11.2 : Test d'une variance unique

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Jusqu'à présent, nous nous sommes intéressés exclusivement au paramètre de population\(μ\) ou à son équivalent dans le binôme\(p\). La moyenne d'une population est certainement l'information la plus critique, mais dans certains cas, nous nous intéressons à la variabilité des résultats d'une distribution donnée. Dans presque tous les processus de production, la qualité est mesurée non seulement par la mesure dans laquelle la machine correspond à l'objectif, mais également par la variabilité du processus. Si l'on remplissait des sacs de croustilles, on s'intéresserait non seulement au poids moyen du sac, mais aussi à la variation des poids. Personne ne veut être sûr que le poids moyen est exact lorsque son sac ne contient pas de copeaux. La tension électrique peut atteindre un certain niveau moyen, mais une grande variabilité, des pointes, peuvent endommager gravement les machines électriques, en particulier les ordinateurs. J'aimerais non seulement avoir une note moyenne élevée dans mes cours, mais aussi une faible variation par rapport à cette moyenne. En résumé, les tests statistiques concernant la variance d'une distribution ont une grande valeur et de nombreuses applications.

Le test d'une seule variance suppose que la distribution sous-jacente est normale. Les hypothèses nulles et alternatives sont énoncées en termes de variance de la population. La statistique du test est la suivante :

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

où :

\(n\)= le nombre total d'observations dans les données de l'échantillon
\(s^2\)= variance de l'échantillon
\(\sigma_{0}^{2}\)= valeur hypothétisée de la variance de la population
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

Vous pouvez considérer s comme la variable aléatoire dans ce test. Le nombre de degrés de liberté est de\(df = n - 1\). Un test d'une variance unique peut être à droite, à gauche ou à double sens. L'exemple vous\(\PageIndex{1}\) montrera comment configurer les hypothèses nulles et alternatives. Les hypothèses nulle et alternative contiennent des déclarations concernant la variance de la population.

Exemple\(\PageIndex{1}\)

Les professeurs de mathématiques ne s'intéressent pas seulement à la façon dont leurs élèves réussissent aux examens, en moyenne, mais aussi à la façon dont les résultats varient. Pour de nombreux professeurs, la variance (ou écart type) peut être plus importante que la moyenne.

Supposons qu'un professeur de mathématiques pense que l'écart type pour son examen final est de cinq points. L'un de ses meilleurs élèves pense le contraire. L'étudiant affirme que l'écart type est supérieur à cinq points. Si l'étudiant devait effectuer un test d'hypothèse, quelles seraient les hypothèses nulles et alternatives ?

Réponse

Même si l'on nous donne l'écart type de la population, nous pouvons configurer le test en utilisant la variance de la population comme suit.

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Un moniteur de plongée sous-marine souhaite enregistrer les profondeurs collectives de plongée de chacun de ses élèves lors de leur passage à la caisse. Il s'intéresse à la façon dont les profondeurs varient, même si tout le monde aurait dû être à la même profondeur. Il pense que l'écart type est de trois pieds. Son assistant pense que l'écart type est inférieur à trois pieds. Si l'instructeur devait effectuer un test, quelles seraient les hypothèses nulles et alternatives ?

Exemple\(\PageIndex{2}\)

Avec des lignes individuelles à ses différents guichets, un bureau de poste constate que l'écart type pour les temps d'attente des clients le vendredi après-midi est de 7,2 minutes. Le bureau de poste expérimente une seule ligne d'attente principale et constate que, pour un échantillon aléatoire de 25 clients, les temps d'attente des clients ont un écart type de 3,5 minutes un vendredi après-midi.

Avec un seuil de signification de 5 %, testez l'affirmation selon laquelle une seule ligne réduit les variations des temps d'attente des clients.

Réponse

Comme on prétend qu'une seule ligne entraîne moins de variation, il s'agit d'un test d'une seule variance. Le paramètre est la variance de la population,\(\sigma^2\).

Variable aléatoire : L'écart type de l'échantillon\(s\),, est la variable aléatoire. Let\(s\) = écart type pour les temps d'attente.

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

Distribution pour le test :\(\chi_{24}^{2}\), où :

\(n\)= le nombre de clients échantillonnés
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

Calculez la statistique du test :

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

où\(n = 25\)\(s = 3.5\), et\(\sigma = 7.2\).

