1.2: Use a linguagem da álgebra
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- 183355
Ao final desta seção, você poderá:
- Encontre fatores, fatorizações primárias e múltiplos menos comuns
- Use variáveis e símbolos algébricos
- Simplifique as expressões usando a ordem das operações
- Avalie uma expressão
- Identifique e combine termos semelhantes
- Traduzir uma frase em inglês para uma expressão algébrica
Este capítulo pretende ser uma breve revisão dos conceitos que serão necessários em um curso de Álgebra Intermediária. Uma introdução mais completa aos tópicos abordados neste capítulo pode ser encontrada no capítulo Álgebra Elementar, Fundamentos.
Encontre fatores, fatorizações primárias e múltiplos menos comuns
Os números 2, 4, 6, 8, 10, 12 são chamados de múltiplos de 2. Um múltiplo de 2 pode ser escrito como o produto de um número de contagem e 2.
Da mesma forma, um múltiplo de 3 seria o produto de um número de contagem e 3.
Podemos encontrar os múltiplos de qualquer número continuando esse processo.
| Número de contagem | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Múltiplos de 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| Múltiplos de 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| Múltiplos de 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| Múltiplos de 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| Múltiplos de 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| Múltiplos de 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| Múltiplos de 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| Múltiplos de 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
Um número é um múltiplo de\(n\) se for o produto de um número de contagem\(n\) e.
Outra forma de dizer que 15 é múltiplo de 3 é dizer que 15 é divisível por 3. Isso significa que quando dividimos 3 em 15, obtemos um número de contagem. Na verdade,\(15÷3\) é\(5\), assim\(15\) é\(5⋅3\).
Se um número\(m\) for múltiplo de\(n\), então\(m\) é divisível por\(n\).
Se procurássemos padrões nos múltiplos dos números de 2 a 9, descobriríamos os seguintes testes de divisibilidade:
Um número é divisível por:
- 2 se o último dígito for 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 3 se a soma dos dígitos for divisível por 3.
- 5 se o último dígito for 5 ou 0.
- 6 se for divisível por 2 e 3.
- 10 se terminar com 0.
É 5.625 divisível por
- 2?
- 3?
- 5 ou 10?
- 6?
- Resposta
-
uma.
\(\text{Is 5,625 divisible by 2?}\)
\( \begin{array}{ll} \text{Does it end in 0, 2, 4, 6 or 8?} & {\text{No.} \\ \text{5,625 is not divisible by 2.}} \end{array}\) - b.
\(\text{5,625 divisible by 3?}\)
\(\begin{array}{ll} {\text{What is the sum of the digits?} \\ \text{Is the sum divisible by 3?}} & {5+6+2+5=18 \\ \text{Yes.} \\ \text{5,625 is divisible by 3.}}\end{array}\) - c.
\(\text{Is 5,625 divisible by 5 or 10?}\)
\(\begin{array}{ll} \text{What is the last digit? It is 5.} & \text{5,625 is divisible by 5 but not by 10.} \end{array}\)d.\(\text{Is 5,625 divisible by 6?}\)
\(\begin{array}{ll}\text{Is it divisible by both 2 and 3?} & {\text{No, 5,625 is not divisible by 2, so 5,625 is} \\ \text{not divisible by 6.}} \end{array}\)
4.962 é divisível por a. 2? b. 3? c. 5? d. 6? e. 10?
- Resposta
-
a. sim b. sim c. não d. sim e. não
3.765 é divisível por a. 2? b. 3? c. 5? d. 6? e. 10?
- Resposta
-
a. não b. sim c. sim d. não e. não
Em matemática, muitas vezes há várias maneiras de falar sobre as mesmas ideias. Até agora, vimos que se\(m\) for um múltiplo de\(n\), podemos dizer que\(m\) é divisível por\(n\). Por exemplo, como 72 é um múltiplo de 8, dizemos que 72 é divisível por 8. Como 72 é um múltiplo de 9, dizemos que 72 é divisível por 9. Podemos expressar isso ainda de outra forma.
\(8·9=72\)Pois, dizemos que 8 e 9 são fatores de 72. Quando escrevemos\(72=8·9\), dizemos que fatoramos 72.
Outras formas de fatorar\(72\) são\(1·72, \; 2·36, \; 3·24, \; 4·18,\)\(6⋅12\) e. O número 72 tem muitos fatores:\(1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9,\,12,\,18,\,24,\,36,\)\(72\) e.
