15.S : Oscillations (résumé)
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Termes clés
| amplitude (A) | déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre d'un objet oscillant autour de la position d'équilibre |
| amorti de façon critique | condition dans laquelle l'amortissement d'un oscillateur le fait revenir le plus rapidement possible à sa position d'équilibre sans osciller de va-et-vient autour de cette position |
| énergie potentielle élastique | énergie potentielle stockée à la suite de la déformation d'un objet élastique, telle que l'étirement d'un ressort |
| position d'équilibre | position où le ressort n'est ni étiré ni comprimé |
| constante de force (k) | caractéristique d'un ressort qui est définie comme le rapport entre la force appliquée au ressort et le déplacement provoqué par la force |
| fréquence (f) | nombre d'événements par unité de temps |
| fréquence angulaire naturelle | fréquence angulaire d'un système oscillant en SHM |
| oscillation | fluctuation unique d'une quantité, ou fluctuations répétées et régulières d'une quantité, entre deux valeurs extrêmes autour d'une valeur d'équilibre ou moyenne |
| suramorti | condition dans laquelle l'amortissement d'un oscillateur le fait revenir à l'équilibre sans osciller ; l'oscillateur se déplace plus lentement vers l'équilibre que dans le système à amortissement critique |
| période (T) | temps nécessaire pour effectuer une oscillation |
| mouvement périodique | mouvement qui se répète à intervalles de temps réguliers |
| changement de phase | angle, en radians, utilisé dans une fonction cosinus ou sinusoïdale pour déplacer la fonction vers la gauche ou la droite, utilisé pour faire correspondre la fonction aux conditions initiales des données |
| pendule physique | tout objet étendu qui oscille comme un pendule |
| résonance | oscillations de grande amplitude dans un système produites par une force motrice de faible amplitude, dont la fréquence est égale à la fréquence naturelle |
| force de restauration | force agissant en opposition à la force provoquée par une déformation |
| mouvement harmonique simple (SHM) | mouvement oscillatoire dans un système où la force de rappel est proportionnelle au déplacement, qui agit dans la direction opposée au déplacement |
| oscillateur harmonique simple | un dispositif qui oscille dans le SHM où la force de rappel est proportionnelle au déplacement et agit dans la direction opposée au déplacement |
| pendule simple | masse ponctuelle, appelée bob pendulaire, attachée à une corde presque sans masse |
| point d'équilibre stable | point où la force nette sur un système est nulle, mais un petit déplacement de la masse provoquera une force de rappel pointant vers le point d'équilibre |
| pendule de torsion | tout objet suspendu qui oscille en tordant sa suspension |
| sous-amorti | condition dans laquelle l'amortissement d'un oscillateur fait diminuer l'amplitude des oscillations d'un oscillateur harmonique amorti au fil du temps, pour finalement se rapprocher de zéro |
Équations clés
| Relation entre fréquence et période | $$f = \ frac {1} {T} $$ |
| Position dans SHM avec\(\phi\) = 0,00 | $$x (t) = A \ cos (\ oméga t) $$ |
| Position générale au sein du SHM | $$x (t) = A \ cos (\ oméga t + \ phi) $$ |
| Vitesse générale en SHM | $$v (t) = -A \ oméga \ sin (\ oméga t+ \ phi) $$ |
| Accélération générale en SHM | $$a (t) = -A \ oméga^ {2} \ cos (\ oméga t+ \ phi) $$ |
| Déplacement maximal (amplitude) du SHM | $x_ {maximum} = $A |
| Vitesse maximale du SHM | $$|v_ {max} | = A \ oméga$$ |
| Accélération maximale du SHM | $$|a_ {max} | = A \ oméga^ {2} $$ |
| Fréquence angulaire d'un système masse-ressort dans SHM | $$ \ oméga = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Période d'un système masse-ressort dans SHM | $$T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} $$ |
| Fréquence d'un système masse-ressort dans SHM | $$f = \ frac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Énergie dans un système masse-ressort dans SHM | $E_ {Total} = \ frac {1} {2} kx^ {2} + \ frac {1} {2} mv^ {2} = \ frac {1} {2} kA^ {2} $$ |
| La vitesse de la masse dans un système masse-ressort dans SHM | $$v = \ pm \ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})} $$ |
| La composante X du rayon d'un disque rotatif | $$x (t) = A \ cos (\ oméga t + \ phi) $$ |
| La composante X de la vitesse de l'arête d'un disque rotatif | $$v (t) = -v_ {max} \ sin (\ oméga t + \ phi) $$ |
| La composante X de l'accélération du bord d'un disque rotatif | $$a (t) = -a_ {max} \ cos (\ oméga t+ \ phi) $$ |
| Équation de force pour un pendule simple | $$ \ frac {d^ {2} \ thêta} {dt^ {2}} = - \ frac {g} {L} \ théta$$ |
| Fréquence angulaire pour un pendule simple | $$ \ oméga = \ sqrt {\ frac {g} {L}} $$ |
| Période d'un pendule simple | $$T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ |
| Fréquence angulaire d'un pendule physique | $$ \ oméga = \ sqrt {\ frac {MgL} {I}} $$ |
| Période d'un pendule physique | $$T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {mg}} $$ |
| Période d'un pendule de torsion | $$T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$ |
| Deuxième loi de Newton pour le mouvement harmonique | $$m \ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + b \ frac {dx} {dt} + kx = 0$$ |
| Solution pour un mouvement harmonique sous-amorti | $$x (t) = A_ {0} e^ {- \ frac {b} {2m} t} \ cos (\ oméga t+ \ phi) $$ |
| Fréquence angulaire naturelle d'un système masse-ressort | $$ \ omega_ {0} = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Fréquence angulaire du mouvement harmonique sous-amorti | $$ \ omega = \ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} - \ gauche (\ dfrac {b} {2m} \ droite) ^ {2}} $$ |
| Deuxième loi de Newton pour les oscillations forcées et amorties | $$-kx -b \ frac {dx} {dt} + F_ {0} \ sin (\ oméga t) = m \ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} $$ |
| Solution à la deuxième loi de Newton pour les oscillations forcées et amorties | $$x (t) = A \ cos (\ oméga t + \ phi) $$ |
| Amplitude du système soumis à des oscillations forcées et amorties | $$A = \ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega^ {2} - \ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2} \ oméga^ {2}}} $$ |
Résumé
15.1 Mouvement harmonique simple
- Un mouvement périodique est une oscillation répétée. Le temps d'une oscillation est la période T et le nombre d'oscillations par unité de temps est la fréquence f. Ces grandeurs sont liées par\(f = \frac{1}{T}\).