Il s'agit d'une courbe du Khi deux non symétrique avec des valeurs de 0 et 5,67 marquées sur l'axe horizontal. Le point 5,67 se trouve à gauche du sommet de la courbe. Une ligne verticale ascendante s'étend de 5,67 à la courbe et la région située à gauche de cette ligne est ombrée. La zone ombrée est égale à la valeur de p.

Le graphique du Khi montre la distribution et marque la valeur critique avec 24 degrés de liberté à un niveau de confiance de 95 %\(\alpha = 0.05\), 13,85. La valeur critique de 13,85 provient du tableau carré Chi, qui se lit de la même manière que le tableau des étudiants. La différence est que la distribution t des étudiants est symétrique et que la distribution Chi au carré ne l'est pas. En haut du tableau carré du Chi, nous voyons non seulement les valeurs habituelles de 0,05, 0,10, etc., mais également 0,95, 0,975, etc. Ce sont les colonnes utilisées pour trouver la valeur critique de gauche. Le graphique indique également la statistique de\(\chi^2\) test calculée de 5,67. En comparant la statistique du test à la valeur critique, comme nous l'avons fait avec tous les autres tests d'hypothèse, nous arrivons à la conclusion.

Le mot « moins » indique qu'il s'agit d'un test à gauche.

Prenez une décision : étant donné que la statistique de test calculée est incomplète, nous ne pouvons pas l'accepter\(H_0\). Cela signifie que vous rejetez\(\sigma^2 \geq 7.2^2\). En d'autres termes, vous ne pensez pas que la variation des temps d'attente est de 7,2 minutes ou plus ; vous pensez que la variation des temps d'attente est moindre.

Conclusion : À un seuil de signification de 5 %, les données permettent de conclure qu'une seule ligne entraîne une moindre variation des temps d'attente ou qu'avec une seule ligne, les temps d'attente des clients varient de moins de 7,2 minutes.

Exemple\(\PageIndex{3}\)

Le professeur Hadley a un faible pour les beignets fourrés à la crème, mais il pense que certaines boulangeries ne les remplissent pas correctement. Un échantillon de 24 beignets révèle une quantité moyenne de garniture égale à 0,04 tasse, et l'écart type de l'échantillon est de 0,11 tasse. Le professeur Hadley s'intéresse à la quantité moyenne de garniture, bien sûr, mais il est particulièrement affligé si un beignet est radicalement différent d'un autre. Le professeur Hadley n'aime pas les surprises.

Testez à 95 % l'hypothèse nulle selon laquelle la variance de population de la garniture aux beignets est significativement différente de la quantité moyenne de garniture.

Réponse

Il s'agit clairement d'un problème lié aux écarts. Dans ce cas, nous testons un seul échantillon plutôt que de comparer deux échantillons provenant de populations différentes. Les hypothèses nulles et alternatives sont donc les suivantes :

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

Le test est conçu comme un test bilatéral parce que le professeur Hadley s'est montré préoccupé par trop de variations dans le remplissage et par trop peu : il n'aime pas les surprises, c'est tout niveau de remplissage en dehors de la moyenne attendue de 0,04 tasse. La statistique du test est calculée comme suit :

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

La statistique de\(\chi^2\) test calculée, 6,96, se situe dans la queue, donc à un niveau de signification de 0,05, nous ne pouvons pas accepter l'hypothèse nulle selon laquelle la variance de la garniture du beignet est égale à 0,04 tasse. Il semble que le professeur Hadley soit voué à être déçu à chaque instant.

Exercice\(\PageIndex{3}\)

La FCC effectue des tests de vitesse haut débit pour mesurer la quantité de données par seconde qui transitent entre l'ordinateur d'un consommateur et Internet. En août 2012, l'écart type des vitesses Internet des fournisseurs de services Internet (ISP) était de 12,2 %. Supposons qu'un échantillon de 15 fournisseurs de services Internet soit prélevé et que l'écart type soit de 13,2. Un analyste affirme que l'écart type des vitesses est supérieur à ce qui a été signalé. Énoncez les hypothèses nulles et alternatives, calculez les degrés de liberté, la statistique de test, esquissez le graphique de la distribution et marquez la zone associée au niveau de confiance, puis tirez une conclusion. Test au seuil de signification de 1 %.