Se\(a\) e\(b\) estão contando números, e\(a·b=m\), então\(a\) e\(b\) são fatores de\(m\).
Alguns números, como 72, têm muitos fatores. Outros números têm apenas dois fatores. Um número primo é um número de contagem maior que 1 cujos únicos fatores são 1 e ele próprio.
Um número primo é um número de contagem maior que 1 cujos únicos fatores são 1 e o próprio número.
Um número composto é um número de contagem que não é primo. Um número composto tem fatores diferentes de 1 e o próprio número.
Os números de contagem de 2 a 20 estão listados na tabela com seus fatores. Certifique-se de concordar com o rótulo “principal” ou “composto” para cada um!
Os números primos menores que 20 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Observe que o único número primo par é 2.
Um número composto pode ser escrito como um produto exclusivo de números primos. Isso é chamado de fatoração primária do número. Encontrar a fatoração primária de um número composto será útil em muitos tópicos deste curso.
A fatoração primária de um número é o produto de números primos que é igual ao número.
Para encontrar a fatoração primária de um número composto, encontre quaisquer dois fatores do número e use-os para criar duas ramificações. Se um fator for primo, essa ramificação estará completa. Circule esse primo. Caso contrário, é fácil perder o controle dos números primos.
Se o fator não for primo, encontre dois fatores do número e continue o processo. Depois que todos os ramos tiverem circulado números primos no final, a fatoração estará concluída. O número composto agora pode ser escrito como um produto de números primos.
Fator 48.
- Resposta
-
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Dizemos que\(2⋅2⋅2⋅2⋅3\) é a fatoração primária de 48. Geralmente escrevemos os números primos em ordem crescente. Certifique-se de multiplicar os fatores para verificar sua resposta. \(2⋅2⋅2⋅2⋅3\)é a fatoração primária de 48. Geralmente escrevemos os números primos em ordem crescente. Certifique-se de multiplicar os fatores para verificar sua resposta.
Se primeiro fatorássemos 48 de uma maneira diferente, por exemplo\(6·8\), o resultado ainda seria o mesmo. Conclua a fatoração primária e verifique isso por si mesmo.
Encontre a fatoração primária de\(80\).
- Resposta
-
\(2⋅2⋅2⋅2⋅5\)
Encontre a fatoração primária de\(60\).
- Resposta
-
\(2⋅2⋅3⋅5\)
- Encontre dois fatores cujo produto é o número fornecido e use esses números para criar duas ramificações.
- Se um fator for primo, essa ramificação estará completa. Circule o primo, como uma folha na árvore.
- Se um fator não for primo, escreva-o como produto de dois fatores e continue o processo.
- Escreva o número composto como o produto de todos os números primos circulados.
Uma das razões pelas quais analisamos números primos é usar essas técnicas para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números. Isso será útil quando somarmos e subtrairmos frações com denominadores diferentes.
O mínimo múltiplo comum (LCM) de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos os números.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números, usaremos o Método dos Fatores Primos. Vamos encontrar o LCM de 12 e 18 usando seus fatores primos.
Encontre o mínimo múltiplo comum (LCM) de 12 e 18 usando o método dos fatores primos.
- Resposta
-
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Observe que os fatores primos de 12\((2·2·3)\) e os fatores primos de 18\((2⋅3⋅3)\) estão incluídos no LCM\((2·2·3·3)\). Portanto, 36 é o múltiplo menos comum de 12 e 18.
Ao combinar os números primos comuns, cada fator primo comum é usado apenas uma vez. Dessa forma, você tem certeza de que 36 é o múltiplo menos comum.
Encontre o LCM de 9 e 12 usando o Método de Fatores Primos.
- Resposta
-
36
Encontre o LCM de 18 e 24 usando o Método de Fatores Primos.
- Resposta
-
72
- Escreva cada número como um produto de números primos.
- Liste os números primos de cada número. Combine números primos verticalmente quando possível.
- Derrube as colunas.
- Multiplique os fatores.
Use variáveis e símbolos algébricos
Em álgebra, usamos uma letra do alfabeto para representar um número cujo valor pode mudar. Chamamos isso de variável e as letras comumente usadas para variáveis são\(x,\,y,\,a,\,b,\) e\(c.\)
Uma variável é uma letra que representa um número cujo valor pode mudar.
Um número cujo valor permanece sempre o mesmo é chamado de constante.
Uma constante é um número cujo valor sempre permanece o mesmo.
