1.7 : Chiffres significatifs

Objectifs d'apprentissage

• Déterminez le nombre correct de chiffres significatifs pour le résultat d'un calcul.
• Décrivez la relation entre les concepts d'exactitude, de précision, d'incertitude et de divergence.
• Calculez le pourcentage d'incertitude d'une mesure, compte tenu de sa valeur et de son incertitude.
• Déterminez l'incertitude du résultat d'un calcul impliquant des quantités avec des incertitudes données.

La figure\(\PageIndex{1}\) montre deux instruments utilisés pour mesurer la masse d'un objet. La balance numérique a largement remplacé la balance à double plateau dans les laboratoires de physique, car elle permet d'obtenir des mesures plus précises et plus précises. Mais qu'entendons-nous exactement par « exact et précis » ? Ne sont-ils pas la même chose ? Dans cette section, nous examinons en détail le processus de réalisation et de déclaration d'une mesure.

Figure\(\PageIndex{1}\) : (a) Une balance mécanique à double plateau est utilisée pour comparer différentes masses. Habituellement, un objet dont la masse est inconnue est placé dans un plateau et les objets de masse connue sont placés dans l'autre plateau. Lorsque la barre qui relie les deux casseroles est horizontale, les masses dans les deux casseroles sont égales. Les « masses connues » sont généralement des cylindres métalliques de masse standard telle que 1 g, 10 g et 100 g. (b) De nombreuses balances mécaniques, telles que les balances à double plateau, ont été remplacées par des balances numériques, qui peuvent généralement mesurer la masse d'un objet avec plus de précision. Une balance mécanique peut uniquement lire la masse d'un objet au dixième de gramme près, mais de nombreuses balances numériques peuvent mesurer la masse d'un objet au millième de gramme le plus proche. (crédit a : modification d'une œuvre de Serge Melki ; crédit b : modification d'une œuvre de Karel Jakubec)

Exactitude et précision d'une mesure

La science est basée sur l'observation et l'expérience, c'est-à-dire sur des mesures. La précision est la proximité d'une mesure par rapport à la valeur de référence acceptée pour cette mesure. Supposons, par exemple, que nous souhaitions mesurer la longueur du papier d'imprimante standard. L'emballage dans lequel nous avons acheté le papier indique qu'il mesure 11,0 pouces de long. Nous mesurons ensuite la longueur du papier à trois reprises et obtenons les mesures suivantes : 11,1 pouces, 11,2 pouces et 10,9 pouces. Ces mesures sont assez précises car elles sont très proches de la valeur de référence de 11,0 pouces. En revanche, si nous avions obtenu une mesure de 12 pouces, notre mesure ne serait pas très précise. Notez que le concept de précision exige qu'une valeur de référence acceptée soit donnée.

La précision des mesures fait référence au degré de concordance entre des mesures indépendantes répétées (qui sont répétées dans les mêmes conditions). Prenons l'exemple des mesures du papier. La précision des mesures fait référence à la répartition des valeurs mesurées. L'une des manières d'analyser la précision des mesures consiste à déterminer la plage, ou la différence, entre les valeurs mesurées les plus faibles et les plus élevées. Dans ce cas, la valeur la plus basse était de 10,9 pouces et la valeur la plus élevée était de 11,2 pouces. Ainsi, les valeurs mesurées s'écartaient l'une de l'autre d'au plus 0,3 pouce. Ces mesures étaient relativement précises car leur valeur ne variait pas trop. Toutefois, si les valeurs mesurées avaient été de 10,9 pouces, 11,1 pouces et 11,9 pouces, les mesures ne seraient pas très précises car il y aurait une variation significative d'une mesure à l'autre. Notez que le concept de précision dépend uniquement des mesures réelles acquises et ne dépend pas d'une valeur de référence acceptée.

Les mesures de l'exemple papier sont à la fois précises et précises, mais dans certains cas, les mesures sont exactes mais pas précises, ou elles sont précises mais imprécises. Prenons l'exemple d'un GPS qui tente de localiser la position d'un restaurant dans une ville. Imaginez que l'emplacement du restaurant se trouve au centre d'une cible cible et considérez chaque tentative GPS de localiser le restaurant comme un point noir. Sur la figure\(\PageIndex{1a}\), nous voyons que les mesures GPS sont très éloignées les unes des autres, mais qu'elles sont toutes relativement proches de l'emplacement réel du restaurant au centre de la cible. Cela indique un système de mesure de faible précision et de haute précision. Cependant, sur la figure\(\PageIndex{1b}\), les mesures GPS sont concentrées assez près les unes des autres, mais elles sont éloignées de la position cible. Cela indique un système de mesure de haute précision et de faible précision.

