2−\text{___} \nonumber\]
Para obter o primeiro termo, eleve ao quadrado o primeiro termo.
O último termo veio da multiplicação dos últimos termos, o quadrado do último termo.
\[(a+b)(a−b)=a^2−b^2 \nonumber\]
Para obter o último termo, eleve ao quadrado o último termo.
Por que não existe um termo intermediário? Observe que os dois termos intermediários que você obtém de FOIL se combinam com 0 em todos os casos, o resultado de uma adição e uma subtração.
O produto dos conjugados é sempre da forma\(a^2−b^2\). Isso é chamado de diferença de quadrados.
Isso leva ao padrão:
Se a e b forem números reais,
O produto é chamado de diferença de quadrados.
Para multiplicar os conjugados, eleve ao quadrado o primeiro termo, eleve ao quadrado o último termo, escreva-o como uma diferença de quadrados.
Multiplique usando o produto do padrão conjugado: a.\((2x+5)(2x−5)\)\((5m−9n)(5m+9n)\) b.
- Resposta
-
uma.
Os binômios são conjugados? 
É o produto dos conjugados. 
Eleve ao quadrado o primeiro termo, 2x.2x. 
Eleve ao quadrado o último termo, 5,5. 
Simplifique. O produto é uma diferença de quadrados. 
b.
Isso se encaixa no padrão. 
Use o padrão. 
Simplifique. 
Multiplique: a.\((6x+5)(6x−5)\)\((4p−7q)(4p+7q)\) b.
- Resposta
-
a.\(36x^2−25\)
b.\(16p^2−49q^2\)
Multiplique: a.\((2x+7)(2x−7)\)\((3x−y)(3x+y)\) b.
- Resposta
-
a.\(4x^2−49\) b.\(9x^2−y^2\)
Acabamos de desenvolver padrões de produtos especiais para quadrados binomiais e para o produto de conjugados. Os produtos têm uma aparência semelhante, por isso é importante reconhecer quando é apropriado usar cada um desses padrões e observar como eles diferem. Veja os dois padrões juntos e observe suas semelhanças e diferenças.
| Quadrados binomiais | Produto de conjugados |
|---|---|
| \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) |
| \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) | |
| • Elaboração ao quadrado de um binômio | • Multiplicação de conjugados |
| • O produto é um trinômio | • O produto é um binômio. |
| • Os termos internos e externos com FOIL são os mesmos. | • Termos internos e externos com FOIL são opostos. |
| • O médio prazo é o dobro do produto dos termos | • Não há prazo médio. |
Escolha o padrão apropriado e use-o para encontrar o produto:
a.\((2x−3)(2x+3)\) b.\((8x-5)^2\) c.\((6m+7)^2\)\((5x−6)(6x+5)\) d.
- Resposta
-
uma.\((2x−3)(2x+3)\)
Esses são conjugados. Eles têm os mesmos primeiros números e os mesmos últimos números, e um binômio é uma soma e o outro é uma diferença. Ele se encaixa no padrão Produto de Conjugados.
Use o padrão. 
Simplifique. 
b.\((8x−5)^2\)
Somos convidados a quadrar um binômio. Ele se encaixa no padrão de quadrados binomiais.
Use o padrão. 
Simplifique. 
c.\((6m+7)^2\)
Novamente, vamos quadrar um binômio, então usaremos o padrão de quadrados binomiais.
Use o padrão. 
Simplifique. 
d.\((5x−6)(6x+5)\)
Este produto não se encaixa nos padrões, então usaremos FOIL.
\(\begin{array} {ll} {} &{(5x−6)(6x+5)} \\ {\text{Use FOIL.}} & {30x^2+25x−36x−30} \\ {\text{Simplify.}} & {30x^2−11x−30} \\ \end{array}\)
Escolha o padrão apropriado e use-o para encontrar o produto:
a.\((9b−2)(2b+9)\) b.\((9p−4)^2\) c.\((7y+1)^2\)\((4r−3)(4r+3)\) d.
