1.7 : Principe de Huygens

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Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

Décrivez le principe de Huygens
Utilisez le principe de Huygens pour expliquer la loi de la réflexion
Utilisez le principe de Huygens pour expliquer la loi de réfraction
Utilisez le principe de Huygens pour expliquer la diffraction

Jusqu'à présent, dans ce chapitre, nous avons discuté des phénomènes optiques en utilisant le modèle des rayons de la lumière. Cependant, certains phénomènes nécessitent une analyse et des explications basées sur les caractéristiques des ondes de la lumière. Cela est particulièrement vrai lorsque la longueur d'onde n'est pas négligeable par rapport aux dimensions d'un dispositif optique, comme une fente en cas de diffraction. Le principe de Huygens est un outil indispensable pour cette analyse.

La figure\(\PageIndex{1}\) montre à quoi ressemble une onde transversale vue de dessus et de côté. On peut imaginer qu'une onde lumineuse se propage ainsi, bien que nous ne la voyions pas réellement se tortiller dans l'espace. D'en haut, nous observons les fronts des vagues (ou crêtes des vagues) comme si nous regardions les vagues de l'océan. La vue latérale serait un graphique du champ électrique ou magnétique. La vue d'en haut est peut-être plus utile pour développer des concepts sur l'optique des ondes.

Trois figures contiennent trois vues d'une vague. La première est une vue d'en haut. L'onde se propage vers la droite et se présente sous la forme d'une série de bandes verticales qui alternent progressivement de l'obscurité à la lumière et se répètent. La vue suivante est une vue de côté. L'onde se propage à nouveau vers la droite et apparaît sous la forme d'une courbe sinusoïdale oscillant au-dessus et en dessous d'une flèche noire pointant vers la droite qui sert d'axe horizontal. La troisième est une vue d'ensemble. Il s'agit d'une vue en perspective d'une onde de la même longueur d'onde que dans les deux premières images et ressemble à une surface ondulée. — Figure\(\PageIndex{1}\) : Une onde transversale, telle qu'une onde lumineuse électromagnétique, vue de dessus et de côté. La direction de propagation est perpendiculaire aux fronts d'ondes (ou crêtes d'onde) et est représentée par un rayon.

Le scientifique néerlandais Christiaan Huygens (1629-1695) a développé une technique utile pour déterminer en détail comment et où les ondes se propagent. Partant d'une position connue, le principe de Huygens stipule que chaque point d'un front d'onde est une source d'ondelettes qui se propagent vers l'avant à la même vitesse que l' onde elle-même. Le nouveau front d'onde est tangent à toutes les ondelettes.

La figure\(\PageIndex{2}\) montre comment le principe de Huygens est appliqué. Un front de vague est le bord long qui se déplace, par exemple, avec la crête ou le creux. Chaque point du front d'onde émet une onde semi-circulaire qui se déplace à la vitesse de propagation\(v\). Nous pouvons dessiner ces ondelettes\(t\) plus tard, afin qu'elles se soient déplacées d'une certaine distance\(s=vt\). Le nouveau front d'onde est un plan tangent aux ondelettes et c'est là que l'on peut s'attendre à ce que la vague se trouve un certain temps\(t\) plus tard. Le principe de Huygens fonctionne pour tous les types de vagues, y compris les vagues d'eau, les ondes sonores et les ondes lumineuses. Il est utile non seulement pour décrire la façon dont les ondes lumineuses se propagent, mais aussi pour expliquer les lois de la réflexion et de la réfraction. De plus, nous verrons que le principe de Huygens nous indique comment et où les rayons lumineux interfèrent.

Cette figure montre deux lignes verticales droites, la ligne de gauche étant désignée ancien front de vague et la ligne de droite étiquetée nouveau front de vague. Au centre de l'image, une flèche noire horizontale traverse les deux lignes et pointe vers la droite. L'ancienne ligne de front des vagues passe par six points régulièrement espacés, dont quatre points au-dessus de la flèche noire et quatre points en dessous de la flèche noire. Chaque point sert de centre au demi-cercle correspondant, et les huit demi-cercles ont tous la même taille. Le nouveau front de vague est tangent au bord droit des demi-cercles. L'un des points centraux possède une flèche radiale pointant vers un point du demi-cercle correspondant. Cette flèche radiale est étiquetée s égale à v t. — Figure\(\PageIndex{2}\) : Le principe de Huygens appliqué à un front d'onde droit. Chaque point du front d'onde émet une ondelette semi-circulaire qui se déplace sur une distance s=vt. Le nouveau front d'onde est une ligne tangente aux ondelettes.