Figure\(\PageIndex{2}\) : Un GPS tente de localiser un restaurant au centre de la cible. Les points noirs représentent chaque tentative de localiser le restaurant. (a) Les points sont assez espacés les uns des autres, ce qui indique une faible précision, mais ils sont tous assez proches de l'emplacement réel du restaurant, ce qui indique une grande précision. (b) Les points sont concentrés assez près les uns des autres, ce qui indique une grande précision, mais ils sont assez éloignés de l'emplacement réel du restaurant, ce qui indique une faible précision. (crédit a et crédit b : modification d'œuvres de Dark Evil)

Exactitude, précision, incertitude et divergence

La précision d'un système de mesure est liée à l'incertitude des mesures, tandis que la précision est liée à l'écart par rapport à la valeur de référence acceptée. L'incertitude est une mesure quantitative de l'écart entre vos valeurs mesurées. Il existe de nombreuses méthodes de calcul de l'incertitude, chacune étant adaptée à des situations différentes. Certains exemples incluent la prise de la plage (c'est-à-dire la plus grande moins la plus petite) ou la détermination de l'écart type des mesures. L'écart (ou « erreur de mesure ») est la différence entre la valeur mesurée et une valeur standard ou attendue donnée. Si les mesures ne sont pas très précises, l'incertitude des valeurs est élevée. Si les mesures ne sont pas très précises, l'écart entre les valeurs est élevé.

Souvenez-vous de notre exemple de mesure de la longueur du papier : nous avons obtenu des mesures de 11,1 pouces, 11,2 pouces et 10,9 pouces, et la valeur acceptée était de 11,0 pouces. Nous pouvons faire la moyenne des trois mesures pour dire que notre meilleure estimation est de 11,1 pouces ; dans ce cas, notre écart est de 11,1 — 11,0 = 0,1 pouce, ce qui fournit une mesure quantitative de la précision. Nous pouvons calculer l'incertitude selon notre meilleure estimation en utilisant la plage de nos valeurs mesurées : 0,3 pouce. Ensuite, nous dirions que la longueur du papier est de 11,1 pouces plus ou moins 0,3 pouces. L'incertitude d'une mesure, A, est souvent désignée par\(\delta\) A (lire « delta A »), de sorte que le résultat de la mesure serait enregistré sous la forme A ±\(\delta\) A. Pour en revenir à notre exemple papier, la longueur mesurée du papier pourrait être exprimée sous la forme 11,1 ± 0,3 pouces. Comme l'écart de 0,1 pouce est inférieur à l'incertitude de 0,3 pouce, on peut dire que la valeur mesurée correspond à la valeur de référence acceptée dans les limites de l'incertitude expérimentale.

Certains facteurs qui contribuent à l'incertitude d'une mesure sont les suivants :

• Limites de l'appareil de mesure
• La compétence de la personne qui prend la mesure
• Irrégularités de l'objet mesuré
• Tout autre facteur influant sur le résultat (dépend fortement de la situation)

Dans notre exemple, les facteurs qui contribuent à l'incertitude peuvent être les suivants : la plus petite division sur la règle est de 1/16 de pouce, la personne qui utilise la règle a une mauvaise vue, la règle est usée à une extrémité ou un côté du papier est légèrement plus long que l'autre. Quoi qu'il en soit, l'incertitude d'une mesure doit être calculée pour quantifier sa précision. Si une valeur de référence est connue, il est judicieux de calculer également l'écart pour quantifier sa précision.

Incertitude en pourcentage

Une autre méthode d'expression de l'incertitude consiste à l'exprimer en pourcentage de la valeur mesurée. Si une mesure A est exprimée avec l'incertitude\(\delta\) A, le pourcentage d'incertitude est défini comme

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \%\]

Exemple\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

Une épicerie vend des sacs de pommes de 5 livres. Supposons que nous achetions quatre sacs au cours d'un mois et que nous les pesions à chaque fois. Nous obtenons les mesures suivantes :

• Poids de la semaine 1 : 4,8 livres
• Poids de la semaine 2 : 5,3 livres
• Poids de la semaine 3 : 4,9 livres
• Poids de la semaine 4 : 5,4 livres

Nous déterminons ensuite que le poids moyen d'un sac de 5 livres de pommes est de 5,1 ± 0,3 livres. Quel est le pourcentage d'incertitude quant au poids du sac ?

