11.5 : Force magnétique sur un conducteur porteur de courant
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À la fin de cette section, vous serez en mesure de :
- Déterminez la direction dans laquelle un fil porteur de courant subit une force dans un champ magnétique externe
- Calculer la force exercée sur un fil porteur de courant dans un champ magnétique externe
Les charges mobiles subissent une force dans un champ magnétique. Si ces charges mobiles se trouvent dans un fil, c'est-à-dire si le fil transporte un courant, le fil doit également subir une force. Cependant, avant de discuter de la force exercée sur un courant par un champ magnétique, nous examinons d'abord le champ magnétique généré par un courant électrique. Nous étudions ici deux effets distincts qui interagissent étroitement : un fil porteur de courant génère un champ magnétique et le champ magnétique exerce une force sur le fil porteur de courant.
Champs magnétiques produits par des courants électriques
Lorsque nous avons discuté des découvertes historiques dans le domaine du magnétisme, nous avons mentionné la découverte d'Oersted selon laquelle un fil transportant un courant électrique provoquait la déflexion d'une boussole située à proximité. Une connexion a été établie selon laquelle les courants électriques produisent des champs magnétiques. (Ce lien entre l'électricité et le magnétisme est discuté plus en détail dans Sources de champs magnétiques.)
L'aiguille du compas située près du fil subit une force qui aligne l'aiguille tangente à un cercle autour du fil. Par conséquent, un fil porteur de courant produit des boucles circulaires de champ magnétique. Pour déterminer la direction du champ magnétique généré par un fil, nous utilisons une deuxième règle de la main droite. Dans le RHR-2, votre pouce pointe dans la direction du courant tandis que vos doigts enroulent le fil, pointant dans la direction du champ magnétique produit (Figure\(\PageIndex{1}\)). Si le champ magnétique venait vers vous ou sortait de la page, nous le représentons par un point. Si le champ magnétique pénétrait dans la page, nous le représentons par un ×.
Ces symboles proviennent de l'utilisation d'une flèche vectorielle : une flèche pointée vers vous, de votre point de vue, ressemblerait à un point ou à la pointe d'une flèche. Une flèche pointée loin de vous, de votre point de vue, ressemblerait à une croix ou à un ×. Un croquis composite des cercles magnétiques est illustré sur la figure\(\PageIndex{1}\), où l'intensité du champ diminue à mesure que vous vous éloignez du fil par des boucles plus éloignées.
Calcul de la force magnétique
Le courant électrique est un mouvement de charge ordonné. Un fil porteur de courant dans un champ magnétique doit donc subir une force due au champ. Pour étudier cette force, considérons la section infinitésimale du fil, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{3}\). La longueur et la section transversale de la section sont dl et A, respectivement, de sorte que son volume est\(V = A \cdot dl\). Le fil est formé à partir d'un matériau qui contient n porteurs de charge par unité de volume, de sorte que le nombre de porteurs de charge dans la section est de\(nA \cdot dl\). Si les porteurs de charge se déplacent avec\(\vec{v}_d\) la vitesse de dérive, le courant I dans le fil est (à partir du courant et de la résistance)
\[I = neAv_d.\]
La force magnétique sur n'importe quel support de charge est\(e\vec{v}_d \times \vec{B}\), de sorte que la force magnétique totale\(d\vec{F}\) sur les porteurs de\(nA\cdot dl\) charge dans la section du fil est
\[d\vec{F} = (nA \cdot dl)e\vec{v}_d \times \vec{B}.\]
Nous pouvons définir dl comme étant un vecteur de longueur dl pointant le long\(\vec{v}_d\), ce qui nous permet de réécrire cette équation comme
\[d\vec{F} = neAv_dd\vec{l} \times \vec{B},\]ou
\[d\vec{F} = Id\vec{l} \times \vec{B}. \label{11.12}\]
Il s'agit de la force magnétique exercée sur la section du fil. Notez qu'il s'agit en fait de la force nette exercée par le champ sur les porteurs de charge eux-mêmes. La direction de cette force est donnée par le RHR-1, où vous pointez vos doigts dans la direction du courant et les courbez vers le champ. Votre pouce pointe alors dans la direction de la force.
Pour déterminer la force magnétique\(\vec{F}\) sur un fil de longueur et de forme arbitraires, nous devons intégrer l'équation \ ref {11.12} sur l'ensemble du fil. Si la section du fil est droite et que B est uniforme, les différentiels de l'équation deviennent des quantités absolues, ce qui nous donne
\[\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}.\]
Il s'agit de la force exercée sur un fil droit porteur de courant dans un champ magnétique uniforme.
Un fil de 50 cm de long et de 10 g de masse est suspendu dans un plan horizontal par une paire de fils flexibles (Figure\(\PageIndex{3}\)). Le fil est ensuite soumis à un champ magnétique constant de magnitude 0,50 T, qui est dirigé comme indiqué. Quelles sont l'amplitude et la direction du courant dans le fil nécessaire pour éliminer la tension dans les fils de support ?
Stratégie
D'après le diagramme du corps libre de la figure, les tensions dans les fils de support atteignent zéro lorsque les forces gravitationnelles et magnétiques s'équilibrent. En utilisant le RHR-1, nous constatons que la force magnétique pointe vers le haut. On peut ensuite déterminer le courant I en assimilant les deux forces.