Réflexion

La figure\(\PageIndex{3}\) montre comment un miroir réfléchit une onde entrante à un angle égal à l'angle incident, en vérifiant la loi de réflexion. Lorsque le front d'onde frappe le miroir, des ondelettes sont d' abord émises par la partie gauche du miroir, puis par la droite. Les ondelettes les plus proches de la gauche ont eu le temps de se déplacer plus loin, produisant un front d'onde se déplaçant dans la direction indiquée.

La figure montre une grille de quatre rayons horizontaux, parallèles et équidistants qui se produisent sur un miroir incliné à quarante-cinq degrés par rapport aux rayons. Les rayons sont réfléchis vers le bas depuis le miroir. Deux rayons réfléchis supplémentaires sont inclus à partir des rayons incidents au-dessus de ceux illustrés sur la figure. Des points sont dessinés aux intersections des rayons incidents et réfléchis. Les demi-cercles orientés vers la droite représentant les ondelettes incidentes et les demi-cercles orientés vers le bas pour les ondelettes réfléchissantes sont centrés sur les points. — Figure\(\PageIndex{3}\) : Principe de Huygens appliqué à un front d'onde plane heurtant un miroir. Les ondelettes affichées ont été émises lorsque chaque point du front d'onde a heurté le miroir. La tangente à ces ondelettes indique que le nouveau front d'onde a été réfléchi selon un angle égal à l'angle incident. La direction de propagation est perpendiculaire au front d'onde, comme le montrent les flèches pointant vers le bas.

Réfraction

La loi de réfraction peut être expliquée en appliquant le principe de Huygens à un front d'onde passant d'un milieu à un autre (Figure\(\PageIndex{4}\)). Chaque ondelette de la figure a été émise lorsque le front d'onde a traversé l'interface entre les supports. Comme la vitesse de la lumière est plus faible dans le second milieu, les ondes ne se déplacent pas aussi loin dans un temps donné et le nouveau front d'onde change de direction comme indiqué. Cela explique pourquoi un rayon change de direction pour se rapprocher de la perpendiculaire lorsque la lumière ralentit. La loi de Snell peut être dérivée de la géométrie de la figure\(\PageIndex{5}\) (exemple\(\PageIndex{1}\)).

La figure montre deux supports séparés par une ligne horizontale étiquetée surface. Le milieu supérieur est étiqueté milieu un et le milieu inférieur est marqué milieu deux. Dans le milieu 1, un rayon est incident à la surface, se déplaçant vers le bas et vers la droite. Une ligne pointillée verticale, perpendiculaire à la surface, est tracée à travers les deux supports où le rayon atteint la surface. Le rayon réfracté se courbe vers le bas, vers cette ligne pointillée où il entre dans le milieu deux. La trajectoire du rayon forme un angle thêta sous un avec la ligne pointillée dans le milieu 1 et un angle thêta sous-deux avec la ligne pointillée dans le milieu deux, où le sous-thêta deux est inférieur au sous-un thêta. Les segments de ligne, appelés front d'onde, sont tracés perpendiculairement au rayon incident et au rayon réfracté. Ces segments de ligne sont espacés de manière égale dans chaque support, mais les trois segments de ligne du milieu 1 sont plus espacés que les trois segments de ligne du milieu 2. La séparation de ces segments de droite dans le milieu 1 est étiquetée v sub un t et la séparation dans le milieu 2 est étiquetée v sub two t, v sub two t étant inférieur à v sub un t. — Figure\(\PageIndex{4}\) : Principe de Huygens appliqué à un front d'onde plan se déplaçant d'un milieu à un autre, où sa vitesse est moindre. Le rayon se courbe vers la perpendiculaire, car les ondelettes ont une vitesse plus faible dans le second milieu.

Exemple\(\PageIndex{1}\) : dérivation de la loi de réfraction

En examinant la géométrie des fronts d'onde, dérivez la loi de réfraction.

Stratégie

Considérez Figure\(\PageIndex{5}\), qui développe Figure \(\PageIndex{4}\). Il montre que le front d'onde incident atteint juste la surface au point A, alors que le point B se trouve encore bien en deçà du milieu 1. Dans le temps\(Δt\) qu'il faut à une ondelette pour\(B\) atteindre\(B'\) la surface à grande vitesse\(v_1=c/n_1\), une ondelette de\(A\) se déplace dans le milieu 2 sur une distance de \(AA'=v_2Δt\), où\(v_2=c/n_2\). Notez que dans cet exemple, \(v_2\) est plus lent que\(v_1\) parce que\(n_1<n_2\).

