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6.1 : La distribution normale standard

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    La distribution normale standard est une distribution normale de valeurs standardisées appelées scores Z. Un score z est mesuré en unités de l'écart type.

    La moyenne de la distribution normale standard est nulle et l'écart type est de un. Cela permet de simplifier considérablement le calcul mathématique des probabilités. Prenez un moment et remplacez zéro par un aux endroits appropriés de la formule ci-dessus et vous verrez que l'équation se réduit en une équation qui peut être résolue beaucoup plus facilement à l'aide du calcul intégral. La transformation\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) produit la distribution\(Z \sim N(0, 1)\). La valeur\(x\) de l'équation donnée provient d'une distribution normale connue avec une moyenne\(\mu\) et un écart type connus\(\sigma\). Le score z indique le nombre d'écarts types par rapport à la moyenne pour une donnée donnée\(x\).

    Notes Z

    \(X\)Il s'agit d'une variable aléatoire normalement distribuée et\(X \sim N(\mu, \sigma)\) le score z pour une donnée donnée\(x\) est :

    \[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

    Le score z vous indique le nombre d'écarts types au-dessus (à droite de) ou en dessous (à gauche de) la moyenne\(\bf{\mu}\).\(\bf{x}\) Les valeurs supérieures à la moyenne ont des scores z positifs, tandis\(x\) que les valeurs inférieures à la moyenne ont des scores z négatifs.\(x\) Si x est égal à la moyenne, alors x a un score z de zéro.

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Supposons\(X \sim N(5, 6)\). Cela signifie qu'il\(X\) s'agit d'une variable aléatoire normalement distribuée avec une moyenne\(\mu = 5\) et un écart type\(\sigma = 6\). Supposons\(x = 17\). Ensuite :

    \[z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{17-5}{6}=2\nonumber\]

    Cela signifie qu'il\(x = 17\) s'agit de deux écarts types\((2\sigma)\) au-dessus ou à droite de la moyenne\(\mu = 5\).

    Maintenant, supposons\(x = 1\). Puis :\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{1-5}{6}=-0.67\) (arrondi à la deuxième décimale)

    Cela signifie que\(\bf{x = 1}\) c'est 0,67 écart type en\(\bf{(–0.67\sigma)}\) dessous ou à gauche de la moyenne\(\bf{\mu = 5}\).

    La règle empirique

    S'il s'\(X\)agit d'une variable aléatoire ayant une distribution normale avec une moyenne\(\mu\) et un écart type\(\sigma\), la règle empirique stipule ce qui suit :

    • Environ 68 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–1\sigma\) et par rapport à\(+1\sigma\) la moyenne\(\mu\) (à moins d'un écart type de la moyenne).
    • Environ 95 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–2\sigma\) et par rapport à\(+2\sigma\) la moyenne\(\mu\) (à moins de deux écarts types de la moyenne).
    • Environ 99,7 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–3\sigma\) et par rapport à\(+3\sigma\) la moyenne\(\mu\) (dans les trois écarts types de la moyenne). Notez que presque toutes les valeurs x se situent à moins de trois écarts types de la moyenne.
    • Les scores z pour\(+1\sigma\) et\(–1\sigma\) sont\(+1\) et\(–1\), respectivement.
    • Les scores z pour\(+2\sigma\) et\(–2\sigma\) sont\(+2\) et\(–2\), respectivement.
    • Les scores z pour\(+3\sigma\) et\(–3\sigma\) sont\(+3\) et\(–3\) respectivement.
    Cette courbe de fréquence illustre la règle empirique. La courbe normale est représentée sur un axe horizontal. L'axe est étiqueté avec les points -3s, -2s, -1s, m, 1s, 2s, 3s. Des lignes verticales relient l'axe à la courbe à chaque point étiqueté. Le sommet de la courbe est aligné sur le point m.

    Figurine\(\PageIndex{1}\)

    Exemple\(\PageIndex{1}\)

    Supposons qu'\(x\)il ait une distribution normale avec une moyenne de 50 et un écart type de 6.

    • Environ 68 % des\(x\) valeurs se situent à moins d'un écart type de la moyenne. Par conséquent, environ 68 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–1\sigma = (–1)(6) = –6\) et\(1\sigma = (1)(6) = 6\) de la moyenne 50. Les valeurs\(50 – 6 = 44\) et\(50 + 6 = 56\) se situent dans les limites d'un écart type par rapport à la moyenne 50. Les scores z sont de -1 et +1 pour 44 et 56, respectivement.
    • Environ 95 % des\(x\) valeurs se situent à moins de deux écarts types de la moyenne. Par conséquent, environ 95 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–2\sigma = (–2)(6) = –12\) et\(2\sigma = (2)(6) = 12\). Les valeurs\(50 – 12 = 38\) et\(50 + 12 = 62\) se situent à moins de deux écarts types par rapport à la moyenne 50. Les scores z sont de —2 et +2 pour 38 et 62, respectivement.
    • Environ 99,7 % des\(x\) valeurs se situent à moins de trois écarts types de la moyenne. Par conséquent, environ 99,7 % des\(x\) valeurs se situent entre\(–3\sigma = (–3)(6) = –18\) et\(3\sigma = (3)(6) = 18\) de la moyenne 50. Les valeurs\(50 – 18 = 32\) et\(50 + 18 = 68\) se situent à moins de trois écarts types par rapport à la moyenne 50. Les scores z sont de —3 et +3 pour 32 et 68, respectivement.