Para escrever algebricamente, precisamos de alguns símbolos de operação, bem como números e variáveis. Existem vários tipos de símbolos que usaremos. Há quatro operações aritméticas básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Listaremos os símbolos usados para indicar essas operações abaixo.
| Operação | Notação | Diga: | O resultado é... |
|---|---|---|---|
| Adição | \(a+b\) | \(a\)mais\(b\) | a soma de\(a\) e\(b\) |
| Subtração | \(a−b\) | \(a\)menos\(b\) | a diferença de\(a\) e\(b\) |
| Multiplicação | \(a⋅b,\,ab,\,(a)(b),\,(a)b,\,a(b)\) | \(a\)vezes\(b\) | o produto de\(a\) e\(b\) |
| Divisão | \(a÷b,\,\space a/b,\,\space\frac{a}{b},\,\space b \overline{\smash{)}a}\) | \(a\)dividido por\(b\) | o quociente de\(a\) e\(b\); \(a\) é chamado de dividendo e\(b\) é chamado de divisor |
Quando duas quantidades têm o mesmo valor, dizemos que são iguais e as conectamos com um sinal de igual.
\(a=b\)é lido como “\(a\)é igual a”\(b\).
O símbolo “\(=\)” é chamado de sinal de igual.
Na reta numérica, os números aumentam à medida que vão da esquerda para a direita. A reta numérica pode ser usada para explicar os símbolos “\(<\)” e “\(>\)”.
As expressões\(a<b\) ou\(a>b\) podem ser lidas da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, embora em inglês geralmente lemos da esquerda para a direita. Em geral,
\[a<b \text{ is equivalent to }b>a. \text{For example, } 7<11 \text{ is equivalent to }11>7.\]
\[a>b \text{ is equivalent to }b<a. \text{For example, } 17>4 \text{ is equivalent to }4<17.\]
| Símbolos de desigualdade | Palavras |
|---|---|
| \(a\neq b\) | \(a\)não é igual\(b\) a. |
| \(a<b\) | \(a\)é menor que\(b\). |
| \(a\leq b\) | \(a\)é menor ou igual\(b\) a. |
| \(a>b\) | \(a\)é maior do que\(b\). |
| \(a\geq b\) | \(a\)é maior ou igual\(b\) a. |
Os símbolos de agrupamento em álgebra são muito parecidos com vírgulas, dois pontos e outros sinais de pontuação em inglês. Eles ajudam a identificar uma expressão, que pode ser composta por um número, uma variável ou uma combinação de números e variáveis usando símbolos de operação. Vamos apresentar três tipos de símbolos de agrupamento agora.
\[\begin{array}{lc} \text{Parentheses} & \mathrm{()} \\ \text{Brackets} & \mathrm{[]} \\ \text{Braces} & \mathrm{ \{ \} } \end{array}\]
Aqui estão alguns exemplos de expressões que incluem símbolos de agrupamento. Simplificaremos expressões como essas posteriormente nesta seção.
\[8(14−8) \qquad 21−3[2+4(9−8)] \qquad 24÷ \{13−2[1(6−5)+4]\}\]
Qual é a diferença em inglês entre uma frase e uma frase? Uma frase expressa um único pensamento que é incompleto por si só, mas uma frase faz uma declaração completa. Uma frase tem um sujeito e um verbo. Em álgebra, temos expressões e equações.
Uma expressão é um número, uma variável ou uma combinação de números e variáveis usando símbolos de operação.
\[\begin{array}{lll} \textbf{Expression} & \textbf{Words} & \textbf{English Phrase} \\ \mathrm{3+5} & \text{3 plus 5} & \text{the sum of three and five} \\ \mathrm{n−1} & n\text{ minus one} & \text{the difference of } n \text{ and one} \\ \mathrm{6·7} & \text{6 times 7} & \text{the product of six and seven} \\ \frac{x}{y} & x \text{ divided by }y & \text{the quotient of }x \text{ and }y \end{array} \]
Observe que as frases em inglês não formam uma frase completa porque a frase não tem um verbo.
Uma equação são duas expressões ligadas por um sinal de igual. Quando você lê as palavras que os símbolos representam em uma equação, você tem uma frase completa em inglês. O sinal de igual dá o verbo.
