5.2: Adicionar e subtrair polinômios

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Determine o grau de polinômios
Adicione e subtraia polinômios
Calcule uma função polinomial para um determinado valor
Adicione e subtraia funções polinomiais

Nota

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Simplifique:$3x^2+3x+1+8x^2+5x+5.$
se você perdeu esse problema, revise [link].
Subtrair:$(5n+8)−(2n−1).$
Se você perdeu esse problema, revise [link].
Avalie:$4xy^2$ quando$x=−2x$$y=5.$ e.
Se você perdeu esse problema, revise [link].

Determine o grau de polinômios

Aprendemos que um termo é uma constante ou o produto de uma constante e de uma ou mais variáveis. Um monômio é uma expressão algébrica com um termo. Quando é da forma$ax^m$, onde$a$ é uma constante e$m$ é um número inteiro, é chamado de monômio em uma variável. Alguns exemplos de monômio em uma variável são. Os monômios também podem ter mais de uma variável, como e$−4a^2b^3c^2.$

Definição: MONOMIAL

Um monômio é uma expressão algébrica com um termo. Um monômio em uma variável é um termo da forma$ax^m$, onde$a$ é uma constante e$m$ é um número inteiro.

Um monômio, ou dois ou mais monômios combinados por adição ou subtração, é um polinômio. Alguns polinômios têm nomes especiais, com base no número de termos. Um monômio é um polinômio com exatamente um termo. Um binômio tem exatamente dois termos e um trinômio tem exatamente três termos. Não há nomes especiais para polinômios com mais de três termos.

Definição: POLINÔMIOS

polinômio — Um monômio, ou dois ou mais termos algébricos combinados por adição ou subtração, é um polinômio.
monomial — Um polinômio com exatamente um termo é chamado de monômio.
binomial — Um polinômio com exatamente dois termos é chamado de binomial.
trinomial — Um polinômio com exatamente três termos é chamado de trinômio.

Aqui estão alguns exemplos de polinômios.

Polinômio	$y+1$	$4a^2−7ab+2b^2$	$4x^4+x^3+8x^2−9x+1$
Monômio	$14$	$8y^2$	$−9x^3y^5$	$−13a^3b^2c$
Binomial	$a+7ba+7b$	$4x^2−y^2$	$y^2−16$	$3p^3q−9p^2q$
Trinomial	$x^2−7x+12$	$9m^2+2mn−8n^2$	$6k^4−k^3+8k$	$z^4+3z^2−1$

Observe que todo monômio, binomial e trinomial também é um polinômio. Eles são apenas membros especiais da “família” de polinômios e, portanto, têm nomes especiais. Usamos as palavras monomial, binomial e trinomial quando nos referimos a esses polinômios especiais e apenas chamamos todos os demais polinômios.

O grau de um polinômio e o grau de seus termos são determinados pelos expoentes da variável. Um monômio que não tem variável, apenas uma constante, é um caso especial. O grau de uma constante é 0.

Definição: GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um termo é a soma dos expoentes de suas variáveis.
O grau de uma constante é 0.
O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

Vamos ver como isso funciona examinando vários polinômios. Vamos fazer isso passo a passo, começando com monômios e depois progredindo para polinômios com mais termos. Vamos começar examinando um monômio. O monômio$8ab^2$ tem duas variáveis$a$$b$ e. Para encontrar o grau, precisamos encontrar a soma dos expoentes. A variável a não tem um expoente escrito, mas lembre-se de que isso significa que o expoente é 1. O expoente de$b$ é 2. A soma dos expoentes, 1+2,1+2, é 3, então o grau é 3.

$CNX_IntAlg_Figure_05_01_001_img_new.jpg$

Aqui estão alguns exemplos adicionais.

$CNX_IntAlg_Figure_05_01_002_img_new.jpg$

Trabalhar com polinômios é mais fácil quando você lista os termos em ordem decrescente de graus. Quando um polinômio é escrito dessa forma, diz-se que ele está na forma padrão de um polinômio. Adquira o hábito de escrever primeiro o termo com o grau mais alto.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

$7y2−5y+3$
$−2a^4b^2$
$3x5−4x3−6x2+x−8$
$2y−8xy^3$
$15$

Resposta

	Polinômio	Número de termos	Tipo	Grau de termos	Grau de polinômio
ⓐ	$7y^2−5y+3$	3	Trinomial	2, 1, 0	2
ⓑ	$−2a^4b^2−2a^4b^2$	1	Monômio	4, 2	6
ⓒ	$3x5−4x3−6x2+x−8$	5	Polinômio	5, 3, 2, 1, 0	5
ⓓ	$2y−8xy^3$	2	Binomial	1, 4	4
ⓔ	$15$	1	Monômio	0	0

