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6.9 : Calcul des fonctions hyperboliques

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Appliquez les formules pour les dérivées et les intégrales des fonctions hyperboliques.
  • Appliquez les formules pour les dérivées des fonctions hyperboliques inverses et leurs intégrales associées.
  • Décrire les conditions couramment appliquées à une courbe caténaire.

Nous avons déjà été initiés aux fonctions hyperboliques, ainsi qu'à certaines de leurs propriétés de base. Dans cette section, nous examinons les formules de différenciation et d'intégration pour les fonctions hyperboliques et leurs inverses.

Dérivées et intégrales des fonctions hyperboliques

Rappelons que le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique sont définis comme

sinhx=exex2

et

coshx=ex+ex2.

Les autres fonctions hyperboliques sont ensuite définies en termes desinhx etcoshx. Les graphes des fonctions hyperboliques sont présentés dans la figure6.9.1.

Cette figure comporte six graphiques. Le premier graphe intitulé « a » représente la fonction y=sinh (x). Il s'agit d'une fonction croissante à partir du 3e quadrant, en passant par l'origine jusqu'au premier quadrant. Le deuxième graphe est étiqueté « b » et présente la fonction y=cosh (x). Elle décroît dans le second quadrant jusqu'à l'intersection y=1, puis devient une fonction croissante. Le troisième graphe intitulé « c » est celui de la fonction y=tanh (x). Il s'agit d'une fonction croissante depuis le troisième quadrant, en passant par l'origine, jusqu'au premier quadrant. Le quatrième graphe est intitulé « d » et présente la fonction y=coth (x). Il comporte deux parties, l'une dans le troisième quadrant et l'autre dans le premier quadrant, avec une asymptote verticale sur l'axe y. Le cinquième graphe est intitulé « e » et présente la fonction y=sech (x). Il s'agit d'une courbe au-dessus de l'axe des abscisses, qui augmente dans le second quadrant, jusqu'à l'axe y à y=1, puis décroît. Le sixième graphe est intitulé « f » et correspond à la fonction y=csch (x). Il comporte deux parties, l'une dans le troisième quadrant et l'autre dans le premier quadrant, avec une asymptote verticale sur l'axe y.
Figure6.9.1 : Graphiques des fonctions hyperboliques.

Il est facile de développer des formules de différenciation pour les fonctions hyperboliques. Par exemple, en regardantsinhx que nous avons

ddx(sinhx)=ddx(exex2)=12[ddx(ex)ddx(ex)]=12[ex+ex]=coshx.

De même,

ddxcoshx=sinhx.

Nous résumons les formules de différenciation pour les fonctions hyperboliques dans le tableau6.9.1.

Tableau6.9.1 : Dérivés des fonctions hyperboliques
f(x) ddxf(x)
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >sinhx \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >coshx
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >coshx \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >sinhx
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >tanhx \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >sech2x
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >coth x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >csch2x
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >sech x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >sechxtanhx
\ (f (x) \) » style="text-align:center ; « >csch x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="text-align:center ; « >cschxcothx

Prenons un moment pour comparer les dérivées des fonctions hyperboliques avec les dérivées des fonctions trigonométriques standard. Il y a beaucoup de similitudes, mais aussi des différences. Par exemple, les dérivées des fonctions sinusoïdales correspondent à :

ddxsinx=cosx

et

ddxsinhx=coshx.

Les dérivées des fonctions cosinusoïdales diffèrent cependant par leur signe :

ddxcosx=sinx,

mais

ddxcoshx=sinhx.

Alors que nous poursuivons notre examen des fonctions hyperboliques, nous devons être conscients de leurs similitudes et de leurs différences avec les fonctions trigonométriques standard. Ces formules de différenciation pour les fonctions hyperboliques mènent directement aux formules intégrales suivantes.

sinhudu=coshu+Ccsch2udu=cothu+Ccoshudu=sinhu+Csechutanhudu=sech u+Ccschu+Csech 2udu=tanhu+Ccschucothudu=cschu+C

Exemple6.9.1: Differentiating Hyperbolic Functions

Évaluez les dérivés suivants :

  1. ddx(sinh(x2))
  2. ddx(coshx)2

Solution :

En utilisant les formules du tableau6.9.1 et la règle de chaîne, nous obtenons

  1. ddx(sinh(x2))=cosh(x2)2x
  2. ddx(coshx)2=2coshxsinhx
Exercice6.9.1

Évaluez les dérivés suivants :

  1. ddx(tanh(x2+3x))
  2. ddx(1(sinhx)2)
Allusion

Utilisez les formules du tableau6.9.1 et appliquez la règle de chaîne si nécessaire.