Uma equação são duas expressões conectadas por um sinal de igual.
\[\begin{array}{ll} \textbf{Equation} & \textbf{English Sentence} \\ 3+5=8 & \text{The sum of three and five is equal to eight.} \\ n−1=14 & n \text{ minus one equals fourteen.} \\ 6·7=42 & \text{The product of six and seven is equal to forty-two.} \\ x=53 & x \text{ is equal to fifty-three.} \\ y+9=2y−3 & y \text{ plus nine is equal to two } y \text{ minus three.} \end{array}\]
Suponha que precisemos multiplicar 2 nove vezes. Poderíamos escrever isso como\(2·2·2·2·2·2·2·2·2\). Isso é entediante e pode ser difícil acompanhar todos esses 2s, então usamos expoentes. Nós escrevemos\(2·2·2\) como\(\mathrm{2^3}\) e\(2·2·2·2·2·2·2·2·2\) como\(2^9\). Em expressões como\(2^3\), o 2 é chamado de base e o 3 é chamado de expoente. O expoente nos diz quantas vezes precisamos multiplicar a base.
Dizemos que\(2^3\) está em notação exponencial e\(2·2·2\) está em notação expandida.
\(a^n\)significa multiplicar\(n\) fatores do número\(a\).
A expressão\(a^n\) é lida\(a\) ao\(n^{th}\) poder.
\(a^n\)Enquanto lemos “sobre\(“a\) o\(n^{th}\) poder”, geralmente lemos:
\[\begin{array}{cc} a^2 & “a \text{ squared}” \\ a^3 & “a \text{ cubed}” \end{array}\]
Veremos mais tarde o porquê\(a^2\) e\(a^3\) teremos nomes especiais.
A tabela mostra como lemos algumas expressões com expoentes.
| Expressão | Em palavras | |
|---|---|---|
| 7 2 | 7 elevado à segunda potência ou | 7 ao quadrado |
| 5 3 | 5 elevado à terceira potência ou | 5 ao cubo |
| 9 4 | 9 elevado à quarta potência | |
| 12 5 | 12 elevado à quinta potência |
Simplifique as expressões usando a ordem das operações
Simplificar uma expressão significa fazer todas as contas possíveis. Por exemplo, para simplificar, primeiro\(\mathrm{4·2+1}\) multiplicaríamos\(\mathrm{4⋅2}\) para obter 8 e depois somaríamos 1 para obter 9. Um bom hábito a ser desenvolvido é trabalhar ao longo da página, escrevendo cada etapa do processo abaixo da etapa anterior. O exemplo que acabamos de descrever ficaria assim:
\[ 4⋅2+1 \\ 8+1 \\ 9\]
Ao não usar um sinal de igual ao simplificar uma expressão, você pode evitar confundir expressões com equações.
Para simplificar uma expressão, faça todas as operações na expressão.
Introduzimos a maioria dos símbolos e notações usados na álgebra, mas agora precisamos esclarecer a ordem das operações. Caso contrário, as expressões podem ter significados diferentes e podem resultar em valores diferentes.
Por exemplo, considere a expressão\(4+3⋅7\). Alguns estudantes simplificam isso obtendo 49, somando\(4+3\) e multiplicando esse resultado por 7. Outros obtêm 25, multiplicando\(3·7\) primeiro e depois somando 4.
A mesma expressão deve dar o mesmo resultado. Então, os matemáticos estabeleceram algumas diretrizes que são chamadas de ordem das operações.
- Parênteses e outros símbolos de agrupamento
- Simplifique todas as expressões dentro dos parênteses ou outros símbolos de agrupamento, trabalhando primeiro nos parênteses mais internos.
- Expoentes
- Simplifique todas as expressões com expoentes.
- Multiplicação e divisão
- Execute todas as multiplicações e divisões em ordem da esquerda para a direita. Essas operações têm a mesma prioridade.
- Adição e subtração
- Execute todas as adições e subtrações na ordem da esquerda para a direita. Essas operações têm a mesma prioridade.
Os alunos costumam perguntar: “Como vou me lembrar do pedido?” Aqui está uma maneira de ajudá-lo a se lembrar: pegue a primeira letra de cada palavra-chave e substitua a frase boba “Por favor, desculpe minha querida tia Sally”.
\[\begin{array}{ll} \text{Parentheses} & \text{Please} \\ \text{Exponents} & \text{Excuse} \\ \text{Multiplication Division} & \text{My Dear} \\ \text{Addition Subtraction} & \text{Aunt Sally} \end{array}\]
É bom que “M y D ear” ande juntos, pois isso nos lembra que minha multiplicação e minha divisão têm a mesma prioridade. Nem sempre fazemos multiplicação antes da divisão ou sempre fazemos divisão antes da multiplicação. Nós os fazemos em ordem da esquerda para a direita.
