4.10 : Révision du chapitre

Présentation

Les caractéristiques d'une fonction de distribution de probabilité ou de densité (PDF) sont les suivantes :

1. Chaque probabilité est comprise entre zéro et un, inclus (inclusif signifie inclure zéro et un).
2. La somme des probabilités est de un.

4.1 Distribution hypergéométrique

La formule combinatoire peut fournir le nombre de sous-ensembles uniques de taille\(x\) qui peuvent être créés à partir d'objets\(n\) uniques pour nous aider à calculer les probabilités. La formule combinatoire est\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

Une expérience hypergéométrique est une expérience statistique dont les propriétés sont les suivantes :

1. Vous prélevez des échantillons auprès de deux groupes.
2. Vous vous intéressez à un groupe d'intérêt, appelé premier groupe.
3. Vous prélevez des échantillons sans les remplacer dans les groupes combinés.
4. Chaque échantillon n'est pas indépendant, car l'échantillonnage se fait sans remplacement.

Les résultats d'une expérience hypergéométrique correspondent à une distribution de probabilité hypergéométrique. La variable aléatoire\(X =\) correspond au nombre d'éléments du groupe d'intérêt. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

Distribution binomiale

Une expérience statistique peut être classée comme expérience binomiale si les conditions suivantes sont remplies :

1. Il existe un nombre fixe d'essais,\(n\).
2. Il n'y a que deux issues possibles, appelées « succès » et « échec » pour chaque essai. La lettre\(p\) indique la probabilité de succès d'un essai et\(q\) indique la probabilité d'échec d'un essai.
3. Les\(n\) essais sont indépendants et sont répétés dans des conditions identiques.

Les résultats d'une expérience binomiale correspondent à une distribution de probabilité binomiale. La variable aléatoire\(X =\) est le nombre de succès obtenus dans les essais\(n\) indépendants. La moyenne de\(X\) peut être calculée à l'aide de la formule\(\mu = np\), et l'écart type est donné par la formule\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

La formule de la fonction de densité de probabilité binomiale est

\[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

Distribution géométrique

Une expérience géométrique présente trois caractéristiques :

1. Il y a un ou plusieurs procès de Bernoulli avec tous les échecs sauf le dernier, qui est un succès.
2. En théorie, le nombre d'essais pourrait durer indéfiniment. Il doit y avoir au moins un procès.
3. La probabilité\(p\) de succès et la probabilité d'\(q\)échec sont les mêmes pour chaque essai.

Dans une expérience géométrique, définissez la variable aléatoire discrète\(X\) comme le nombre d'essais indépendants jusqu'au premier succès. Nous disons que cela\(X\) a une distribution géométrique et écrivons\(X \sim G(p)\) où\(p\) est la probabilité de succès dans un seul essai.

La moyenne de la distribution géométrique\(X \sim G(p)\) est\(\mu = 1/p\) le\(x =\) nombre d'essais jusqu'au premier succès pour la formule\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) où le nombre d'essais augmente, y compris le premier succès.

Une autre formulation de la distribution géométrique pose la question suivante : quelle est la probabilité de x échecs jusqu'au premier succès ? Dans cette formulation, l'essai qui a donné lieu au premier succès n'est pas pris en compte. La formule de cette présentation de la géométrie est la suivante :

\[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

La valeur attendue dans cette forme de distribution géométrique est

\[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

Le moyen le plus simple de maintenir ces deux formes de distribution géométrique droites est de se rappeler qu'il\(p\) s'agit de la probabilité de succès et\((1−p)\) de la probabilité d'échec. Dans la formule, les exposants comptent simplement le nombre de succès et le nombre d'échecs du résultat souhaité de l'expérience. Bien entendu, la somme de ces deux nombres doit s'ajouter au nombre d'essais de l'expérience.

Distribution de poissons

Une distribution de probabilité de Poisson d'une variable aléatoire discrète donne la probabilité qu'un certain nombre d'événements se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace fixe, si ces événements se produisent à un rythme moyen connu et indépendamment du temps écoulé depuis le dernier événement. La distribution de Poisson peut être utilisée pour approximer le binôme, si la probabilité de succès est « faible » (inférieure ou égale à 0,01) et que le nombre d'essais est « grand » (supérieur ou égal à 25). D'autres règles empiriques sont également suggérées par différents auteurs, mais tous reconnaissent que la distribution de Poisson est la distribution limite du binôme lorsqu'elle\(n\) augmente et\(p\) s'approche de zéro.

La formule pour calculer les probabilités issues d'un processus de Poisson est la suivante :

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

où\(P(X)\) est la probabilité de succès,\(\mu\) (prononcé mu) est le nombre de succès attendu, le logarithme naturel\(e\) est approximativement égal à\(2.718\), et\(X\) est le nombre de succès par unité, généralement par unité de temps.