Cette figure illustre la géométrie de la réfraction des rayons et des fronts d'ondes. Une surface horizontale est présente entre le milieu 1, d'indice de réfraction n 1, et le milieu 2, d'indice de réfraction n 2. Un rayon incident est représenté en provenance du milieu 1 vers le milieu 2. Il touche la surface au point A et se réfracte vers la normale dans le milieu 2. Une ligne, appelée front d'onde incident, est tracée à partir du point A s'étendant à l'opposé de la surface, perpendiculairement au rayon incident. L'angle entre le front d'onde incident et la surface est thêta 1. Un second rayon incident est dessiné parallèlement au premier. Ce rayon croise le front d'onde incident en un point marqué B et frappe la surface en un point marqué comme B prime. Une ligne pointillée est tracée perpendiculairement à la surface au point B prime. L'angle entre cette ligne perpendiculaire et le second rayon est également thêta. Le triangle formé par A, B et B prime est un triangle droit avec un angle thêta un en A et un angle droit en B. Les rayons réfractés en A et B prime se courbent vers le bas, vers les perpendiculaires vers le bas à la surface, formant un angle de thêta deux avec la direction verticale. Le front d'onde réfracté qui est perpendiculaire aux rayons réfractés et qui frappe la surface à B prime est dessiné. Ce front d'onde atteint la réfraction du premier rayon incident en un point marqué A prime et forme un angle thêta deux avec la surface. — Figure\(\PageIndex{5}\) : Géométrie de la loi de réfraction du milieu 1 au milieu 2.

Solution

Le segment de la surface AB' est partagé à la fois par le triangle ABB' à l'intérieur du milieu 1 et par le triangle AA'B' à l'intérieur du milieu 2. Notez que d'après la géométrie, l'angle BAB' est égal à l'angle d' incidence,\(θ_1\). De même,\(∠AB'A'\) est\(θ_2\).

La longueur de AB' est donnée de deux manières

\ [AB'= \ dfrac {BB'} {\ sin θ_1} = \ dfrac {AA'} {\ sin θ_2}. \ aucun numéro \]

En inversant l'équation et en substituant AA'=Cδt/N ₂ par le haut et de manière similaire\(BB'=cΔt/n_1\), nous obtenons

\ [\ dfrac {\ sin θ_1} {c \ Delta t/n_1} = \ dfrac {\ sin θ_2} {c \ Delta t/n_2}. \ aucun numéro \]

L'annulation de nous\(cΔt\) permet de simplifier cette équation dans sa forme familière

\ [\ underbrace {n_1 \ sin θ_1=n_2 \ sin θ_2} _ {\ text {Loi de Snell}}. \ aucun numéro \]

L'importance

Bien que la loi de réfraction ait été établie expérimentalement par Snell, sa dérivation nécessite ici le principe de Huygens et la compréhension que la vitesse de la lumière est différente selon les milieux.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Dans Exemple\(\PageIndex{1}\), nous avions\(n_1<n_2\). Si\(n_2\) nous diminuions de telle sorte que\(n_1>n_2\) la vitesse de la lumière dans le milieu 2 soit plus rapide que dans le milieu 1, qu'arriverait-il à la longueur de AA' ? Qu'adviendrait-il du front d'onde A'B' et de la direction du rayon réfracté ?

Réponse: AA′ s'allonge, A'B' s'éloigne de la surface et le rayon réfracté s'éloigne de la normale.

Cet applet de Walter Fendt montre une animation de réflexion et de réfraction à l'aide des ondelettes de Huygens pendant que vous contrôlez les paramètres. Assurez-vous de cliquer sur « Étape suivante » pour afficher les ondelettes. Vous pouvez voir les fronts d'ondes réfléchis et réfractés se former.