Stratégie

Tout d'abord, observez que la valeur moyenne du poids du sac, A, est de 5,1 livres. L'incertitude de cette valeur,\(\delta\) A, est de 0,3 livre. Nous pouvons utiliser l'équation suivante pour déterminer le pourcentage d'incertitude du poids :

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% \label{1.1}\]

Solution

Substituez les valeurs dans l'équation :

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% = \frac{0.3\; lb}{5.1\; lb} \times 100 \% = 5.9 \% \approx 6 \%\]

L'importance

Nous pouvons conclure que le poids moyen d'un sac de pommes provenant de ce magasin est de 5,1 livres ± 6 %. Notez que le pourcentage d'incertitude est sans dimension, car les unités de poids en\(\delta\) A = 0,3 lb ont annulé celles en A = 5,1 livres lorsque nous avons pris le ratio.

Exercices\(\PageIndex{1}\)

Un entraîneur d'athlétisme de lycée vient d'acheter un nouveau chronomètre. Le manuel du chronomètre indique que le chronomètre a une incertitude de ± 0,05 s. Les coureurs de l'équipe de l'entraîneur de piste font régulièrement des sprints de 100 m de 11,49 à 15,01 s. Lors de la dernière compétition sur piste de l'école, le sprinteur de première place est arrivé à 12,04 s et le sprinter de deuxième place est arrivé à 12 h 07. Le nouveau un chronomètre serait-il utile pour chronométrer l'équipe de sprint ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

Incertitudes dans les calculs

Toute information calculée à partir de quantités mesurées est incertaine. Par exemple, la surface d'un plancher calculée à partir des mesures de sa longueur et de sa largeur comporte une incertitude car la longueur et la largeur comportent des incertitudes. Quelle est l'ampleur de l'incertitude associée à quelque chose que vous calculez par multiplication ou division ? Si les mesures entrant dans le calcul présentent de faibles incertitudes (quelques pour cent ou moins), la méthode d'addition des pourcentages peut être utilisée pour la multiplication ou la division. Cette méthode indique que le pourcentage d'incertitude d'une quantité calculée par multiplication ou division est la somme des incertitudes en pourcentage des éléments utilisés pour effectuer le calcul. Par exemple, si un plancher a une longueur de 4,00 m et une largeur de 3,00 m, avec des incertitudes de 2 % et 1 %, respectivement, alors la surface du plancher est de 12,0 m ² et présente une incertitude de 3 %. (Exprimé en surface, il s'agit de 0,36 m ² [12,0 m ² x 0,03], que nous arrondissons à 0,4 m ² puisque la surface du plancher est donnée à un dixième de mètre carré.)

Précision des outils de mesure et des chiffres significatifs

La précision de l'outil de mesure joue un rôle important dans la précision des mesures. En général, un outil de mesure précis est un outil capable de mesurer des valeurs par petits incréments. Par exemple, une règle standard peut mesurer la longueur au millimètre près tandis qu'un pied à coulisse peut mesurer la longueur au millimètre près. L'étrier est un outil de mesure plus précis car il peut mesurer de très petites différences de longueur. Plus l'outil de mesure est précis, plus les mesures sont précises.

Lorsque nous exprimons des valeurs mesurées, nous ne pouvons répertorier que le nombre de chiffres que nous avons mesuré initialement avec notre outil de mesure. Par exemple, si nous utilisons une règle standard pour mesurer la longueur d'un bâton, nous pouvons la mesurer à 36,7 cm. Nous ne pouvons pas exprimer cette valeur sous la forme de 36,71 cm car notre outil de mesure n'est pas assez précis pour mesurer un centième de centimètre. Il convient de noter que le dernier chiffre d'une valeur mesurée a été estimé d'une manière ou d'une autre par la personne qui effectue la mesure. Par exemple, la personne qui mesure la longueur d'un bâton à l'aide d'une règle remarque que la longueur du bâton semble se situer entre 36,6 cm et 36,7 cm et elle doit estimer la valeur du dernier chiffre. En utilisant la méthode des chiffres significatifs, la règle est que le dernier chiffre inscrit dans une mesure est le premier chiffre avec une certaine incertitude. Pour déterminer le nombre de chiffres significatifs d'une valeur, commencez par la première valeur mesurée à gauche et comptez le nombre de chiffres jusqu'au dernier chiffre écrit sur la droite. Par exemple, la valeur mesurée de 36,7 cm comporte trois chiffres ou trois chiffres significatifs. Les chiffres significatifs indiquent la précision de l'outil de mesure utilisé pour mesurer une valeur.

