12.6 : Loi d'Ampère
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Expliquer comment la loi d'Ampère relie le champ magnétique produit par un courant à la valeur du courant
- Calculez le champ magnétique d'un long fil droit, fin ou épais, selon la loi d'Ampère
L'une des propriétés fondamentales d'un champ magnétique statique est que, contrairement à un champ électrostatique, il n'est pas conservateur. Un champ conservateur est un champ qui effectue la même quantité de travail sur une particule se déplaçant entre deux points différents, quelle que soit la trajectoire choisie. Les champs magnétiques n'ont pas une telle propriété. Il existe plutôt une relation entre le champ magnétique et sa source, le courant électrique. Elle est exprimée en termes de ligne intégrale de la loi d'Ampère\(\vec{B}\) et est connue sous le nom de loi d'Ampère. Cette loi peut également être dérivée directement de la loi de Biot-Savart. Nous considérons maintenant cette dérivation pour le cas particulier d'un fil droit infini.
La figure\(\PageIndex{1}\) montre un plan arbitraire perpendiculaire à un fil droit infini dont le courant I est dirigé hors de la page. Les lignes de champ magnétique sont des cercles orientés dans le sens antihoraire et centrés sur le fil. Pour commencer, examinons\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) les chemins fermés M et N. Notez qu'un chemin (M) entoure le fil, alors que l'autre (N) ne le fait pas. Comme les lignes de champ sont circulaires,\(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) c'est le produit de B et de la projection de dl sur le cercle qui le traverse\(d\vec{l}\). Si le rayon de ce cercle particulier est r, la projection est\(rd\theta\), et
\[\vec{B} \cdot d\vec{l} = Br \, d\theta.\]
Avec\(\vec{B}\) donné par l'équation 12.4.1,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) \, r \, d\theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \oint d\theta.\]
Pour le chemin M, qui circule autour du fil,\(\oint_M d\theta = 2\pi\) et
\[\oint_M \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I.\]
Le chemin N, quant à lui, circule à la fois en positif (dans le sens antihoraire) et en négatif (dans le sens des aiguilles d'une montre\(\PageIndex{1}\))\(d\theta\) (voir Figure), et comme il est fermé,\(\oint_N d\theta = 0\). Ainsi, pour le chemin N,
\[\oint_N \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0.\]
L'extension de ce résultat au cas général est la loi d'Ampère.
Sur un chemin fermé arbitraire,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I\]
où I est le courant total traversant toute surface ouverte S dont le périmètre est le chemin d'intégration. Seuls les courants internes à la voie de l'intégration doivent être pris en compte.
Pour déterminer si un courant I spécifique est positif ou négatif, courbez les doigts de votre main droite dans le sens du chemin d'intégration, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{1}\). Si je passe par S dans la même direction que votre pouce étendu, je suis positif ; si je passe par S dans la direction opposée à votre pouce étendu, c'est négatif.
Pour calculer le champ magnétique créé à partir du courant dans un ou plusieurs fils, procédez comme suit :
- Identifiez la symétrie du courant dans le ou les fils. S'il n'y a pas de symétrie, utilisez la loi de Biot-Savart pour déterminer le champ magnétique.
- Déterminez la direction du champ magnétique créé par le ou les fils selon la règle 2 de la main droite.
- Choisissez une boucle de trajectoire où le champ magnétique est constant ou nul.
- Calculez le courant dans la boucle.
- Calculez l'intégrale de la ligne\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) autour de la boucle fermée.
- Assimilez\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\)\(\mu_0 I_{enc}\) à\(\mu_0 I_{enc}\) et résolvez pour\(\vec{B}\).
Utilisez la loi d'Ampère pour calculer le champ magnétique dû à un courant constant I dans un fil droit fin et infiniment long, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\).
Stratégie
Considérez un plan arbitraire perpendiculaire au fil, avec le courant dirigé hors de la page. Les composantes possibles du champ magnétique dans ce plan,\(B_r\) et\(B_{\theta}\) sont affichées en des points arbitraires sur un cercle de rayon r centré sur le fil. Comme le champ est symétrique de manière cylindrique, il ne\(B_{\theta}\) varie\(B_r\) ni ne varie en fonction de la position sur ce cercle. Toujours pour des raisons de symétrie, les lignes radiales, si elles existent, doivent être dirigées soit entièrement vers l'intérieur, soit vers l'extérieur à partir du fil. Cela signifie toutefois qu'il doit y avoir un flux magnétique net à travers un cylindre arbitraire concentrique au fil. La composante radiale du champ magnétique doit être nulle car\(\vec{B}_r \cdot d\vec{l} = 0\). Par conséquent, nous pouvons appliquer la loi d'Ampère à la trajectoire circulaire comme indiqué.
Solution
Sur ce chemin\(\vec{B}\) est constant et parallèle à\(d\vec{l}\), donc
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B_{\theta} \oint dl = B_{\theta}(2\pi r).\]
Ainsi, la loi d'Ampère réduit à
\[B_{\theta}(2\pi r) = \mu_0 I.\]
Enfin, puisque\(B_{\theta}\) c'est le seul composant de\(\vec{B}\), nous pouvons supprimer l'indice et écrire
\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.\]
Cela concorde avec le calcul de Biot-Savart ci-dessus.
L'importance
La loi d'Ampère fonctionne bien si vous avez un parcours à intégrer\(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) dont les résultats sont faciles à simplifier. Pour le fil infini, cela fonctionne facilement avec un chemin circulaire autour du fil afin que le champ magnétique ne soit pas pris en compte lors de l'intégration. Si la dépendance à la trajectoire semble compliquée, vous pouvez toujours revenir à la loi de Biot-Savart et l'utiliser pour trouver le champ magnétique.