- Le mouvement harmonique simple (SHM) est un mouvement oscillatoire pour un système où la force de rappel est proportionnelle au déplacement et agit dans la direction opposée au déplacement.
- Le déplacement maximal est l'amplitude A. La fréquence angulaire\(\omega\), la période T et la fréquence f d'un oscillateur harmonique simple sont données par\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), T = 2\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\), et f =\(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\), où m est la masse du système et k est la constante de force.
- Le déplacement en fonction du temps dans SHM est donné par x (t) = Acos\(\left(\dfrac{2 \pi}{T} t + \phi \right)\) = Acos (\(\omega t + \phi\)).
- La vitesse est donnée par v (t) = -A\(\omega\) sin (\(\omega t + \phi\)) = -v max sin (\(\omega t + \phi\)), où v max = A\(\omega\) =\(\sqrt{\frac{k}{m}}\) A.
- L'accélération est donnée par a (t) = -A\(\omega^{2}\) cos (\(\omega t + \phi\)) = -a max cos (\(\omega t + \phi\)), où a max = A\(\omega^{2}\) =\(\frac{k}{m}\) A.
15.2 L'énergie dans un mouvement harmonique simple
- Les types d'oscillations les plus simples sont liés à des systèmes qui peuvent être décrits par la loi de Hooke, F = −kx, où F est la force de rappel, x est le déplacement par rapport à l'équilibre ou à la déformation, et k est la constante de force du système.
- L'énergie potentielle élastique U stockée dans la déformation d'un système qui peut être décrit par la loi de Hooke est donnée par U =\(\frac{1}{2}\) kx 2.
- L'énergie de l'oscillateur harmonique simple est partagée entre l'énergie potentielle élastique et l'énergie cinétique, le total étant constant : $$E_ {Total} = \ frac {1} {2} kx^ {2} + \ frac {1} {2} mv^ {2} = \ frac {1} {2} {2} kA^ {2} = constant \ ldotp$$
- L'amplitude de la vitesse en fonction de la position de l'oscillateur harmonique simple peut être déterminée en utilisant $$v = \ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})} \ ldotp$$
15.3 Comparaison du mouvement harmonique simple et du mouvement circulaire
- Une projection de mouvement circulaire uniforme subit une simple oscillation harmonique.
- Prenons l'exemple d'un cercle de rayon A se déplaçant à une vitesse angulaire constante\(\omega\). Un point situé sur le bord du cercle se déplace à une vitesse tangentielle constante de v max =\(\omega\) A. La projection du rayon sur l'axe x est x (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\)), où (\(\phi\)) est le décalage de phase. La composante x de la vitesse tangentielle est v (t) = −A\(\omega\) sin (\(\omega\)t +\(\phi\)).
15.4 Pendules
- Une masse m suspendue par un fil de longueur L et de masse négligeable est un simple pendule et subit une SHM pour des amplitudes inférieures à environ 15°. La période d'un pendule simple est T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), où L est la longueur de la corde et g est l'accélération due à la gravité.
- La période d'un pendule physique T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\) peut être déterminée si le moment d'inertie est connu. La longueur entre le point de rotation et le centre de masse est L.
- La période d'un pendule de torsion T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}\) peut être déterminée si le moment d'inertie et la constante de torsion sont connus.
15.5 Oscillations amorties
- Les oscillateurs harmoniques amortis ont des forces non conservatrices qui dissipent leur énergie.
- L'amortissement critique ramène le système à l'équilibre le plus rapidement possible sans dépassement.
- Un système sous-amorti oscillera dans la position d'équilibre.
- Un système suramorti se déplace plus lentement vers l'équilibre qu'un système soumis à un amortissement critique.
15.6 Oscillations forcées
- La fréquence naturelle d'un système est la fréquence à laquelle le système oscille s'il n'est pas affecté par les forces d'entraînement ou d'amortissement.
- Une force périodique entraînant un oscillateur harmonique à sa fréquence naturelle produit une résonance. On dit que le système résonne.
- Moins un système est amorti, plus l'amplitude des oscillations forcées à proximité de la résonance est élevée. Plus un système est amortissant, plus il réagit aux différentes fréquences de conduite.