Exemplo$\PageIndex{2}$

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

$−5$
$8y^3−7y^2−y−3$
$−3x^2y−5xy+9xy^3$
$81m^2−4n^2$
$−3x^6y^3z$

Responda a: monomial, 0
Resposta b: polinomial, 3
Resposta c: trinomial, 3
Resposta d: binomial, 2
Resposta b: monomial, 10

Exemplo$\PageIndex{3}$

Determine se cada polinômio é monomial, binomial, trinomial ou outro polinômio. Em seguida, encontre o grau de cada polinômio.

$64k^3−8$
$9m^3+4m^2−2$
$56$
$8a^4−7a^3b−6a^2b^2−4ab^3+7b^4$
$-p^4q^3$

Resposta: ⓐ binômio, 3 ⓑ trinômio, 3 ⓒ monômio, 0 ⓓ polinômio, 4 ⓔ monômio, 7

Adicionar e subtrair polinômios

Aprendemos como simplificar expressões combinando termos semelhantes. Lembre-se de que termos semelhantes devem ter as mesmas variáveis com o mesmo expoente. Como monômios são termos, adicionar e subtrair monômios é o mesmo que combinar termos semelhantes. Se os monômios são como termos, nós apenas os combinamos somando ou subtraindo os coeficientes.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Adicione ou subtraia:

$25y^2+15y^2$
$16pq^3−(−7pq^3)$.

Responda a: $ \begin{array} {ll} {} &{25y^2+15y^2} \\ {\text{Combine like terms.}} &{40y^2} \\ \end{array} \nonumber $
Resposta b: $ \begin{array} {ll} {} &{16pq^3−(−7pq^3)} \\ {\text{Combine like terms.}} &{23pq^3} \\ \end{array} \nonumber $

Exemplo$\PageIndex{5}$

Adicione ou subtraia:

$12q^2+9q^2$
$8mn^3−(−5mn^3)$.

Resposta: ⓐ$21q^2$ ⓑ$13mn^3$

Exemplo$\PageIndex{6}$

Adicione ou subtraia:

$−15c^2+8c^2$
$−15y^2z^3−(−5y^2z^3)$

Resposta: ⓐ$−7c^2$ ⓑ$−10y^2z^3$

Lembre-se de que termos semelhantes devem ter as mesmas variáveis com os mesmos expoentes.

Exemplo$\PageIndex{7}$

Simplifique:

$a^2+7b^2−6a^2$
$u^2v+5u^2−3v^2$

Resposta

ⓐ Combine termos semelhantes.

$a^2+7b^2−6a^2 \;=\; −5a^2+7b^2$

ⓑ Não há termos semelhantes para combinar. Nesse caso, o polinômio permanece inalterado.

$u^2v+5u^2−3v^2$

Exemplo$\PageIndex{8}$

Adicionar:

$8y^2+3z^2−3y^2$
$m^2n^2−8m^2+4n^2$

Resposta: ⓐ$5y^2+3z^2$
ⓑ$m^2n^2−8m^2+4n^2$

Exemplo$\PageIndex{9}$

Adicionar:

$3m^2+n^2−7m^2$
$pq^2−6p−5q^2$

Resposta: ⓐ$−4m^2+n^2$
ⓑ$pq^2−6p−5q^2$

Podemos pensar em adicionar e subtrair polinômios como apenas somar e subtrair uma série de monômios. Procure termos semelhantes — aqueles com as mesmas variáveis e o mesmo expoente. A propriedade comutativa nos permite reorganizar os termos para unir termos semelhantes.

Exemplo$\PageIndex{10}$

Encontre a soma:$(7y^2−2y+9)\;+\;(4y^2−8y−7)$.

Resposta: \ (\ begin {align*} &\ text {Identifique termos semelhantes.} & & (\ underline {\ underline {7y^2}} −\ underline {2y} +9) + (\ underline {\ underline {4y^2}} −\ underline {8y} −7)\\ [6pt]
&\ text {Reescreva sem os parênteses,}\\
&\ text {reorganizando para reunir os termos semelhantes.} & &\ underline {\ underline {7y^2+4y^2}} −\ underline {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
&\ text {Combine termos semelhantes.} & & 11y^2−10y+2\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{11}$

Encontre a soma:$ (7x^2−4x+5)\;+\;(x^2−7x+3)$

Resposta: $8x^2−11x+8$

Exemplo$\PageIndex{12}$

Encontre a soma:$(14y^2+6y−4)\;+\;(3y^2+8y+5)$

Resposta: $17y^2+14y+1$

Tenha cuidado com os sinais ao distribuir ao subtrair os polinômios no próximo exemplo.