Da mesma forma, “Uma unidade é aliada” combina e nos lembra que uma adição e uma subtração também têm a mesma prioridade e as fazemos em ordem da esquerda para a direita.
Simplifique:\(18÷6+4(5−2)\).
- Resposta
-
Parênteses? Sim, subtraia primeiro. 
Expoentes? Não. Multiplicação ou divisão? Sim. Divida primeiro porque multiplicamos e dividimos da esquerda para a direita. 
Alguma outra multiplicação ou divisão? Sim. Multiplique. 
Alguma outra multiplicação da divisão? Não. Alguma adição ou subtração? Sim. Adicionar. 
Simplifique:\(30÷5+10(3−2).\)
- Resposta
-
16
Simplifique:\(70÷10+4(6−2).\)
- Resposta
-
23
Quando há vários símbolos de agrupamento, simplificamos primeiro os parênteses mais internos e trabalhamos para fora.
Simplifique:\(5+2^3+3[6−3(4−2)].\)
- Resposta
-
Há algum parêntese (ou outros símbolos de agrupamento)? Sim. 
Concentre-se nos parênteses que estão dentro dos colchetes. Subtrair. 
Continue dentro dos colchetes e multiplique. 
Continue dentro dos colchetes e subtraia. 
A expressão dentro dos colchetes não requer nenhuma simplificação adicional. Há algum expoente? Sim. Simplifique os expoentes 
Existe alguma multiplicação ou divisão? Sim. Multiplique. 
Existe alguma adição de subtração? Sim. Adicionar. 
Adicionar. 
Simplifique:\(9+5^3−[4(9+3)].\)
- Resposta
-
86
Simplifique:\(7^2−2[4(5+1)].\)
- Resposta
-
1
Avalie uma expressão
Nos últimos exemplos, simplificamos as expressões usando a ordem das operações. Agora vamos avaliar algumas expressões — novamente seguindo a ordem das operações. Avaliar uma expressão significa encontrar o valor da expressão quando a variável é substituída por um determinado número.
Avaliar uma expressão significa encontrar o valor da expressão quando a variável é substituída por um determinado número.
Para avaliar uma expressão, substitua esse número pela variável na expressão e, em seguida, simplifique a expressão.
Avalie quando\(x=4\): a.\(x^2\) b.\(3^x\)\(2x^2+3x+8\) c.
- Resposta
-
uma.
b.
Use a definição de expoente. 
Simplifique. 
c.
Use a definição de expoente. 
Simplifique. 
Siga a ordem das operações. .jpg)
Avalie quando\(x=3\), a.\(x^2\) b.\(4^x\)\(3x^2+4x+1\) c.
- Resposta
-
a. 9
b. 64
c. 40
Avalie quando\(x=6\), a.\(x^3\) b.\(2^x\)\(6x^2−4x−7\) c.
- Resposta
-
a. 216
b. 64
c. 185
Identifique e combine termos semelhantes
As expressões algébricas são compostas por termos. Um termo é uma constante ou o produto de uma constante e uma ou mais variáveis.
Um termo é uma constante ou o produto de uma constante e de uma ou mais variáveis.
Exemplos de termos são\(7,\,y,\,5x^2,\,9a,\)\(b^5\) e.
A constante que multiplica a variável é chamada de coeficiente.
O coeficiente de um termo é a constante que multiplica a variável em um termo.
Pense no coeficiente como o número na frente da variável. O coeficiente do termo\(3x\) é 3. Quando escrevemos\(x\), o coeficiente é 1, pois\(x=1⋅x\).
Alguns termos compartilham traços comuns. Quando dois termos são constantes ou têm a mesma variável e expoente, dizemos que são como termos.
Veja os 6 termos a seguir. Quais parecem ter características em comum?
\[5x \quad 7 \quad n^2 \quad 4 \quad 3x \quad 9n^2\]
Nós dizemos,
\(7\)e\(4\) são como termos.
\(5x\)e\(3x\) são como termos.
\(n^2\)e\(9n^2\) são como termos.
Termos que são constantes ou têm as mesmas variáveis elevadas às mesmas potências são chamados de termos semelhantes.
