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6.3 : Estimation du binôme avec la distribution normale

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    Nous avons découvert précédemment que diverses fonctions de densité de probabilité constituent les distributions limites des autres ; nous pouvons donc les estimer les unes avec les autres dans certaines circonstances. Nous verrons ici que la distribution normale peut être utilisée pour estimer un processus binomial. Le Poisson a été utilisé pour estimer le binôme précédemment, et le binôme a été utilisé pour estimer la distribution hypergéométrique.

    Dans le cas de la relation entre la distribution hypergéométrique et le binôme, nous avons dû reconnaître qu'un processus binomial suppose que la probabilité de succès reste constante d'un essai à l'autre : une tête sur le dernier retournement ne peut pas avoir d'effet sur la probabilité d'une tête au prochain retournement. Dans la distribution hypergéométrique, c'est là l'essence de la question, car l'expérience suppose que tout « dessin » est sans remplacement. Si l'on fait match nul sans remplacement, alors tous les « tirages » suivants sont des probabilités conditionnelles. Nous avons découvert que si l'expérience hypergéométrique ne dessine qu'un faible pourcentage du total des objets, nous pouvons ignorer l'impact sur la probabilité d'un tirage à l'autre.

    Imaginez qu'il y ait 312 cartes dans un deck composé de 6 decks normaux. Si l'expérience ne prévoyait de tirer que 10 cartes, soit moins de 5 % du total, nous accepterons l'estimation binomiale de la probabilité, même s'il s'agit en fait d'une distribution hypergéométrique car les cartes sont probablement tirées sans remplacement.

    Le Poisson a également été considéré comme une estimation appropriée du binôme dans certaines circonstances. La figure\(\PageIndex{11}\) montre une distribution normale symétrique transposée sur un graphique d'une distribution binomiale où\(p = 0.2\) et\(n = 5\). L'écart entre la probabilité estimée à l'aide d'une distribution normale et la probabilité de la distribution binomiale initiale est évident. Les critères d'utilisation d'une distribution normale pour estimer un binôme répondent donc à ce problème en exigeant que LES DEUX\(np\) ET\(n(1 − p)\) soient supérieurs à cinq. Encore une fois, il s'agit d'une règle empirique, mais elle est efficace et donne des estimations acceptables de la probabilité binomiale.

    Figurine\(\PageIndex{11}\)

    \(1-[p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+\ldots+p(X=16)]=p(X>16)=p(Z>2)=0.0228\)