8.E : Structure atomique (exercices)
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Questions conceptuelles
8.1 L'atome d'hydrogène
1. J'identifie la signification physique de chacun des nombres quantiques de l'atome d'hydrogène.
2. Décrivez l'état fondamental de l'hydrogène en termes de fonction d'onde, de densité de probabilité et d'orbitales atomiques.
3. Distinguer le modèle de l'atome d'hydrogène de Bohr et celui de Schrödinger. Comparez en particulier l'énergie et le moment cinétique orbital des états fondamentaux.
8.2 Moment dipolaire magnétique orbital de l'électron
4. Expliquez pourquoi les raies spectrales de l'atome d'hydrogène sont séparées par un champ magnétique externe. Qu'est-ce qui détermine le nombre et l'espacement de ces lignes ?
5. Un atome d'hydrogène est placé dans un champ magnétique. Parmi les quantités suivantes, lesquelles sont concernées ?
a) énergie totale ;
b) moment cinétique ;
(c) composante z du moment cinétique ;
(d) angle polaire.
6. De quels facteurs dépend le moment dipolaire magnétique orbital d'un électron ?
8.3 Spin des électrons
7. Expliquez comment un atome d'hydrogène à l'état fondamental\(\displaystyle (l=0)\) peut interagir magnétiquement avec un champ magnétique externe.
8. Comparez le moment cinétique orbital avec le moment cinétique de spin d'un électron dans l'atome d'hydrogène.
9. Listez toutes les valeurs possibles de s et\(\displaystyle m_s\) pour un électron. Y a-t-il des particules pour lesquelles ces valeurs sont différentes ?
10. Les moments cinétiques sont-ils des vecteurs\(\displaystyle \vec{L}\) et sont-ils\(\displaystyle \vec{S}\) nécessairement alignés ?
11. Qu'est-ce que le couplage spin-orbite ?
8.4 Le principe d'exclusion et le tableau périodique
12. Quel est le principe d'exclusion de Pauli ? Expliquez l'importance de ce principe pour comprendre la structure atomique et les liaisons moléculaires.
13. Comparez les configurations électroniques des éléments de la même colonne du tableau périodique.
14. Comparez les configurations électroniques des éléments qui appartiennent à la même ligne du tableau périodique des éléments.
8.5 Spectres atomiques et rayons X
15. Les spectres atomiques et moléculaires sont discrets. Que signifie discret et comment les spectres discrets sont-ils liés à la quantification de l'énergie et des orbites électroniques dans les atomes et les molécules ?
16. Discutez du processus d'absorption de la lumière par la matière en termes de structure atomique du milieu absorbant.
17. Le NGC1763 est une nébuleuse d'émission située dans le Grand Nuage de Magellan, juste à l'extérieur de notre galaxie de la Voie lactée. La lumière ultraviolette des étoiles chaudes ionise les atomes d'hydrogène de la nébuleuse. Lorsque les protons et les électrons se recombinent, de la lumière dans le domaine visible est émise. Comparez les énergies des photons impliqués dans ces deux transitions.
18. Pourquoi les rayons X sont-ils émis uniquement pour les transitions d'électrons vers les coques internes ? Quel type de photon est émis lors des transitions entre les coques extérieures ?
19. En quoi les orbites autorisées pour les électrons des atomes diffèrent-elles de celles autorisées pour les planètes autour du soleil ?
8.6 Lasers
20. Distinguer la lumière cohérente de la lumière monochromatique.
21. Pourquoi un état métastable est-il nécessaire à la production de lumière laser ?
22. En quoi la lumière d'une ampoule à incandescence diffère-t-elle de la lumière laser ?
23. Comment un lecteur Blu-Ray peut-il lire plus d'informations qu'un lecteur CD ?
24. Quelles sont les similitudes et les différences entre un lecteur CD et un lecteur Blu-Ray ?
Problèmes
8.1 L'atome d'hydrogène
25. La fonction d'onde est évaluée à des coordonnées rectangulaires\(\displaystyle (x,y,z)\) = (2, 1, 1) en unités arbitraires. Quelles sont les coordonnées sphériques de cette position ?
26. Si un atome possède un électron dans l'\(\displaystyle n=5\)état avec\(\displaystyle m=3\), quelles sont les valeurs possibles de l ?