Diffraction

Que se passe-t-il lorsqu'une vague traverse une ouverture, telle que la lumière qui traverse une porte ouverte et pénètre dans une pièce sombre ? Pour ce qui est de la lumière, nous observons une ombre nette de la porte sur le sol de la pièce, et aucune lumière visible ne se courbe dans les coins vers d'autres parties de la pièce. Lorsque le son passe par une porte, nous l'entendons partout dans la pièce et observons ainsi que le son se répand lorsqu'il passe par une telle ouverture (Figure\(\PageIndex{6}\)). Quelle est la différence entre le comportement des ondes sonores et celui des ondes lumineuses dans ce cas ? La réponse est que la lumière a de très courtes longueurs d'onde et agit comme un rayon. Le son a des longueurs d'onde de l'ordre de la taille de la porte et se courbe dans les coins (pour une fréquence de 1000 Hz,

\ [\ lambda = \ dfrac {c} {f} = \ dfrac {330 \, m/s} {1000 \, s^ {−1}} =0,33 \, m, \ nonnumber \]

environ trois fois plus petite que la largeur de la porte).

La figure a est une vue de dessus d'un schéma d'un mur dans lequel se trouve une porte ouverte. Le mur s'étend du bas du schéma vers le haut et la porte forme un espace dans le mur. La porte elle-même est ouverte vers la gauche et se trouve à environ quarante-cinq degrés du mur sur lequel elle pivote. De la lumière, étiquetée petit lambda, provient du côté gauche du mur. Une partie de la lumière passe par la porte ouverte. La lumière qui passe à travers la porte présente des arêtes vives, correspondant à des ombres droites au-dessus et en dessous. La porte ouverte crée également une ombre droite entre elle et le mur. La partie b de la figure montre un schéma similaire. Une ligne parallèle au mur s'approche du mur par la gauche et est étiquetée front d'onde plane du son. Il y a cinq points répartis uniformément sur la porte ouverte, étiquetés de un à cinq. Des demi-cercles apparaissent à droite de ces points qui entrent dans la pièce à droite du mur. Entre crochets tous ces demi-cercles se trouve une ligne qui a la forme d'un crochet de fermeture aux coins arrondis. Cette ligne est étiquetée son. Cinq rayons pointent de la ligne de fixation vers la pièce située à droite du mur. Trois de ces rayons pointent horizontalement vers la droite, un rayon pointe vers le haut et vers la droite, et le dernier rayon pointe vers le bas et vers la droite. Ce dernier rayon pointe vers l'oreille d'une personne que nous voyons d'en haut et qui est étiquetée « auditeur » entend le son au coin de la rue. — Figure\(\PageIndex{6}\) : (a) La lumière traversant une porte dessine clairement le sol. Comme la longueur d'onde de la lumière est très petite par rapport à la taille de la porte, elle agit comme un rayon. (b) Les ondes sonores se déforment dans toutes les parties de la pièce, ce qui crée un effet d'onde, car leur longueur d'onde est similaire à la taille de la porte.

Si nous faisons passer la lumière à travers des ouvertures plus petites telles que des fentes, nous pouvons utiliser le principe de Huygens pour voir que la lumière se courbe comme le son (Figure\(\PageIndex{7}\)). La flexion d'une onde autour des bords d'une ouverture ou d'un obstacle est appelée diffraction. La diffraction est une caractéristique des ondes qui se produit pour tous les types d'ondes. Si une diffraction est observée pour un phénomène, cela prouve qu'il s'agit d'une onde. Ainsi, la diffraction horizontale du faisceau laser après son passage à travers les fentes de la figure montre\(\PageIndex{7}\) que la lumière est une onde.

La figure montre trois diagrammes illustrant les vagues qui se propagent lorsqu'elles traversent des ouvertures de différentes tailles. Chaque illustration est une vue de dessus et les fronts d'ondes planaires incidents sont représentés par des lignes verticales. La longueur d'onde, lambda, est la distance entre les lignes adjacentes et est la même dans les trois diagrammes. Le premier diagramme montre les fronts d'onde passant par une ouverture qui est large par rapport à la longueur d'onde. Les fronts d'ondes qui émergent de l'autre côté de l'ouverture présentent une légère flexion sur les bords. Le deuxième diagramme montre des fronts de vagues passant par une ouverture plus petite. Les vagues se plient davantage tout en conservant une partie droite. Le troisième diagramme montre les fronts d'onde passant par une ouverture qui a à peu près la même taille que la longueur d'onde. Ces vagues présentent une flexion importante et, en fait, semblent circulaires plutôt que droites. — Figure\(\PageIndex{7}\) : Principe de Huygens appliqué à un front d'onde plan percutant une ouverture. Les bords du front d'onde se courbent après avoir traversé l'ouverture, un processus appelé diffraction. Le degré de flexion est plus extrême pour une petite ouverture, ce qui correspond au fait que les caractéristiques des ondes sont plus visibles lors d'interactions avec des objets de la même taille que la longueur d'onde.