Se houver termos semelhantes em uma expressão, você pode simplificar a expressão combinando os termos semelhantes. Somamos os coeficientes e mantemos a mesma variável.
\[\begin{array}{lc} \text{Simplify.} & 4x+7x+x \\ \text{Add the coefficients.} & 12x \end{array}\]
Simplifique:\(2x^2+3x+7+x^2+4x+5\).
- Resposta
-
Simplifique:\(3x^2+7x+9+7x^2+9x+8\).
- Resposta
-
\(10x^2+16x+17\)
Simplifique:\(4y^2+5y+2+8y^2+4y+5.\)
- Resposta
-
\(12y^2+9y+7\)
- Identifique termos semelhantes.
- Reorganize a expressão de forma que os termos estejam juntos.
- Adicione ou subtraia os coeficientes e mantenha a mesma variável para cada grupo de termos semelhantes.
Traduzir uma frase em inglês para uma expressão algébrica
Listamos muitos símbolos de operação usados em álgebra. Agora, vamos usá-los para traduzir frases em inglês em expressões algébricas. Os símbolos e variáveis sobre os quais falamos nos ajudarão a fazer isso. A tabela os resume.
| Operação | Frase | Expressão |
|---|---|---|
| Adição | \(a\)mais\(b\)
a soma de\(a\) e\(b\) \(a\)aumentado por\(b\) \(b\)mais do que\(a\) o total de\(a\) e\(b\) \(b\)adicionado a\(a\) |
\(a+b\) |
| Subtração | \(a\)menos\(b\)
a diferença de\(a\) e\(b\) \(a\)diminuído em\(b\) \(b\)menos do que\(a\) \(b\)subtraído de\(a\) |
\(a−b\) |
| Multiplicação | \(a\)vezes\(b\)
o produto de\(a\) e\(b\) duas vezes\(a\) |
\(a·b,\,ab,\,a(b),\,(a)(b)\)
\(2a\) |
| Divisão | \(a\)dividido por\(b\)
o quociente de\(a\) e\(b\) a proporção de\(a\) e\(b\) \(b\)dividido em\(a\) |
\(a÷b,\,a/b,\,\frac{a}{b},\,b \overline{\smash{)}a}\) |
Examine atentamente essas frases usando as quatro operações:
Cada frase nos diz que devemos operar em dois números. Procure as palavras de e e para encontrar os números.
Cada frase nos diz que devemos operar em dois números. Procure as palavras de e e para encontrar os números.
Traduza cada frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. a diferença de\(14x\) e\(9\)
b. o quociente de\(8y^2\) e\(3\)c. doze a mais de\(y\)
d. sete menos que\(49x^2\)
- Resposta
-
a. A palavra-chave é diferença, o que nos diz que a operação é subtração. Procure as palavras de e e t para encontrar os números a serem subtraídos.
b. A palavra-chave é quociente, o que nos diz que a operação é divisão.
c. As palavras-chave são mais do que. Eles nos dizem que a operação é um acréscimo. Mais do que significa “adicionado a”.
\[\text{twelve more than }y \\ \text{twelve added to }y \\ y+12\]
d. As palavras-chave são menores que. Eles nos dizem para subtrair. Menor que significa “subtraído de”.
\[\text{seven less than }49x^2 \\ \text{seven subtracted from }49x^2 \\ 49x^2−7\]
Traduza a frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. a diferença de\(14x^2\) e\(13\)
b. o quociente de\(12x\) e\(2\)
c.\(13\) mais de\(z\)
d.\(18\) menos de\(8x\)
- Resposta
-
a.\(14x^2−13\) b.\(12x÷2\)
c.\(z+13\) d.\(8x−18\)
Traduza a frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. a soma de\(17y^2\) e\(19\)
b. o produto de\(7\) e\(y\)
c. Mais de onze\(x\)
d. Quatorze menos que\(11a\)
- Resposta
-
a.\(17y^2+19\) b.\(7y\)
c.\(x+11\) d.\(11a−14\)
Examinamos cuidadosamente as palavras para nos ajudar a distinguir entre multiplicar uma soma e adicionar um produto.
