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11.6 : Force et couple sur une boucle de courant

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    Objectifs d'apprentissage

    À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

    • Évaluer la force nette sur une boucle de courant dans un champ magnétique externe
    • Évaluer le couple net sur une boucle de courant dans un champ magnétique externe
    • Définir le moment dipolaire magnétique d'une boucle de courant

    Les moteurs sont l'application la plus courante de la force magnétique sur les fils porteurs de courant. Les moteurs contiennent des boucles de fil dans un champ magnétique. Lorsque le courant traverse les boucles, le champ magnétique exerce un couple sur les boucles, ce qui fait tourner un arbre. L'énergie électrique est convertie en travail mécanique au cours du processus. Une fois que la surface de la boucle est alignée avec le champ magnétique, le sens du courant est inversé, de sorte qu'il y a un couple continu sur la boucle (Figure\(\PageIndex{1}\)). Cette inversion du courant se fait à l'aide de commutateurs et de balais. Le commutateur est réglé pour inverser le flux de courant à des points de consigne afin de maintenir un mouvement continu dans le moteur. Un commutateur de base possède trois zones de contact à éviter et des points morts où la boucle n'aurait aucun couple instantané à ce point. Les brosses appuient contre le commutateur, créant un contact électrique entre les parties du commutateur pendant le mouvement de rotation.

    Schéma d'un moteur à courant continu composé d'un aimant avec un espace horizontal, d'une alimentation avec des fils attachés à des balais et d'un fil plié en une boucle rectangulaire. Les extrémités du fil sont fixées à des contacts qui se connectent aux balais de l'alimentation lorsque la boucle est horizontale. Lorsque la boucle est verticale, elles s'alignent sur l'espace entre les contacts. Le pôle nord de l'aimant se trouve à gauche, le pôle sud à droite. Figure a : La boucle est horizontale et les brosses entrent en contact avec la boucle. Un courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre (en regardant vers le bas) dans la boucle, de sorte que le courant dans le segment gauche de la boucle circule dans la page et que le courant dans le segment droit sort de la page. La force magnétique sur le segment gauche est faible et sur le segment droit est vers le haut. La boucle pivote dans le sens antihoraire (en regardant la page). Figure b : La boucle est verticale. Les brosses ne sont pas en contact avec la boucle. Aucun courant ne circule et aucune force n'est exercée.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Une version simplifiée d'un moteur électrique à courant continu. (a) La boucle métallique rectangulaire est placée dans un champ magnétique. Les forces exercées sur les fils les plus proches des pôles magnétiques (N et S) sont de sens opposé, conformément à la règle de droite 1. Par conséquent, la boucle a un couple net et tourne jusqu'à la position indiquée en (b). (b) Les balais touchent maintenant les segments du commutateur de sorte qu'aucun courant ne circule dans la boucle. Aucun couple n'agit sur la boucle, mais celle-ci continue de tourner à partir de la vitesse initiale qui lui a été donnée dans la partie (a). Lorsque la boucle bascule, le courant circule à nouveau dans les fils, mais maintenant dans la direction opposée, et le processus se répète comme dans la partie (a). Cela provoque une rotation continue de la boucle.

    Dans un champ magnétique uniforme, une boucle de fil conductrice, telle qu'une boucle dans un moteur, subit à la fois des forces et des couples sur la boucle. La figure\(\PageIndex{1}\) montre une boucle de fil rectangulaire qui transporte un courant I et dont les côtés ont les longueurs a et b. La boucle est dans un champ magnétique uniforme :\(\vec{B} = B\hat{j}\). La force magnétique sur un fil droit porteur de courant de longueur l est donnée par\(I\vec{l} \times \vec{B}\). Pour déterminer la force nette sur la boucle, nous devons appliquer cette équation à chacun des quatre côtés. La force exercée sur le côté 1 est

    \[\vec{F}_1 = IaB \sin(90^o - \theta) \hat{i} = IaB \cos\theta \hat{i}\]

    où la direction a été déterminée avec le RHR-1. Le courant dans le côté 3 circule dans la direction opposée à celle du côté 1, donc

    \[\vec{F}_3 = -IaB \sin(90^o + \theta)\hat{i} = -IaB \cos \theta \hat{i}\]