Solution
Faites correspondre les deux forces de poids et de force magnétique sur le fil :
\[mg = IlB.\]Ainsi,
\[I = \frac{mg}{lB} = \frac{(0.010 \, kg}{9.8 \, m/s^2)}{(0.50 \, m)(0.50 \, T)} = 0.39 \, A.\]
L'importance
Ce champ magnétique important crée une force importante sur une longueur de fil pour contrebalancer le poids du fil.
Un fil long et rigide situé le long de l'axe y transporte un courant de 5,0 A circulant dans la direction y positive. (a) Si un champ magnétique constant de magnitude 0,30 T est dirigé le long de l'axe X positif, quelle est la force magnétique par unité de longueur sur le fil ? (b) Si un champ magnétique constant de 0,30 T est dirigé à 30 degrés de l'axe + x vers l'axe + y, quelle est la force magnétique par unité de longueur sur le fil ?
Stratégie
La force magnétique sur un fil porteur de courant dans un champ magnétique est donnée par\(\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}\). Pour la partie a, étant donné que le courant et le champ magnétique sont perpendiculaires dans ce problème, nous pouvons simplifier la formule pour nous donner la magnitude et trouver la direction à travers le RHR-1. L'angle θ est de 90 degrés, ce qui signifie que la longueur peut\(sin \, \theta = 1.\) également être divisée vers la gauche pour trouver la force par unité de longueur. Pour la partie b, la durée actuelle est écrite en notation vectorielle unitaire, ainsi que le champ magnétique. Une fois le produit croisé pris, la directionnalité est mise en évidence par le vecteur unitaire obtenu.
Solution
- Nous commençons par la formule générale de la force magnétique sur un fil. Nous cherchons la force par unité de longueur, donc nous la divisons par la longueur pour l'amener vers la gauche. Nous avons également réglé\(sin \, \theta\). La solution est donc\[F = IlB \, sin \, \theta\]\[\frac{F}{l} = (5.0 \, A)(0.30 \, T)\]\[\frac{F}{l} = 1.5 \, N/m.\] la directionnalité : pointez vos doigts dans la direction positive y et courbez vos doigts dans la direction positive X. Votre pouce va pointer dans la\(-\vec{k}\) direction. Par conséquent, avec la directionnalité, la solution est\[\frac{\vec{F}}{l} = -1.5 \vec{k} \, N/m.\]
- La durée actuelle et le champ magnétique sont écrits en notation vectorielle unitaire. Ensuite, nous prenons le produit croisé pour trouver la force :\[\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B} = (5.0 A) l\hat{j} \times (0.30 T \, cos(30^o)\hat{i}\]\[\vec{F}/l = -1.30 \hat{k} \, N/m.\]
L'importance
Ce grand champ magnétique crée une force significative sur une petite longueur de fil. À mesure que l'angle du champ magnétique s'aligne de plus en plus avec le courant dans le fil, la force exercée sur celui-ci diminue, comme le montre la comparaison des parties a et b.
Un fil de cuivre droit et flexible est immergé dans un champ magnétique dirigé vers la page. (a) Si le courant du fil circule dans la direction + x, dans quel sens le fil sera-t-il plié ? (b) Dans quel sens le fil sera-t-il plié si le courant circule dans la direction — x ?
Solution
a. se penche vers le haut ; b. se courbe vers le bas
Une boucle de courant circulaire de rayon R transportant un courant I est placée dans le plan xy. Un champ magnétique uniforme constant traverse la boucle parallèlement à l'axe y (Figure\(\PageIndex{4}\)). Déterminez la force magnétique sur la moitié supérieure de la boucle, la moitié inférieure de la boucle et la force totale sur la boucle.
Stratégie
La force magnétique sur la boucle supérieure doit être écrite en termes de force différentielle agissant sur chaque segment de la boucle. Si nous intégrons chaque pièce différentielle, nous déterminons la force globale exercée sur cette section de la boucle. La force exercée sur la boucle inférieure est déterminée de la même manière, et la force totale est l'addition de ces deux forces.
Solution
Une force différentielle sur un morceau de fil arbitraire situé sur l'anneau supérieur est la suivante :
\[dF = I B \, sin \, \theta \, dl,\]où\(\theta\) est l'angle entre la direction du champ magnétique (+ y) et le segment de fil. Un segment différentiel est situé au même rayon, donc en utilisant une formule de longueur d'arc, nous avons :
\[dl = Rd\theta\]
\[dF = IBR \, sin \, \theta \, d\theta.\]
Afin de trouver la force sur un segment, nous intégrons sur la moitié supérieure du cercle, de 0 à\(\pi\). Cela se traduit par :
\[F = IBR \int_0^{\pi} sin \, \theta \, d\theta = IBR(-cos \pi + cos 0) = 2 IBR.\]
La moitié inférieure de la boucle est intégrée de 0\(\pi\) à zéro, ce qui nous donne :
\[F = IBR \int_{\pi}^0 sin \, \theta \, d\theta = IBR(-cos 0 + cos \pi) = -2 IBR.\]
La force nette est la somme de ces forces, qui est nulle.
L'importance
La force totale exercée sur toute boucle fermée dans un champ magnétique uniforme est nulle. Même si chaque partie de la boucle est soumise à une force, la force nette sur le système est nulle. (Notez qu'il existe un couple net sur la boucle, que nous examinerons dans la section suivante.)