27. Quelles sont les valeurs possibles de m pour un électron dans\(\displaystyle n=4\) cet état ?
28. Quelles contraintes, le cas échéant, une valeur\(\displaystyle m=1\) place sur les autres nombres quantiques pour un électron dans un atome ?
29. Combien d'états sont possibles pour l'état l = 4 ?
30. (a) Combien d'angles L peut-il former avec l'axe Z pour un\(\displaystyle l=2\) électron ?
(b) Calculez la valeur du plus petit angle.
31. La force exercée sur un électron est « négative par rapport au gradient de la fonction énergétique potentielle ». Utilisez ces connaissances et l'équation 8.1 pour montrer que la force exercée sur l'électron d'un atome d'hydrogène est donnée par la loi de force de Coulomb.
32. Quel est le nombre total d'états ayant un moment cinétique orbital\(\displaystyle l=0\) ? (Ignorez le spin des électrons.)
33. La fonction d'onde est évaluée à des coordonnées sphériques\(\displaystyle (r,θ,ϕ)=(\sqrt{3},45°,45°)\), où la valeur de la coordonnée radiale est donnée en unités arbitraires. Quelles sont les coordonnées rectangulaires de cette position ?
34. La loi de force de Coulomb stipule que la force entre deux particules chargées est :\(\displaystyle F=k\frac{Qq}{r^2}\). Utilisez cette expression pour déterminer la fonction énergétique potentielle.
35. Ecrivez une expression pour le nombre total d'états avec un moment cinétique orbital l.
36. Considérez l'hydrogène à l'état fondamental,\(\displaystyle ψ_{100}\).
(a) Utilisez la dérivée pour déterminer la position radiale pour laquelle la densité de probabilité est maximale.\(\displaystyle P(r)\)
(b) Utiliser le concept intégral pour déterminer la position radiale moyenne. (C'est ce que l'on appelle la valeur attendue de la position radiale de l'électron.) Exprimez vos réponses en termes de rayon de Bohr,\(\displaystyle a_o\). Conseil : La valeur attendue est la juste valeur moyenne.
(c) Pourquoi ces valeurs sont-elles différentes ?
37. Quelle est la probabilité que l'électron 1s d'un atome d'hydrogène se trouve en dehors du rayon de Bohr ?
38. Combien d'angles polaires sont possibles pour un électron dans\(\displaystyle l=5\) cet État ?
39. Quel est le nombre maximum d'états électroniques du moment cinétique orbital dans la\(\displaystyle n=2\) coque d'un atome d'hydrogène ? (Ignorez le spin des électrons.)
40. Quel est le nombre maximum d'états électroniques du moment cinétique orbital dans la\(\displaystyle n=3\) coque d'un atome d'hydrogène ? (Ignorez le spin des électrons.)
8.2 Moment dipolaire magnétique orbital de l'électron
41. Détermine l'amplitude du moment dipolaire magnétique orbital de l'électron à l'état 3p. (Exprimez votre réponse en termes de\(\displaystyle μ_B\))
42. Un courant\(\displaystyle I=2A\) circule à travers un fil de forme carrée de 2 cm de côté. Quel est le moment magnétique du fil ?
43. Estimez le rapport entre le moment magnétique des électrons et le moment magnétique des muons pour le même état de moment cinétique orbital. (Astuce :\(\displaystyle m_μ=105.7MeV/c^2\))
44. Détermine l'amplitude du moment dipolaire magnétique orbital de l'électron à l'état 4d. (Exprimez votre réponse en termes de μB.μB.)
45. Pour un électron 3D dans un champ magnétique externe de\(\displaystyle 2.50×10^{−3}T\), trouvez (a) le courant associé au moment cinétique orbital et (b) le couple maximal.
46. Un électron d'un atome d'hydrogène est dans\(\displaystyle n=5, l=4\) cet état. Détermine le plus petit angle que fait le moment magnétique avec l'axe Z. (Exprimez votre réponse en termes de\(\displaystyle μ_B\).)
47. Déterminez l'amplitude de couple minimale\(\displaystyle |\vec{τ}|\) qui agit sur le dipôle magnétique orbital d'un électron 3 p dans un champ magnétique externe de\(\displaystyle 2.50×10^{−3}T\).