Répondez à

ddx(tanh(x2+3x))=(sech2(x2+3x))(2x+3)

Réponse b

ddx(1(sinhx)2)=ddx(sinhx)2=2(sinhx)3coshx

Exemple6.9.2: Integrals Involving Hyperbolic Functions

Évaluez les intégrales suivantes :

  1. xcosh(x2)dx
  2. tanhxdx

Solution

Nous pouvons utiliseru -substitution dans les deux cas.

a. Laissezu=x2. Ensuite,du=2xdx et

xcosh(x2)dx=12coshudu=12sinhu+C=12sinh(x2)+C.

b. Laissezu=coshx. Ensuite,du=sinhxdx et

tanhxdx=sinhxcoshxdx=1udu=ln|u|+C=ln|coshx|+C.

Notez quecoshx>0 pour tousx, nous pouvons donc éliminer les signes de valeur absolue et obtenir

tanhxdx=ln(coshx)+C.

Exercice6.9.2

Évaluez les intégrales suivantes :

  1. sinh3xcoshxdx
  2. sech 2(3x)dx
Allusion

Utilisez les formules ci-dessus et appliquez lau substitution si nécessaire.

Répondez à

sinh3xcoshxdx=sinh4x4+C

Réponse b

sech 2(3x)dx=tanh(3x)3+C

Calcul des fonctions hyperboliques inverses

En examinant les graphiques des fonctions hyperboliques, nous constatons qu'avec des restrictions de plage appropriées, elles ont toutes des inverses. La plupart des restrictions de portée nécessaires peuvent être discernées en examinant attentivement les graphiques. Les domaines et plages des fonctions hyperboliques inverses sont résumés dans le tableau6.9.2.

Tableau6.9.2 : Domaines et plages des fonctions hyperboliques inverses
Fonction Domaine Gamme
sinh1x (−∞, ∞) (−∞, ∞)
cosh1x (1, ∞) [0, ∞)
tanh1x (−1,1) (−∞, ∞)
coth1x (−∞, 1) (1, ∞) (−,0) (0, ∞)
sech1x (0,1) [0, ∞)
csch1x (−,0) (0, ∞) (−,0) (0, ∞)

Les graphes des fonctions hyperboliques inverses sont illustrés dans la figure suivante.

Cette figure comporte six graphiques. Le premier graphe intitulé « a » représente la fonction y=sinh^-1 (x). Il s'agit d'une fonction croissante à partir du 3e quadrant, en passant par l'origine jusqu'au premier quadrant. Le deuxième graphe est intitulé « b » et représente la fonction y=cosh^-1 (x). Il se trouve dans le premier quadrant, commençant sur l'axe des abscisses à 2 et augmentant. Le troisième graphe intitulé « c » représente la fonction y=tanh^-1 (x). Il s'agit d'une fonction croissante depuis le troisième quadrant, en passant par l'origine, jusqu'au premier quadrant. Le quatrième graphe est intitulé « d » et représente la fonction y=coth^-1 (x). Il comporte deux parties, l'une dans le troisième quadrant et l'autre dans le premier quadrant, avec une asymptote verticale sur l'axe y. Le cinquième graphe est intitulé « e » et correspond à la fonction y=sech^-1 (x). Il s'agit d'une courbe décroissante dans le premier quadrant et s'arrêtant sur l'axe des abscisses à x=1. Le sixième graphe est intitulé « f » et représente la fonction y=csch^-1 (x). Il comporte deux parties, l'une dans le troisième quadrant et l'autre dans le premier quadrant, avec une asymptote verticale sur l'axe y.
Figure6.9.3 : Graphiques des fonctions hyperboliques inverses.

Pour trouver les dérivées des fonctions inverses, nous utilisons la différenciation implicite. Nous avons

y=sinh1xsinhy=xddxsinhy=ddxxcoshydydx=1.

Souvenez-vous quecosh2ysinh2y=1,coshy=1+sinh2y oui. Ensuite,

dydx=1coshy=11+sinh2y=11+x2.

Nous pouvons dériver des formules de différenciation pour les autres fonctions hyperboliques inverses de la même manière. Ces formules de différenciation sont résumées dans le tableau6.9.3.

Tableau6.9.3 : Dérivés des fonctions hyperboliques inverses
f(x) ddxf(x)
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >sinh1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >11+x2
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >cosh1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >1x21
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >tanh1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >11x2
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >coth1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >11x2
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >sech1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >1x1x2
\ (f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >csch1x \ (\ dfrac {d} {dx} f (x) \) » style="vertical-align:middle ; « >1|x|1+x2

Notez que les dérivés detanh1x etcoth1x sont les mêmes. Ainsi, lors de l'intégration1/(1x2), nous devons sélectionner l'antidérivé approprié en fonction du domaine des fonctions et des valeurs dex. Les formules d'intégration impliquant les fonctions hyperboliques inverses sont résumées comme suit.