Traduza a frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. oito vezes a soma de\(x\) e\(y\)
b. a soma de oito vezes\(x\) e\(y\)
- Resposta
-
Existem duas palavras de operação: o tempo nos diz para multiplicar e a soma nos diz para somar.
a. Como estamos\(8\) multiplicando pela soma, precisamos de parênteses ao redor da soma de\(x\) e\(y\),\((x+y)\). Isso nos força a determinar primeiro a soma. (Lembre-se da ordem das operações.)
\[\text{eight times the sum of }x \text{ and }y \\ 8(x+y)\]
b. Para fazer uma soma, procuramos as palavras de e e para ver o que está sendo adicionado. Aqui estamos tomando a soma de oito vezes\(x\)\(y\) e.
Traduza a frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. quatro vezes a soma de\(p\) e\(q\)
b. a soma de quatro vezes\(p\) e\(q\)
- Resposta
-
a.\(4(p+q)\) b.\(4p+q\)
Traduza a frase em inglês em uma expressão algébrica:
a. a diferença de duas vezes\(x\) e\(8\)
b. duas vezes a diferença de\(x\) e\(8\)
- Resposta
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a.\(2x−8\) b.\(2(x−8)\)
Posteriormente neste curso, aplicaremos nossas habilidades em álgebra para resolver aplicativos. O primeiro passo será traduzir uma frase em inglês para uma expressão algébrica. Veremos como fazer isso nos próximos dois exemplos.
O comprimento de um retângulo é 14 a menos que a largura. Vamos\(w\) representar a largura do retângulo. Escreva uma expressão para o comprimento do retângulo.
- Resposta
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\[\begin{array}{lc} \text{Write a phrase about the length of the rectangle.} & \text{14 less than the width} \\ \text{Substitute }w \text{ for “the width.”} & w \\ \text{Rewrite less than as subtracted from.} & \text{14 subtracted from } w \\ \text{Translate the phrase into algebra.} & w−14 \end{array}\]
O comprimento de um retângulo é 7 a menos que a largura. Vamos\(w\) representar a largura do retângulo. Escreva uma expressão para o comprimento do retângulo.
- Resposta
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\(w−7\)
A largura de um retângulo é\(6\) menor que o comprimento. Vamos\(l\) representar o comprimento do retângulo. Escreva uma expressão para a largura do retângulo.
- Resposta
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\(l−6\)
As expressões no próximo exemplo serão usadas nos problemas típicos de mistura de moedas que veremos em breve.
June tem moedas de dez centavos e moedas na bolsa. O número de moedas de dez centavos é sete a menos que quatro vezes o número de trimestres. Vamos\(q\) representar o número de trimestres. Escreva uma expressão para o número de moedas de dez centavos.
- Resposta
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\[\begin{array}{lc} \text{Write a phrase about the number of dimes.} & \text{7 less than 4 times }q \\ \text{Translate 4 times }q. & \text{7 less than 4}q \\ \text{Translate the phrase into algebra.} & 4q−7 \end{array}\]
Geoffrey tem moedas de dez centavos e moedas no bolso. O número de moedas de dez centavos é oito a menos que quatro vezes o número de trimestres. Vamos\(q\) representar o número de trimestres. Escreva uma expressão para o número de moedas de dez centavos.
- Resposta
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\(4q−8\)
Lauren tem moedas de dez centavos e moedas na bolsa. O número de moedas de dez centavos é três a mais do que sete vezes o número de níqueis. Vamos\(n\) representar o número de níqueis. Escreva uma expressão para o número de moedas de dez centavos.
- Resposta
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\(7n+3\)
Conceitos-chave
- Testes de divisibilidade
Um número é divisível por:
2 se o último dígito for 0, 2, 4, 6 ou 8.
3 se a soma dos dígitos for divisível por 3.
5 se o último dígito for 5 ou 0.
6 se for divisível por 2 e 3.
10 se terminar com 0. - Como encontrar a fatoração primária de um número composto.
- Encontre dois fatores cujo produto é o número fornecido e use esses números para criar duas ramificações.
- Se um fator for primo, essa ramificação estará completa. Circule o primo, como um broto na árvore.
- Se um fator não for primo, escreva-o como produto de dois fatores e continue o processo.
- Escreva o número composto como o produto de todos os números primos circulados.
- Como encontrar o múltiplo menos comum usando o método dos fatores primos.
- Escreva cada número como um produto de números primos.
- Liste os números primos de cada número. Combine números primos verticalmente quando possível.
- Derrube as colunas.
- Multiplique os fatores.
