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6.0 : Introduction à la distribution normale

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    La fonction de densité de probabilité normale, une distribution continue, est la plus importante de toutes les distributions. Il est largement utilisé et encore plus largement abusé. Son graphe est en forme de cloche. Vous pouvez voir la courbe en cloche dans presque toutes les disciplines. Certains d'entre eux incluent la psychologie, les affaires, l'économie, les sciences, les soins infirmiers et, bien sûr, les mathématiques. Certains de vos professeurs peuvent utiliser la distribution normale pour déterminer votre note. La plupart des scores de QI sont normalement distribués. Les prix de l'immobilier correspondent souvent à une distribution normale.

    Cette photo montre de nombreuses paires de chaussures de différentes couleurs. Les chaussures semblent être suspendues à un mur par des cordons.
    Figure\(\PageIndex{1}\) Si vous interrogez suffisamment de personnes sur leur pointure, vous constaterez que vos données graphiques ont la forme d'une courbe en cloche et peuvent être décrites comme étant distribuées normalement. (crédit : Ömer Ünl)

    La distribution normale est extrêmement importante, mais elle ne peut pas être appliquée à tout dans le monde réel. N'oubliez pas que nous parlons toujours de la distribution des données démographiques. Il s'agit d'une discussion sur les probabilités et, par conséquent, ce sont les données démographiques qui peuvent être distribuées normalement, et si c'est le cas, c'est ainsi que nous pouvons déterminer les probabilités d'événements spécifiques, tout comme nous l'avons fait pour les données de population qui peuvent être distribuées de manière binomiale ou distribuée de Poisson. Cette prudence s'impose, car dans le chapitre suivant, nous verrons que la distribution normale décrit quelque chose de très différent des données brutes et constitue la base des statistiques inférentielles.

    La distribution normale comporte deux paramètres (deux mesures descriptives numériques) : la moyenne (\(\mu\)) et l'écart type (\(\sigma\)). Si X est une quantité à mesurer qui a une distribution normale avec moyenne (\(\mu\)) et écart type (\(\sigma\)), nous la désignons en écrivant la formule suivante de la fonction de densité de probabilité normale :

    Il s'agit d'une courbe de fréquence pour une distribution normale. Il montre un pic unique au centre, la courbe se rétrécissant jusqu'à l'axe horizontal de chaque côté. La distribution est symétrique ; elle représente la variable aléatoire X ayant une distribution normale avec une moyenne, m, et un écart type, s.

    Figurine\(\PageIndex{2}\)

    La fonction de densité de probabilité est une fonction assez complexe. Ne le mémorise pas. Ce n'est pas nécessaire.

    \[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

    La courbe est symétrique par rapport à une ligne verticale tracée par la moyenne,\(\mu\). La moyenne est la même que la médiane, qui est identique au mode, car le graphe est symétrique\(\mu\). Comme l'indique la notation, la distribution normale dépend uniquement de la moyenne et de l'écart type. Notez que cela est différent de plusieurs fonctions de densité de probabilité que nous avons déjà étudiées, comme la fonction de Poisson, où la moyenne est égale\(\mu\)\(\mu\) et l'écart type simplement la racine carrée de la moyenne, ou la binomiale, où p est utilisé pour déterminer à la fois la moyenne et l'écart type. Puisque l'aire sous la courbe doit être égale à 1, une modification de l'écart type entraîne une modification de la forme de la courbe normale ; la courbe devient plus grosse et plus large ou plus fine et plus haute selon\(\sigma\).\(\sigma\) Un changement de valeur\(\mu\) entraîne le déplacement du graphique vers la gauche ou vers la droite. Cela signifie qu'il existe un nombre infini de distributions de probabilité normales. L'une d'elles présentant un intérêt particulier est appelée distribution normale standard.