Exemplo$\PageIndex{13}$

Descubra a diferença:$(9w^2−7w+5)\;−\;(2w^2−4)$

Resposta: \ (\ begin {align*} & & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
&\ text {Distribua e identifique termos semelhantes.} & &\ underline {\ underline {9w^2}} −\ underline {7w} +5-\ underline {\ underline {2w^2}} +4\\ [6pt]
&\ text {Reorganize os termos.} & &\ underline {\ underline {9w^2-2w^2}} −\ underline {7w} +5+4\\ [6pt]
&\ text {Combine termos semelhantes.} & & 7w^2−7w+9\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{14}$

Descubra a diferença:$(8x^2+3x−19)\;−\;(7x^2−14)$

Resposta: $x^2+3x−5$

Exemplo$\PageIndex{15}$

Descubra a diferença:$(9b^2−5b−4)\;−\;(3b^2−5b−7)$

Responda: $6b^2+3$

Exemplo$\PageIndex{16}$

Subtraia$(p^2+10pq−2q^2)$ de$(p^2+q^2)$.

Responda: \ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
&\ text {Distribua e identifique termos semelhantes.} & &\ underline {\ underline {p^2}} +\ underline {q^2} -\ underline {\ underline {p^2}} -10pq +\ underline {2q^2}\\ [6pt]
&\ text {Reorganize os termos, juntando termos semelhantes.} & &\ underline {\ underline {p^2-p^2}} −10pq +\ underline {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
&\ text {Combine termos semelhantes.} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{17}$

Subtrair$(a^2+5ab−6b^2)$ de$(a^2+b^2)$

Responda: $−5ab+7b^2$

Exemplo$\PageIndex{18}$

Subtraia$(m^2−7mn−3n^2)$ de$(m^2+n^2)$.

Responda: 7 mm+4 n^2

Exemplo$\PageIndex{19}$

Encontre a soma:$(u^2−6uv+5v^2)\;+\;(3u^2+2uv)$

Responda: \ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
&\ text {Distribua e identifique termos semelhantes.} & &\ underline {\ underline {u^2}} -\ underline {6uv} +5v^2+\ underline {\ underline {3u^2}} +\ underline {2uv}\ [6pt]
&\ text {Reorganize os termos para unir termos iguais.} & &\ underline {\ underline {u^2}} +\ underline {\ underline {3u^2}} -\ underline {6uv} +\ underline {2uv} +5v^2\\ [6pt]
&\ text {Combine termos semelhantes.} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{20}$

Encontre a soma:$(3x^2−4xy+5y^2)\;+\;(2x^2−xy)$

Responda: $5x^2−5xy+5y^2$

Exemplo$\PageIndex{21}$

Encontre a soma:$(2x^2−3xy−2y^2)\;+\;(5x^2−3xy)$

Responda

$7x^2−6xy−2y^2$

Quando somamos e subtraímos mais de dois polinômios, o processo é o mesmo.

Exemplo$\PageIndex{22}$

Simplifique:$(a^3−a^2b)\;−\;(ab^2+b^3)\;+\;(a^2b+ab^2)$

Responda: \ (\ begin {align*} & & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
&\ text {Distribuir} & & & & a^3−a^2b − ab^2 - b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
&\ text {Reorganize os termos para juntá-los.} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2 - b^3\\ [6pt]
&\ text {Combine termos semelhantes.} & a^3−b^3\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{23}$

Simplifique:$(x^3−x^2y)\;−\;(xy^2+y^3)\;+\;(x^2y+xy^2)$

Responda: $x^3+y^3$

Exemplo$\PageIndex{24}$

Simplifique:$(p^3−p^2q)\;+\;(pq^2+q^3)\;−\;(p^2q+pq^2)$

Responda: $p^3−3p^2q+q^3$

Calcule uma função polinomial para um determinado valor

Uma função polinomial é uma função definida por um polinômio. Por exemplo,$f(x)=x^2+5x+6$ e$g(x)=3x−4$ são funções polinomiais, porque$x^2+5x+6$ e$3x−4$ são polinômios.

Definição: FUNÇÃO POLINOMIAL

Uma função polinomial é uma função cujos valores de intervalo são definidos por um polinômio.

Em Gráficos e Funções, onde introduzimos funções pela primeira vez, aprendemos que avaliar uma função significa encontrar o valor de$f(x)$ para um determinado valor de$x$. Para avaliar uma função polinomial, substituiremos o valor dado pela variável e depois simplificaremos usando a ordem das operações.