    Les courants dans les côtés 2 et 4 sont perpendiculaires à\(\vec{B}\) et les forces sur ces côtés sont

    \[\vec{F}_2 = IbB\hat{k}\]

    \[\vec{F}_4 = -IbB\hat{k}.\]

    Nous pouvons maintenant trouver la force nette sur la boucle :

    \[\sum \vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = 0.\]

    Bien que ce résultat\((\sum F = 0)\) ait été obtenu pour une boucle rectangulaire, il est beaucoup plus général et vaut pour des boucles porteuses de courant de formes arbitraires, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune force nette sur une boucle de courant dans un champ magnétique uniforme.

    Illustration d'une boucle rectangulaire transportant un courant I. Le courant dans la boucle passe dans le sens antihoraire lorsqu'il est vu depuis la direction y positive en direction de l'origine. La boucle se trouve dans un champ magnétique uniforme, B, qui pointe vers la droite. La figure a montre une vue tridimensionnelle de la boucle. Les côtés supérieur et inférieur sont parallèles à l'axe x et ont une longueur b. Le côté supérieur est à y = 0 et un z positif avec un courant dans la direction x positive. La face inférieure est à une valeur y positive et z=0 et possède un courant dans la direction x négative. Les deux côtés restants ont une longueur b. L'un est à x=0 et le courant augmente, et l'autre est à x positif et le courant monte. Ces côtés sont inclinés d'un angle thêta en haut par rapport à l'axe z. La direction du vecteur unitaire n hat perpendiculaire à l'aire de la boucle rectangulaire est indiquée. Les forces exercées sur chacun des côtés sont également indiquées. F 1 est la force exercée sur le côté incliné au point x positif et pointe dans la direction x positive. F 2 est la force exercée sur la face supérieure et pointe vers le haut. F 3 est la force exercée sur le côté incliné à x=0 et pointe dans la direction x négative. F 4 est la force exercée sur le bas et pointe vers le bas. La figure b montre une vue latérale de la boucle, de sorte que nous regardons le plan y z et que nous ne voyons que le côté incliné, qui forme un angle thêta avec la verticale en haut. Le courant nous parvient en haut de la boucle, et le courant entre dans la page en bas. La force F 2 sur le dessus est vers le haut, la force F 4 sur le bas est vers le bas. Le vecteur n hat pointe vers le haut et vers la droite, à un angle thêta par rapport au champ B. Le point pivot O autour duquel nous calculons le couple est indiqué à une distance x du haut de la boucle et a-x à partir du bas.
    Figure\(\PageIndex{2}\) : (a) Une boucle de courant rectangulaire dans un champ magnétique uniforme est soumise à un couple net mais pas à une force nette. (b) Une vue latérale de la bobine.

    Pour trouver le couple net sur la boucle de courant illustrée à la figure\(\PageIndex{2a}\), nous considérons d'abord\(F_1\) et\(F_3\). Comme ils ont la même ligne d'action, qu'ils sont égaux et opposés, la somme de leurs couples autour de n'importe quel axe est nulle (voir Rotation à axe fixe). Ainsi, s'il y a un couple sur la boucle, celui-ci doit être fourni par\(F_2\) et\(F_4\). Calculons les couples autour de l'axe qui passe par le point O de la figure\(\PageIndex{2b}\) (vue latérale de la bobine) et qui est perpendiculaire au plan de la page. Le point O est une distance x du côté 2 et une distance\((a - x)\) du côté 4 de la boucle. Les bras de moment de\(F_2\) et\(F_4\) sont\(x \, sin \, \theta\) et\((a - x)\space sin \, \theta\), respectivement, donc le couple net sur la boucle est

    \[\sum \vec{\tau} = \vec{\tau}_1 + \vec{\tau}_2 + \vec{\tau}_3 + \vec{\tau}_4 = F_2 x \, sin \, \theta \hat{i} - F_4 (a - x) \, sin \, (\theta) \hat{i}\]\[- IbBx \, sin \, \theta \hat{i} - IbB(a - x) sin \, \theta \hat{i}.\]

    Cela simplifie la\[\vec{\tau} = - IAB \, sin \, \theta \hat{i}\] localisation\(A = ab\) de la zone de la boucle.