11+u2du=sinh1u+C

1u1u2du=sech1|u|+C

1u21du=cosh1u+C

1u1+u2du=csch1|u|+C

11u2du={tanh1u+Cif |u|<1coth1u+Cif |u|>1

Exemple6.9.3: Differentiating Inverse Hyperbolic Functions

Évaluez les dérivés suivants :

  1. ddx(sinh1(x3))
  2. ddx(tanh1x)2

Solution

En utilisant les formules du tableau6.9.3 et la règle de chaîne, nous obtenons les résultats suivants :

  1. ddx(sinh1(x3))=131+x29=19+x2
  2. ddx(tanh1x)2=2(tanh1x)1x2
Exercice6.9.3

Évaluez les dérivés suivants :

  1. ddx(cosh1(3x))
  2. ddx(coth1x)3
Allusion

Utilisez les formules du tableau6.9.3 et appliquez la règle de chaîne si nécessaire.

Répondez à

ddx(cosh1(3x))=39x21

Réponse b

ddx(coth1x)3=3(coth1x)21x2

Exemple6.9.4: Integrals Involving Inverse Hyperbolic Functions

Évaluez les intégrales suivantes :

  1. 14x21dx
  2. 12x19x2dx

Solution

Nous pouvons utiliser u-substitution dans les deux cas.

Laissezu=2x. Ensuite,du=2dx et nous avons

14x21dx=12u21du=12cosh1u+C=12cosh1(2x)+C.

Laissezu=3x. ensuite,du=3dx et nous obtenons

12x19x2dx=121u1u2du=12sech1|u|+C=12sech1|3x|+C

Exercice6.9.4

Évaluez les intégrales suivantes :

  1. 1x24dx,x>2
  2. 11e2xdx
Allusion

Utilisez les formules ci-dessus et appliquez lau substitution si nécessaire.

Répondez à

1x24dx=cosh1(x2)+C

Réponse b

11e2xdx=sech1(ex)+C

Applications

L'une des applications physiques des fonctions hyperboliques consiste à suspendre des câbles. Si un câble de densité uniforme est suspendu entre deux supports sans aucune charge autre que son propre poids, le câble forme une courbe appelée caténaire. Les lignes à haute tension, les chaînes suspendues entre deux poteaux et les torons d'une toile d'araignée forment tous des caténaires. La figure suivante montre des chaînes suspendues à une rangée de poteaux.

Image de chaînes accrochées entre des poteaux qui prennent toutes la forme d'une caténaire.
Figure6.9.3 : Les chaînes entre ces poteaux prennent la forme d'une caténaire. (crédit : modification du travail par OkFoundryCompany, Flickr)

Les fonctions hyperboliques peuvent être utilisées pour modéliser des caténaires. Plus précisément, les fonctions du formulairey=acosh(x/a) sont des caténaires. La figure6.9.4 montre le graphique dey=2cosh(x/2).

Cette figure est un graphique. Il a la fonction f (x) =2cosh (x/2). La courbe diminue dans le deuxième quadrant jusqu'à l'axe Y. Il coupe l'axe y en y=2. Ensuite, la courbe augmente.
Figure6.9.4 : Une fonction cosinus hyperbolique forme la forme d'une caténaire.
Exemple6.9.5: Using a Catenary to Find the Length of a Cable

Supposons qu'un câble suspendu ait la forme10cosh(x/10) de15x15, oùx est mesuré en pieds. Déterminez la longueur du câble (en pieds).

Solution

Rappelons que dans la section 6.4, la formule pour la longueur de l'arc est

ba1+[f(x)]2dxArc Length.

Nous l'avons faitf(x)=10cosh(x/10), doncf(x)=sinh(x/10). Ensuite, la longueur de l'arc est

ba1+[f(x)]2dx=15151+sinh2(x10)dx.

Maintenant, rappelez-vous que

1+sinh2x=cosh2x,

nous avons donc

Arc Length=15151+sinh2(x10)dx=1515cosh(x10)dx=10sinh(x10)|1515=10[sinh(32)sinh(32)]=20sinh(32)42.586ft.

Exercice6.9.5:

Supposons qu'un câble suspendu ait la forme15cosh(x/15) de20x20. Déterminez la longueur du câble (en pieds).

Réponse

52.95pieds

Concepts clés

  • Les fonctions hyperboliques sont définies en termes de fonctions exponentielles.
  • La différenciation terme par terme fournit des formules de différenciation pour les fonctions hyperboliques. Ces formules de différenciation donnent lieu, à leur tour, à des formules d'intégration.
  • Avec des restrictions de portée appropriées, les fonctions hyperboliques ont toutes des inverses.
  • La différenciation implicite produit des formules de différenciation pour les fonctions hyperboliques inverses, qui à leur tour donnent lieu à des formules d'intégration.
  • Les applications physiques les plus courantes des fonctions hyperboliques sont les calculs impliquant des caténaires.

Lexique

caténaire
une courbe ayant la forme de la fonctiony=acosh(x/a) est une caténaire ; un câble de densité uniforme suspendu entre deux supports prend la forme d'une caténaire