Le rayon du fil long et droit de la figure\(\PageIndex{3}\) est a, et le fil transporte un courant\(I_0\) réparti uniformément sur sa section transversale. Trouvez le champ magnétique à la fois à l'intérieur et à l'extérieur du fil.
Stratégie
Ce problème a la même géométrie que l'exemple\(\PageIndex{1}\), mais le courant inclus change lorsque nous déplaçons le chemin d'intégration de l'extérieur du fil vers l'intérieur du fil, où il ne capture pas la totalité du courant contenu (voir Figure\(\PageIndex{3}\)).
Solution
Pour toute trajectoire circulaire de rayon r centrée sur le fil,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint Bdl = B\oint dl = B(2\pi r).\]
D'après la loi d'Ampère, cela équivaut au courant total traversant toute surface délimitée par le chemin d'intégration.
Considérez d'abord un chemin circulaire situé à l'intérieur du fil,\((r \leq a)\) tel que celui illustré dans la partie (a) de la figure\(\PageIndex{3}\). Nous avons besoin du courant I qui traverse la zone délimitée par le chemin. Elle est égale à la densité de courant J fois la surface délimitée. Comme le courant est uniforme, la densité de courant à l'intérieur du trajet est égale à la densité de courant dans l'ensemble du fil, qui est\(I_0 / \pi a^2\). Par conséquent, le courant I traversant la zone délimitée par le chemin est
\[I = \frac{\pi r^2}{\pi a^2} I_0 = \frac{r^2}{a^2}I_0.\]
On peut considérer ce rapport car la densité de courant J est constante sur la surface du fil. Par conséquent, la densité de courant d'une partie du fil est égale à la densité de courant dans toute la zone. En utilisant la loi d'Ampère, nous obtenons
\[B(2\pi r) = \mu_0 \left(\frac{r^2}{a^2}\right) I_0,\]
et le champ magnétique à l'intérieur du fil est
\[B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi} \frac{r}{a^2} (r \leq a).\]
En dehors du fil, la situation est identique à celle du fil fin infini de l'exemple précédent, c'est-à-dire que
\[B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r} (r \geq a).\]
La variation de B avec r est illustrée sur la figure\(\PageIndex{4}\).
L'importance
Les résultats montrent que lorsque la distance radiale augmente à l'intérieur du fil épais, le champ magnétique passe de zéro à une valeur familière du champ magnétique d'un fil mince. À l'extérieur du fil, le champ diminue, qu'il s'agisse d'un fil épais ou fin.
Ce résultat est similaire à la façon dont la loi de Gauss pour les charges électriques se comporte au sein d'une distribution de charge uniforme, sauf que la loi de Gauss pour les charges électriques a une distribution volumique de charge uniforme, alors que la loi d'Ampère a ici une zone uniforme de distribution du courant. De plus, la chute à l'extérieur du fil épais est similaire à la chute d'un champ électrique en dehors d'une distribution de charge linéaire, car les deux boîtiers ont la même géométrie et aucun des deux cas ne dépend de la configuration des charges ou des courants une fois que la boucle est en dehors de la distribution.
Utilisez la loi d'Ampère\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) pour évaluer les configurations et les chemins actuels dans la Figure\(\PageIndex{5}\).
Stratégie
La loi d'Ampère indique\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I\) que I est le courant total traversant la boucle fermée. Le moyen le plus rapide d'évaluer l'intégrale est de calculer\(\mu_0 I\) en déterminant le courant net à travers la boucle. Les courants positifs circulent avec votre pouce droit si vos doigts s'enroulent dans le sens de la boucle. Cela nous indiquera le signe de la réponse.
Solution
(a) Le courant descendant dans la boucle est égal au courant sortant de la boucle, donc le courant net est nul. Ainsi,\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0.\)
(b) Le seul courant à prendre en compte dans ce problème est le 2A car c'est le seul courant à l'intérieur de la boucle. La règle de droite nous indique que le courant descendant dans la boucle est dans le sens positif. Par conséquent, la réponse est\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (2 \, A) = 2.51 \times 10^{-6} T \cdot m.\)
(c) La règle de droite nous indique que le courant descendant dans la boucle est dans le sens positif. Il y a\(7A + 5A = 12 A\) des courants à la baisse et —3 A à la hausse. Par conséquent, le courant total est de 9 A et\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (9 \, A) = 5.65 \times 10^{-6} T \cdot m\).
L'importance
Si tous les courants circulaient de telle sorte que le même courant entrait dans la boucle et sortait de la boucle, le courant net serait nul et aucun champ magnétique ne serait présent. C'est pourquoi les fils sont très proches les uns des autres dans un cordon électrique. Les courants circulant vers un dispositif et s'éloignant d'un dispositif dans un fil équivalent à zéro courant total circulant dans une boucle d'ampère autour de ces fils. Par conséquent, aucun champ magnétique parasite ne peut être présent en provenance des câbles transportant du courant.
Envisagez d'utiliser la loi d'Ampère pour calculer les champs magnétiques d'un fil droit fini et d'une boucle de fil circulaire. Pourquoi n'est-ce pas utile pour ces calculs ?
- Réponse
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Dans ces cas, les intégrales autour de la boucle ampèrienne sont très difficiles car il n'y a pas de symétrie, donc cette méthode ne serait pas utile.