Exemplo$\PageIndex{25}$

Para a função,$f(x)=5x^2−8x+4$ localize:

$f(4)$
$f(−2)$
$f(0)$.

Responda

ⓐ

	$.$
$.$	$.$
Simplifique os expoentes.	$.$
Multiplique.	$.$
Simplifique.	$.$

ⓑ

	$.$
$.$	$.$
Simplifique os expoentes.	$.$
Multiplique.	$.$
Simplifique.	$.$

ⓒ

	$.$
$.$	$.$
Simplifique os expoentes.	$.$
Multiplique.	$.$

Exemplo$\PageIndex{26}$

Para a função$f(x)=3x^2+2x−15$, encontre

$f(3)$
$f(−5)$
$f(0)$.

Responda: ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ$−15$

Exemplo$\PageIndex{27}$

Para a função$g(x)=5x^2−x−4$, encontre

$g(−2)$
$g(−1)$
$g(0)$.

As funções polinomiais semelhantes às do próximo exemplo são usadas em muitos campos para determinar a altura de um objeto em algum momento após ele ser projetado no ar. O polinômio na próxima função é usado especificamente para soltar algo de 250 pés.

Exemplo$\PageIndex{28}$

A função polinomial$h(t)=−16t^2+250$ fornece a altura de uma bola t segundos após ela cair de um prédio de 250 pés de altura. Encontre a altura após$t=2$ alguns segundos.

Responda: $ \begin{array} {ll} {} &{h(t)=−16t^2+250} \\ {} &{} \\ {\text{To find }h(2)\text{, substitute }t=2.} &{h(2)=−16(2)^2+250} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−16·4+250} \\ {} &{}\\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−64+250} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=186} \\ {} &{\text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.}} \\ \end{array} \nonumber $

Exemplo$\PageIndex{29}$

A função polinomial$h(t)=−16t^2+150$ dá a altura de uma pedra t segundos depois de cair de um penhasco de 150 pés de altura. Encontre a altura após$t=0$ segundos (a altura inicial do objeto).

Responda: A altura é de$150$ pés.

Exemplo$\PageIndex{30}$

A função polinomial$h(t)=−16t^2+175$ fornece a altura de uma bola t segundos após ela cair de uma ponte de 175 pés de altura. Encontre a altura após$t=3$ alguns segundos.

Responda: A altura é de$31$ pés.

Adicionar e subtrair funções polinomiais

Assim como os polinômios podem ser adicionados e subtraídos, as funções polinomiais também podem ser adicionadas e subtraídas.

Definição: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS

Para funções$f(x)$ e$g(x)$,

\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\]

\[(f−g)(x)=f(x)−g(x)\]

Exemplo$\PageIndex{31}$

Para funções$f(x)=3x^2−5x+7$ e$g(x)=x^2−4x−3$, encontre:

$(f+g)(x)$
$(f+g)(3)$
$(f−g)(x)$
$(f−g)(−2)$.

Responda

ⓐ

	$.$
$.$	$.$
Reescreva sem os parênteses.	$.$
Junte termos semelhantes.	$.$
Combine termos semelhantes.	$.$

ⓑ Na parte (a) encontramos$(f+g)(x)$ e agora somos convidados a encontrar$(f+g)(3)$.

$ \begin{array} {ll} {} &{(f+g)(x)=4x^2−9x+4} \\ {} &{} \\ {\text{To find }(f+g)\space(3),\text{ substitute }x=3.} &{(f+g)(3)=4(3)^2−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=4·9−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=36−27+4} \\ \end{array} \nonumber $

Observe que poderíamos ter descoberto$(f+g)(3)$ primeiro encontrando os valores de$f(3)$ e$g(3)$ separadamente e depois adicionando os resultados.

Encontre$f(3)$.	$.$
	$.$
	$.$
Encontre$g(3)$.	$.$
	$.$
	$.$
Encontre$(f+g)(3)$.	$.$
	$.$
$.$	$.$
	$.$

ⓒ

	$.$
$.$	$.$
Reescreva sem os parênteses.	$.$
Junte termos semelhantes.	$.$
Combine termos semelhantes.	$.$

ⓓ

$.$

Exemplo$\PageIndex{32}$

Responda

ⓐ$(f+g)(x)=3x^2−6x−3$

ⓑ$(f+g)(3)=6$

ⓓ$(f−g)(−2)=17$

Exemplo$\PageIndex{33}$

Responda

ⓐ$(f+g)(x)=6x^2−x+7$

ⓑ$(f+g)(3)=58$

ⓓ$(f−g)(−2)=21$

Acesse este recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com adição e subtração de polinômios.