- Resposta
-
a. FOIL;\(18b^2+77b−18\)
b. Quadrados binomiais;\(81p^2−72p+16\)
c. Quadrados binomiais;\(49y^2+14y+1\)
d. Produto de conjugados;\(16r^2−9\)
Escolha o padrão apropriado e use-o para encontrar o produto:
a.\((6x+7)^2\) b.\((3x−4)(3x+4)\) c.\((2x−5)(5x−2)\)\((6n−1)^2\) d.
- Resposta
-
a. Quadrados binomiais;\(36x^2+84x+49\) b. Produto dos conjugados;\(9x^2−16\) c. FOIL;\(10x^2−29x+10\) d. Quadrados binomiais;\(36n^2−12n+1\)
Multiplique funções polinomiais
Assim como os polinômios podem ser multiplicados, as funções polinomiais também podem ser multiplicadas.
Para funções\(f(x)\) e\(g(x)\),
\[(f·g)(x)=f(x)·g(x)\]
Para funções\(f(x)=x+2\) e\(g(x)=x^2−3x−4\), encontre:
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Resposta
-
uma.
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=f(x)·g(x)} \\ {\text{Substitute for } f(x) \text{ and } g(x)} &{(f·g)(x)=(x+2)(x^2−3x−4)} \\ {\text{Multiply the polynomials.}} &{(f·g)(x)=x(x^2−3x−4)+2(x^2−3x−4)} \\ {\text{Distribute.}} &{(f·g)(x)=x3−3x^2−4x+2x^2−6x−8} \\ {\text{Combine like terms.}} &{(f·g)(x)=x3−x^2−10x−8} \\ \end{array}\)
b. Na parte a. encontramos\((f·g)(x)\) e agora somos convidados a encontrar\((f·g)(2)\).
\(\begin{array} {ll} {} &{(f·g)(x)=x^3−x^2−10x−8} \\ {\text{To find }(f·g)(2), \text{ substitute } x=2.} &{(f·g)(2)=2^3−2^2−10·2−8} \\ {} &{(f·g)(2)=8−4−20−8} \\ {} &{(f·g)(2)=−24} \\ \end{array}\)
Para funções\(f(x)=x−5\) e\(g(x)=x^2−2x+3\), encontre
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Responda a um
-
\((f·g)(x)=x^3−7x^2+13x−15\)
- Resposta b
-
\((f·g)(2)=−9\)
Para funções\(f(x)=x−7\) e\(g(x)=x^2+8x+4\), encontre
- \((f·g)(x)\)
- \((f·g)(2)\).
- Responda a um
-
\((f·g)(x)=x^3+x^2−52x−28\)
- Responda a um
-
\((f·g)(2)=−120\)
Acesse este recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com a multiplicação de polinômios.
- Introdução aos produtos especiais de binômios
Conceitos-chave
- Como usar o método FOIL para multiplicar dois binômios.
- Multiplicação de dois binômios: Para multiplicar binômios, use:
- Propriedade distributiva
- Método FOIL
- Multiplicação de um polinômio por um polinômio: Para multiplicar um trinômio por um binômio, use:
- Propriedade distributiva
- Método vertical
- Padrão de quadrados binomiais
Se a e b forem números reais,
- Produto do Padrão de Conjugados
Se a, b são números reais
O produto é chamado de diferença de quadrados.
Para multiplicar os conjugados, eleve ao quadrado o primeiro termo, eleve ao quadrado o último termo, escreva-o como uma diferença de quadrados. - Comparando os padrões especiais de produtos
Quadrados binomiais Produto de conjugados \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\) \((a−b)(a+b)=a^2−b^2\) • Elaboração ao quadrado de um binômio • Multiplicação de conjugados • O produto é um trinômio • O produto é um binômio. • Os termos internos e externos com FOIL são os mesmos. • Termos internos e externos com FOIL são opostos. • O médio prazo é o dobro do produto dos termos • Não há prazo médio. - Multiplicação de funções polinomiais:
- Para funções\(f(x)\) e\(g(x)\),
\[(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x) \nonumber\]
- Para funções\(f(x)\) e\(g(x)\),
Glossário
- par conjugado
- Um par conjugado são dois binômios da forma\((a−b)\)\((a+b)\) e. Cada par de binômios tem o mesmo primeiro termo e o mesmo último termo, mas um binômio é uma soma e o outro é uma diferença.