48. Un électron d'un atome d'hydrogène est à l'état 3 p. Détermine le plus petit angle que fait le moment magnétique avec l'axe Z. (Exprimez votre réponse en termes de\(\displaystyle μ_B\).)
49. Montre ça\(\displaystyle U=−\vec{μ}⋅\vec{B}\). (Conseil : Un travail infinitésimal est effectué pour aligner le moment magnétique sur le champ extérieur. Cette œuvre fait pivoter le vecteur du moment magnétique d'un angle\(\displaystyle −dθ\) (vers la direction z positive), où\(\displaystyle dθ\) se produit un changement d'angle positif.)
8.3 Spin des électrons
50. Quelle est l'amplitude du moment de spin d'un électron ? (Exprimez votre réponse en termes de\(\displaystyle ℏ\).)
51. Quelles sont les orientations polaires possibles du vecteur de moment de spin d'un électron ?
52. Pour\(\displaystyle n=1\), écrivez tous les ensembles possibles de nombres quantiques\(\displaystyle (n, l, m, m_s)\).
53. Un atome d'hydrogène est placé dans un champ magnétique uniforme externe (\(\displaystyle B=200T\)). Calculez la longueur d'onde de la lumière produite lors d'une transition entre un état de spin ascendant et un état de spin down
54. Si le champ magnétique du problème précédent est quadruplé, qu'advient-il de la longueur d'onde de la lumière produite lors de la transition entre un état de spin ascendant et un état de spin down ?
55. Si le moment magnétique dans le problème précédent est doublé, qu'advient-il de la fréquence de la lumière produite lors de la transition entre un état de spin-up et un état de spin-down ?
56. Pour\(\displaystyle n=2\), écrivez tous les ensembles possibles de nombres quantiques\(\displaystyle (n, l, m, m_s)\).
8.4 Le principe d'exclusion et le tableau périodique
57. (a) Combien d'électrons peuvent se trouver dans la\(\displaystyle n=4\) coque ?
(b) Quelles sont ses sous-couches et combien d'électrons peuvent se trouver dans chacune d'elles ?
58. (a) Quelle est la valeur minimale de l pour une sous-couche contenant 11 électrons ?
(b) Si cette sous-couche se trouve dans la\(\displaystyle n=5\) coque, quelle est la notation spectroscopique de cet atome ?
59. Résultat déraisonnable. Parmi les notations spectroscopiques suivantes, lesquelles ne sont pas autorisées ?
(a)\(\displaystyle 5s^1\)
(b)\(\displaystyle 1d^1\)
(c)\(\displaystyle 4s^3\)
(d)\(\displaystyle 3p^7\)
(e)\(\displaystyle 5g^{15}\)
Indiquez quelle règle est violée pour chaque notation non autorisée.
60. Ecrivez la configuration électronique du potassium.
61. Écrivez la configuration électronique du fer.
62. L'électron de valence du potassium est excité jusqu'à l'état 5d.
(a) Quelle est l'amplitude du moment cinétique orbital de l'électron ?
(b) Combien d'États sont possibles dans une direction choisie ?
63. (a) Si une sous-couche d'un atome contient neuf électrons, quelle est la valeur minimale de l ?
(b) Quelle est la notation spectroscopique de cet atome, si cette sous-couche fait partie de la\(\displaystyle n=3\) coque ?
64. Ecrivez la configuration électronique du magnésium.
65. Ecrivez la configuration électronique du carbone.
66. Les magnitudes des spins résultants des électrons des éléments B à Ne lorsqu'ils sont à l'état fondamental sont de :\(\displaystyle \sqrt{3}ℏ/2,\sqrt{2}ℏ, \sqrt{15}ℏ/2,\sqrt{2}ℏ, \sqrt{3}ℏ/2,\) et 0, respectivement. Soutenez que ces rotations sont conformes à la règle de Hund.
8.5 Spectres atomiques et rayons X
67. Quelle est la fréquence minimale d'un photon requise pour s'ioniser :
a) un\(\displaystyle He^+\) ion à l'état fondamental ?
(b) Un\(\displaystyle Li^{2+}\) ion dans son premier état excité ?
68. L'ion\(\displaystyle Li^{2+}\) effectue une transition atomique d'un\(\displaystyle n=4\) état à un\(\displaystyle n=2\) état.