Adicionando e subtraindo polinômios

Conceitos chave

Monômio
- Um monômio é uma expressão algébrica com um termo.
- Um monômio em uma variável é um termo na forma axm, axm, onde a é uma constante e m é um número inteiro.
Polinômios
- Polinômio — Um monômio, ou dois ou mais termos algébricos combinados por adição ou subtração, é um polinômio.
- monomial — Um polinômio com exatamente um termo é chamado de monômio.
- binomial — Um polinômio com exatamente dois termos é chamado de binomial.
- trinomial — Um polinômio com exatamente três termos é chamado de trinômio.
Grau de um polinômio
- O grau de um termo é a soma dos expoentes de suas variáveis.
- O grau de uma constante é 0.
- O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

Glossário

binomial: Um binômio é um polinômio com exatamente dois termos.

grau de uma constante: O grau de qualquer constante é 0.

grau de um polinômio: O grau de um polinômio é o grau mais alto de todos os seus termos.

grau de um termo: O grau de um termo é a soma dos expoentes de suas variáveis.

monomial: Um monômio é uma expressão algébrica com um termo. Um monômio em uma variável é um termo na forma axm, axm, onde a é uma constante e m é um número inteiro.

polinomial: Um monômio ou dois ou mais monômios combinados por adição ou subtração é um polinômio.

forma padrão de um polinômio: Um polinômio está na forma padrão quando os termos de um polinômio são escritos em ordem decrescente de graus.

trinomial: Um trinômio é um polinômio com exatamente três termos.

função polinomial: Uma função polinomial é uma função cujos valores de intervalo são definidos por um polinômio.

Polinômio	\(y+1\)	\(4a^2−7ab+2b^2\)	\(4x^4+x^3+8x^2−9x+1\)
Monômio	\(14\)	\(8y^2\)	\(−9x^3y^5\)	\(−13a^3b^2c\)
Binomial	\(a+7ba+7b\)	\(4x^2−y^2\)	\(y^2−16\)	\(3p^3q−9p^2q\)
Trinomial	\(x^2−7x+12\)	\(9m^2+2mn−8n^2\)	\(6k^4−k^3+8k\)	\(z^4+3z^2−1\)

Definição: MONOMIAL

Definição: POLINÔMIOS

Definição: GRAU DE UM POLINÔMIO

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Exemplo\(\PageIndex{9}\)

Exemplo\(\PageIndex{10}\)

Exemplo\(\PageIndex{11}\)

Exemplo\(\PageIndex{12}\)

Exemplo\(\PageIndex{13}\)

Exemplo\(\PageIndex{14}\)

Exemplo\(\PageIndex{15}\)

Exemplo\(\PageIndex{16}\)

Exemplo\(\PageIndex{17}\)

Exemplo\(\PageIndex{18}\)

Exemplo\(\PageIndex{19}\)

Exemplo\(\PageIndex{20}\)

Exemplo\(\PageIndex{21}\)

Exemplo\(\PageIndex{22}\)

Exemplo\(\PageIndex{23}\)

Exemplo\(\PageIndex{24}\)

Definição: FUNÇÃO POLINOMIAL

Exemplo\(\PageIndex{25}\)

Exemplo\(\PageIndex{26}\)

Exemplo\(\PageIndex{27}\)

Exemplo\(\PageIndex{28}\)

Exemplo\(\PageIndex{29}\)

Exemplo\(\PageIndex{30}\)

Definição: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FUNÇÕES POLINOMIAIS

Exemplo\(\PageIndex{31}\)

Exemplo\(\PageIndex{32}\)

Exemplo\(\PageIndex{33}\)

	Polinômio	Número de termos	Tipo	Grau de termos	Grau de polinômio
ⓐ	\(7y^2−5y+3\)	3	Trinomial	2, 1, 0	2
ⓑ	\(−2a^4b^2−2a^4b^2\)	1	Monômio	4, 2	6
ⓒ	\(3x5−4x3−6x2+x−8\)	5	Polinômio	5, 3, 2, 1, 0	5
ⓓ	\(2y−8xy^3\)	2	Binomial	1, 4	4
ⓔ	\(15\)	1	Monômio	0	0

Encontre\(f(3)\).	$.$
	$.$
	$.$
Encontre\(g(3)\).	$.$
	$.$
	$.$
Encontre\((f+g)(3)\).	$.$
	$.$
$.$	$.$
	$.$