13.2 : Loi de Faraday
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Déterminez le flux magnétique à travers une surface en connaissant l'intensité du champ magnétique, la surface et l'angle entre la normale à la surface et le champ magnétique
- Utilisez la loi de Faraday pour déterminer l'amplitude de la force électromotrice induite dans une boucle fermée en raison de la modification du flux magnétique dans la boucle
Les premières expériences productives concernant les effets de champs magnétiques variables dans le temps ont été réalisées par Michael Faraday en 1831. L'une de ses premières expériences est représentée sur la figure\(\PageIndex{1}\). Une force électromotrice est induite lorsque le champ magnétique dans la bobine est modifié en poussant un barreau magnétique dans ou hors de la bobine. Les champs électromagnétiques de signes opposés sont produits par des mouvements dans des directions opposées, et les directions des champs électromagnétiques sont également inversées par l'inversion des pôles. Les mêmes résultats sont obtenus si la bobine est déplacée plutôt que l'aimant ; c'est le mouvement relatif qui est important. Plus le mouvement est rapide, plus la force électromotrice est élevée, et il n'y a pas de force électromotrice lorsque l'aimant est immobile par rapport à la bobine.
Faraday a également découvert qu'un effet similaire peut être produit à l'aide de deux circuits : un courant variable dans un circuit induit un courant dans un second circuit voisin. Par exemple, lorsque l'interrupteur est fermé dans le circuit 1 de la figure\(\PageIndex{1a}\), l'aiguille ampèremétrique du circuit 2 fléchit momentanément, indiquant qu'une surtension de courte durée a été induite dans ce circuit. L'aiguille de l'ampèremètre revient rapidement à sa position initiale, où elle reste. Cependant, si l'interrupteur du circuit 1 est maintenant soudainement ouvert, on observe une nouvelle surtension de courte durée dans le sens opposé à la précédente dans le circuit 2.
Faraday s'est rendu compte que dans les deux expériences, un courant ne circulait dans le circuit contenant l'ampèremètre que lorsque le champ magnétique dans la région occupée par ce circuit changeait. Au fur et à mesure que l'aimant de la figure se déplaçait, l'intensité de son champ magnétique au niveau de la boucle changeait ; et lorsque le courant dans le circuit 1 était allumé ou éteint, l'intensité de son champ magnétique au niveau du circuit 2 changeait. Faraday a finalement pu interpréter ces expériences et toutes les autres expériences impliquant des champs magnétiques qui varient dans le temps en fonction de la loi suivante.
La force\(\epsilon\) électromotrice induite est la variation négative du flux magnétique\(\Phi_m\) par unité de temps. Toute modification du champ magnétique ou toute modification de l'orientation de la zone de la bobine par rapport au champ magnétique induit une tension (emf).
Le flux magnétique est une mesure de la quantité de lignes de champ magnétique à travers une surface donnée, comme le montre la figure\(\PageIndex{3}\). Cette définition est similaire au flux électrique étudié précédemment. Cela signifie que si nous avons
\[\Phi_m = \int_S \vec{B} \cdot \hat{n}dA,\]
alors la force électromotrice induite ou la tension générée par un conducteur ou une bobine se déplaçant dans un champ magnétique est
\[\epsilon = - \dfrac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot \hat{n} dA = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
Le signe négatif décrit la direction dans laquelle la force électromotrice induite entraîne le courant dans un circuit. Cependant, cette direction est plus facilement déterminée par une règle connue sous le nom de loi de Lenz, dont nous parlerons prochainement.
\(\PageIndex{1a}\)représente un circuit et une surface arbitraire S qu'il délimite. Notez que S est une surface ouverte. On peut montrer que toute surface ouverte délimitée par le circuit en question peut être utilisée pour évaluer\(\Phi_m\). Par example,\(\Phi_m\) il en va de même pour les différentes surfaces\(S_1, \, S_2, . . .\) de la partie (b) de la figure.
L'unité SI pour le flux magnétique est le weber (Wb),
\[1 \, Wb = 1 \, T \cdot m^2.\]
Parfois, l'unité de champ magnétique est exprimée en webers par mètre carré (\(Wb /m^2\)) au lieu de teslas, sur la base de cette définition. Dans de nombreuses applications pratiques, le circuit d'intérêt est constitué d'un nombre N de spires étroitement enroulées (Figure\(\PageIndex{5}\)). Chaque tour est soumis au même flux magnétique. Par conséquent, le flux magnétique net à travers les circuits est N fois le flux d'un tour, et la loi de Faraday s'écrit comme
\[\epsilon = - \dfrac{d}{dt}(N\Phi_m) = - N \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
La bobine carrée de la Figure\(\PageIndex{1}\) a des côtés\(l = 0.25 \, m\) longs et est étroitement enroulée avec des\(N = 200\) spires de fil. La résistance de la bobine est\(R = 5.0 \, \Omega\) La bobine est placée dans un champ magnétique spatialement uniforme qui est dirigé perpendiculairement à la face de la bobine et dont l'amplitude diminue à un rythme\(dB/dt = -0.040 \, T/s\). (a) Quelle est l'ampleur de la force électromotrice induite dans la bobine ? (b) Quelle est l'intensité du courant qui circule dans la bobine ?
Stratégie
Le vecteur de surface, ou\(\hat{n}\) direction, est perpendiculaire à la zone couvrant la boucle. Nous choisirons qu'il soit dirigé vers le bas de manière à ce qu'il\(\vec{B}\) soit parallèle à\(\hat{n}\) et que le flux se transforme en multiplication du champ magnétique par la surface. La zone de la boucle ne change pas dans le temps, elle peut donc être prise en compte hors de la dérivée temporelle, laissant le champ magnétique comme la seule quantité variant dans le temps. Enfin, nous pouvons appliquer la loi d'Ohm une fois que nous connaissons la force électromotrice induite pour trouver le courant dans la boucle.
Solution
- Le flux à travers un tour est\[\Phi_m = BA = Bt^2,\]
afin que nous puissions calculer l'amplitude de la force électromotrice à partir de la loi de Faraday. Le signe de l'emf sera discuté dans la section suivante, sur la loi de Lenz :\[|\epsilon| = \left|-N\dfrac{d\Phi_m}{dt}\right| = Nl^2 \dfrac{dB}{dt}\]\[= (200)(0.25 \, m)^2 (0.040 \, T/s) = 0.50 \, V.\]
- L'amplitude du courant induit dans la bobine est\[I = \dfrac{\epsilon}{R} = \dfrac{0.50 \, V}{5.0 \, \Omega} = 0.10 \, A.\]
L'importance
Si la zone de la boucle changeait dans le temps, nous ne serions pas en mesure de la sortir de la dérivée temporelle. Comme la boucle est un chemin fermé, ce courant provoquerait un léger échauffement des fils jusqu'à ce que le champ magnétique cesse de changer. Cela peut augmenter légèrement la surface de la boucle lorsque les fils sont chauffés.
Une bobine étroitement enroulée a un rayon de 4,0 cm, 50 tours et une résistance totale de\(40 \, \Omega\). À quelle vitesse un champ magnétique perpendiculaire à la face de la bobine doit-il changer pour produire un chauffage joule dans la bobine à une vitesse de 2,0 mW ?
Solution
1,1 T/s