(a) Quelle est l'énergie du photon émis pendant la transition ?
(b) Quelle est la longueur d'onde du photon ?
69. La lumière rouge émise par un laser à rubis a une longueur d'onde de 694,3 nm. Quelle est la différence d'énergie entre l'état initial et l'état final correspondant à l'émission de lumière ?
70. La lumière jaune d'un lampadaire à vapeur de sodium est produite par la transition d'atomes de sodium d'un état 3 p à un état 3 s. Si la différence d'énergie entre ces deux états est de 2,10 eV, quelle est la longueur d'onde de la lumière jaune ?
71. Estimez la longueur d'onde des\(\displaystyle K_α\) rayons X à partir du calcium.
72. Estimez la fréquence des\(\displaystyle K_α\) rayons X du césium.
73. Les rayons X sont produits en frappant une cible avec un faisceau d'électrons. Avant de toucher la cible, les électrons sont accélérés par un champ électrique à travers une différence d'énergie potentielle :\(\displaystyle ΔU=−eΔV\), où e est la charge d'un électron et\(\displaystyle ΔV\) est la différence de tension. En\(\displaystyle ΔV=15,000\) volts, quelle est la longueur d'onde minimale du rayonnement émis ?
74. Pour le problème précédent, qu'advient-il de la longueur d'onde minimale si la tension aux bornes du tube à rayons X est doublée ?
75. Supposons que l'expérience du problème précédent soit menée avec des muons. Qu'arrive-t-il à la longueur d'onde minimale ?
76. Un tube à rayons X accélère un électron avec une tension appliquée de 50 kV vers une cible métallique.
a) Quel est le rayonnement X de la plus courte longueur d'onde généré sur la cible ?
(b) Calculez l'énergie des photons en eV.
(c) Expliquer la relation entre l'énergie des photons et la tension appliquée.
77. Un tube de télévision couleur produit des rayons X lorsque son faisceau d'électrons frappe l'écran. Quelle est la longueur d'onde la plus courte de ces rayons X, si un potentiel de 30,0 kV est utilisé pour accélérer les électrons ? (Notez que les téléviseurs sont protégés pour empêcher ces rayons X d'exposer les spectateurs.)
78. Un tube à rayons X a une tension appliquée de 100 kV.
(a) Quel est le photon X le plus énergétique qu'il puisse produire ? Exprimez votre réponse en électronvolts et en joules.
(b) Déterminez la longueur d'onde d'un tel rayon X.
79. L'énergie photonique caractéristique maximale des rayons X provient de la capture d'un électron libre dans une lacune de couche K. Quelle est cette énergie photonique en keV pour le tungstène, en supposant que l'électron libre n'a pas d'énergie cinétique initiale ?
80. Quelles sont les énergies approximatives des\(\displaystyle K_β\) rayons X\(\displaystyle K_α\) et pour le cuivre ?
81. Comparez les longueurs d'onde des photons X pour le cuivre et l'or.
82. Les énergies approximatives des\(\displaystyle K_β\) rayons X\(\displaystyle K_α\) et pour le cuivre sont\(\displaystyle E_{K_α}=8.00keV\) et\(\displaystyle E_{K_β}=9.48keV\), respectivement. Déterminez le rapport entre les fréquences des rayons X de l'or et du cuivre, puis utilisez cette valeur pour estimer les énergies\(\displaystyle K_α\) et\(\displaystyle K_β\) les rayons X correspondants de l'or.
8.6 Lasers
83. Un laser au dioxyde de carbone utilisé en chirurgie émet un rayonnement infrarouge d'une longueur d'onde de\(\displaystyle 10.6μm\). En 1 ms, ce laser a élevé la température\(\displaystyle 1.00cm^3\) de la chair\(\displaystyle 100°C\) et l'a évaporée.
a) Combien de photons étaient nécessaires ? Vous pouvez supposer que la chair a la même chaleur de vaporisation que l'eau.
(b) Quelle était la puissance de sortie minimale pendant le flash ?
84. Un laser excimère utilisé pour la correction de la vision émet un rayonnement UV d'une longueur d'onde de 193 nm.
(a) Calculez l'énergie des photons en eV.