- O símbolo de igualdade
\(a=b\) é lido como “\(a\)é igual a”\(b\). O símbolo “=” é chamado de sinal de igual. - Símbolos de desigualdade
Símbolos de desigualdade Palavras \(a≠b\) \(a\)não é igual\(b\) a. \(a<b\) \(a\)é menor que\(b\). \(a≤b\) \(a\)é menor ou igual\(b\) a. \(a>b\) \(a\)é maior do que\(b\). \(a≥b\) \(a\)é maior ou igual \(b\)a. - Símbolos de agrupamento\(\begin{array}{lc} \text{Parentheses} & \mathrm{()} \\ \text{Brackets} & \mathrm{[]} \\ \text{Braces} & \mathrm{ \{ \} } \end{array}\)
- Notação exponencial\(a^n\) significa multiplicar \(a\)por si mesma, \(n\)vezes. A expressão an é lida \(a\)ao\(n^{th}\) poder.
- Simplifique uma expressão
Para simplificar uma expressão, faça todas as operações na expressão. - Como usar a ordem das operações.
- Parênteses e outros símbolos de agrupamento
- Simplifique todas as expressões dentro dos parênteses ou outros símbolos de agrupamento, trabalhando primeiro nos parênteses mais internos.
- Expoentes
- Simplifique todas as expressões com expoentes.
- Multiplicação e divisão
- Execute todas as multiplicações e divisões em ordem da esquerda para a direita. Essas operações têm a mesma prioridade.
- Adição e subtração
- Execute todas as adições e subtrações na ordem da esquerda para a direita. Essas operações têm a mesma prioridade.
- Parênteses e outros símbolos de agrupamento
- Como combinar termos semelhantes.
- Identifique termos semelhantes.
- Reorganize a expressão de forma que os termos estejam juntos.
- Adicione ou subtraia os coeficientes e mantenha a mesma variável para cada grupo de termos semelhantes.
Operação Frase Expressão Adição \(a\)mais \(b\)
a soma \(a\)e \(b\)
\(a\)aumentou em \(b\)
\(b\)mais de\(a\)
o total de \(a\)e \(b\)
\(b\)adicionado a\(a\)\(a+b\) Subtração \(a\)menos \(b\)
a diferença de\(a\) e \(b\)
\(a\)diminuiu em \(b\)
\(b\)menos de\(a\)
\(b\)subtraído de\(a\)\(a−b\) Multiplicação \(a\)vezes \(b\)
o produto de \(a\)e \(b\)
duas vezes\(a\)\(a·b,\,ab,\,a(b),\,(a)(b)\)
\(2a\)
Divisão \(a\)dividido por \(b\)
o quociente de \(a\)e \(b\)
a proporção de \(a\)e \(b\)
\(b\)dividido em\(a\)\(a÷b,\,a/b,\,\frac{a}{b},\,b \overline{\smash{)}a}\)
Glossário
- coeficiente
- O coeficiente de um termo é a constante que multiplica a variável em um termo.
- número composto
- Um número composto é um número de contagem que não é primo. Tem outros fatores além de 1 e o próprio número.
- constante
- Uma constante é um número cujo valor sempre permanece o mesmo.
- divisível por um número
- Se um número \(m\)for múltiplo de \(n\), então \(m\)é divisível por \(n\).
- equação
- Uma equação são duas expressões conectadas por um sinal de igual.
- avaliar uma expressão
- Avaliar uma expressão significa encontrar o valor da expressão quando as variáveis são substituídas por um determinado número.
- expressão
- Uma expressão é um número, uma variável ou uma combinação de números e variáveis usando símbolos de operação.
- fatores
- Se\(a·b=m\), então \(a\)e \(b\)são fatores de \(m\).
- múltiplo menos comum
- O mínimo múltiplo comum (LCM) de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos os números.
- termos semelhantes
- Termos que são constantes ou têm as mesmas variáveis elevadas às mesmas potências são chamados de termos semelhantes.
- múltiplo de um número
- Um número é um múltiplo de \(n\)se for o produto de um número de contagem \(n\)e.
- ordem das operações
- A ordem das operações é uma diretriz estabelecida para simplificar uma expressão.
- fatoração primária
- A fatoração primária de um número é o produto de números primos que é igual ao número.
- número primo
- Um número primo é um número de contagem maior que 1 cujos únicos fatores são 1 e o próprio número.
- simplificar uma expressão
- Simplificar uma expressão significa fazer todas as contas possíveis.
- prazo
- Um termo é uma constante ou o produto de uma constante e uma ou mais variáveis.
- variável
- Uma variável é uma letra que representa um número cujo valor pode mudar.