    Remarquez que ce couple est indépendant de x ; il est donc indépendant de l'endroit où se trouve le point O dans le plan de la boucle de courant. Par conséquent, la boucle subit le même couple du champ magnétique autour de n'importe quel axe du plan de la boucle et parallèle à l'axe x.

    Une boucle de courant fermée est communément appelée dipôle magnétique et le terme IA est connu sous le nom de moment dipolaire magnétique\(\mu\). En fait, le moment dipolaire magnétique est un vecteur défini comme

    \[\vec{\mu} = IA \hat{n}\]où\(\hat{n}\) est un vecteur unitaire dirigé perpendiculairement au plan de la boucle (voir Figure\(\PageIndex{2}\)). La direction de\(\hat{n}\) est obtenue avec le rHR-2 : si vous courbez les doigts de votre main droite dans le sens du flux de courant dans la boucle, votre pouce pointe le long\(\hat{n}\). Si la boucle contient N tours de fil, alors son moment dipolaire magnétique est donné par

    \[\vec{\mu} = NIA\hat{n}.\]

    En termes de moment dipolaire magnétique, le couple sur une boucle de courant dû à un champ magnétique uniforme peut être écrit simplement comme

    \[\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}.\]

    Cette équation vaut pour une boucle de courant dans un plan bidimensionnel de forme arbitraire.

    En utilisant un calcul analogue à celui trouvé dans Capacité pour un dipôle électrique, l'énergie potentielle d'un dipôle magnétique est

    \[U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}.\]

    Exemple\(\PageIndex{1}\): Forces and Torques on Current-Carrying Loops

    Une boucle de courant circulaire de rayon 2,0 cm transporte un courant de 2,0 mA. (a) Quelle est l'amplitude de son moment dipolaire magnétique ? (b) Si le dipôle est orienté à 30 degrés par rapport à un champ magnétique uniforme de magnitude 0,50 T, quelle est l'amplitude du couple qu'il subit et quelle est son énergie potentielle ?

    Stratégie

    Le moment dipolaire est défini par le courant multiplié par l'aire de la boucle. L'aire de la boucle peut être calculée à partir de l'aire du cercle. Le couple sur la boucle et l'énergie potentielle sont calculés à partir de l'identification du moment magnétique, du champ magnétique et de l'angle orientés dans le champ.

    Solution

    1. Le moment magnétique μ est calculé par le courant multiplié par la surface de la boucle ou\(\pi r^2\). \[\mu = IA = (2.0 \times 10^{-3} A)(\pi (0.02 \, m)^2) = 2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2\]
    2. Le couple et l'énergie potentielle sont calculés en identifiant le moment magnétique, le champ magnétique et l'angle entre ces deux vecteurs. Les calculs de ces quantités sont les suivants :\[\tau = \vec{\mu} \times \vec{B} = \mu B \, sin \, \theta = (2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2)(0.50 T) sin(30^o) = 6.3 \times 10^{-7}N \cdot m\]\[U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = - \mu B cos \theta = - (2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2)(0.50 T) cos (30^o) = -1.1 \times 10^{-6}J.\]

    L'importance

    Le concept de moment magnétique au niveau atomique est discuté dans le chapitre suivant. Le concept d'alignement du moment magnétique sur le champ magnétique est la fonctionnalité de dispositifs tels que les moteurs magnétiques, selon lesquels la commutation du champ magnétique externe entraîne une rotation constante de la boucle alors qu'elle essaie de s'aligner sur le champ afin de minimiser son énergie potentielle.

    Exercice\(\PageIndex{1}\)

    Dans quelle orientation un dipôle magnétique devrait-il être destiné à produire (a) un couple maximal dans un champ magnétique ? (b) Une énergie maximale du dipôle ?

    Solution

    a. aligné ou antialigné ; b. perpendiculaire

    Contributeurs et attributions

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