(b) Ces photons sont utilisés pour évaporer le tissu cornéen, dont les propriétés sont très similaires à celles de l'eau. Calculez la quantité d'énergie nécessaire par molécule d'eau pour faire passer la phase liquide à la phase gazeuse. C'est-à-dire diviser la chaleur de vaporisation en kJ/kg par le nombre de molécules d'eau par kilogramme.
(c) Convertissez-le en eV et comparez-le à l'énergie des photons. Discutez des implications.
Problèmes supplémentaires
85. Pour un atome d'hydrogène dans un état excité avec le nombre quantique principal n, montrez que le plus petit angle que le vecteur de moment cinétique orbital peut faire par rapport à l'axe z est\(\displaystyle θ=cos^{−1}(\sqrt{\frac{n−1}{n}})\).
86. Quelle est la probabilité que l'électron 1 s d'un atome d'hydrogène soit trouvé entre\(\displaystyle r=0\) et\(\displaystyle r=∞\) ?
87. Esquissez la fonction énergétique potentielle d'un électron dans un atome d'hydrogène.
(a) Quelle est la valeur de cette fonction\(\displaystyle r=0\) ? dans la limite\(\displaystyle r=∞\) ?
(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable ou incompatible avec le premier résultat ?
88. Détermine la valeur du\(\displaystyle l\) nombre quantique du moment cinétique orbital pour la Lune autour de la Terre.
89. Montrez que le nombre maximum d'états électroniques du moment cinétique orbital dans la nième couche d'un atome est de\(\displaystyle n^2\). (Ignorez le spin des électrons.) (Conseil : Dressez un tableau du nombre total d'états du moment cinétique orbital pour chaque coque et trouvez le schéma.)
90. Quelle est l'amplitude d'un moment magnétique électronique ?
91. Quel est le nombre maximum d'états électroniques dans la\(\displaystyle n=5\) coque ?
92. Un atome d'hydrogène à l'état fondamental est placé dans un champ magnétique uniforme, et un photon est émis lors de la transition entre un état de spin-up et un état de spin-down. La longueur d'onde du photon est\(\displaystyle 168μm\). Quelle est l'intensité du champ magnétique ?
93. Montrez que le nombre maximum d'états électroniques dans la nième couche d'un atome est de\(\displaystyle 2n^2\).
94. L'électron de valence du chlore est excité jusqu'à l'état 3 p.
(a) Quelle est l'amplitude du moment cinétique orbital de l'électron ?
(b) Quelles sont les valeurs possibles pour la composante z de la mesure angulaire ?
95. Parmi les notations suivantes, lesquelles sont autorisées (c'est-à-dire qui ne violent aucune des règles concernant les valeurs des nombres quantiques) ?
a)\(\displaystyle 1s^1\) ;
b)\(\displaystyle 1d^3\) ;
c)\(\displaystyle 4s^2\) ;
d)\(\displaystyle 3p^7\) ;
(e)\(\displaystyle 6h^{20}\)
96. L'ion\(\displaystyle Be^{3+}\) effectue une transition atomique d'un\(\displaystyle n=3\) état à un\(\displaystyle n=2\) état.
(a) Quelle est l'énergie du photon émis pendant la transition ?
(b) Quelle est la longueur d'onde du photon ?
97. L'énergie photonique caractéristique maximale des rayons X provient de la capture d'un électron libre dans une lacune de couche K. Quelle est cette fréquence de photons pour le tungstène, en supposant que l'électron libre n'a pas d'énergie cinétique initiale ?
98. Dérivez une expression pour le rapport de la fréquence des photons X pour deux éléments avec des numéros atomiques\(\displaystyle Z_1\) et\(\displaystyle Z_2\).
99. Comparez les longueurs d'onde des photons X pour le cuivre et l'argent.
100. a) Quelle tension doit être appliquée à un tube à rayons X pour obtenir des rayons X d'une longueur d'onde de 0,0100 fm destinés à l'exploration des détails des noyaux ?
(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?
(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?
101. Un étudiant d'un laboratoire de physique observe un spectre d'hydrogène à l'aide d'un réseau de diffraction dans le but de mesurer les longueurs d'onde du rayonnement émis. Dans le spectre, elle observe une raie jaune et trouve que sa longueur d'onde est de 589 nm.
(a) En supposant que cela fait partie de la série Balmer\(\displaystyle n_i\), déterminez le principal nombre quantique de l'état initial.
(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?
(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?