Zéros

Une attention particulière est accordée aux zéros lors du comptage des chiffres significatifs. Les zéros de 0,053 ne sont pas significatifs car ce sont des espaces réservés qui localisent la virgule décimale. Il y a deux chiffres significatifs en 0,053. Les zéros dans 10.053 ne sont pas des espaces réservés ; ils sont significatifs. Ce chiffre comporte cinq chiffres significatifs. Les zéros en 1300 peuvent être significatifs ou non, selon le style d'écriture des chiffres. Ils peuvent signifier que le numéro est connu jusqu'au dernier chiffre ou peuvent être des espaces réservés. 1300 pourrait donc avoir deux, trois ou quatre chiffres significatifs. Pour éviter cette ambiguïté, nous devrions écrire 1300 en notation scientifique sous la forme 1,3 x 10 ³, 1,30 x 10 ³ ou 1,300 x 10 ³, selon qu'il comporte deux, trois ou quatre chiffres significatifs. Les zéros sont significatifs, sauf lorsqu'ils servent uniquement de substituants.

Chiffres significatifs dans les calculs

Lorsque vous combinez des mesures avec différents degrés de précision, le nombre de chiffres significatifs dans la réponse finale ne peut pas être supérieur au nombre de chiffres significatifs de la valeur mesurée la moins précise. Il existe deux règles différentes, l'une pour la multiplication et la division et l'autre pour l'addition et la soustraction.

1. Pour la multiplication et la division, le résultat doit comporter le même nombre de chiffres significatifs que la quantité avec le moins de chiffres significatifs entrant dans le calcul. Par exemple, l'aire d'un cercle peut être calculée à partir de son rayon en utilisant A =\(\pi r^{2}\). Voyons combien de chiffres significatifs possède la zone si le rayon n'en compte que deux, disons, r = 1,2 m. À l'aide d'une calculatrice avec une sortie à huit chiffres, nous calculerions $$A = \ pi r^ {2} = (3,1415927...) \ times (1,2 \ ; m) ^ {2} = 4,5238934 \ ; m^ {2} \ LDotp$$Mais comme le rayon ne comporte que deux chiffres significatifs, il limite la quantité calculée à deux chiffres significatifs, ou $$A = 4,5 \ ; m^ {2} \ ldotp$$bien que la valeur\(\pi\) soit bonne à au moins huit chiffres.
2. Pour l'addition et la soustraction, la réponse ne peut contenir plus de décimales que la mesure la moins précise. Supposons que nous achetions 7,56 kg de pommes de terre dans une épicerie, mesurées à l'aide d'une balance de précision de 0,01 kg, puis que nous déposons 6 052 kg de pommes de terre à votre laboratoire, mesurées à l'aide d'une balance d'une précision de 0,001 kg. Ensuite, nous rentrons chez nous et ajoutons 13,7 kg de pommes de terre mesurées par une balance de salle de bain avec une précision de 0,1 kg. Combien de kilogrammes de pommes de terre possédons-nous aujourd'hui et combien de chiffres significatifs sont appropriés pour répondre à cette question ? La masse est déterminée par simple addition et soustraction : $$ \ begin {split} 7,56 \ ; & kg \ \ -6,052 \ ; & kg \ \ +13,7 \ ; & kg \ \ \ hline 15,208 \ ; & kg = 15,2 \ ; kg \ ldotp \ end {split} $$Ensuite, nous déterminons la mesure la moins précise : 13,7 kg. Cette mesure est exprimée à 0,1 décimale, de sorte que notre réponse finale doit également être exprimée à 0,1 décimale. Ainsi, la réponse est arrondie à la dixième place, ce qui nous donne 15,2 kg.

Chiffres significatifs de ce texte

Dans ce texte, la plupart des nombres sont supposés comporter trois chiffres significatifs. En outre, un nombre constant de chiffres significatifs est utilisé dans tous les exemples travaillés. Une réponse donnée à trois chiffres est basée sur une saisie correcte à au moins trois chiffres, par exemple. Si l'entrée contient moins de chiffres significatifs, la réponse contiendra également moins de chiffres significatifs. Il est également veillé à ce que le nombre de chiffres significatifs soit raisonnable compte tenu de la situation posée. Dans certains domaines, notamment en optique, des chiffres plus précis sont nécessaires et nous utilisons plus de trois chiffres significatifs. Enfin, si un nombre est exact, tel que les deux de la formule pour la circonférence d'un cercle, C =\(2 \pi r\), cela n'affecte pas le nombre de chiffres significatifs dans un calcul. De même, les facteurs de conversion tels que 100 cm/1 m sont considérés comme exacts et n'affectent pas le nombre de chiffres significatifs dans un calcul.