4.10 : Révision du chapitre
Présentation
Les caractéristiques d'une fonction de distribution de probabilité ou de densité (PDF) sont les suivantes :
- Chaque probabilité est comprise entre zéro et un, inclus (inclusif signifie inclure zéro et un).
- La somme des probabilités est de un.
4.1 Distribution hypergéométrique
La formule combinatoire peut fournir le nombre de sous-ensembles uniques de taillex qui peuvent être créés à partir d'objetsn uniques pour nous aider à calculer les probabilités. La formule combinatoire est(nx)=nCx=n!x!(n−x)!
Une expérience hypergéométrique est une expérience statistique dont les propriétés sont les suivantes :
- Vous prélevez des échantillons auprès de deux groupes.
- Vous vous intéressez à un groupe d'intérêt, appelé premier groupe.
- Vous prélevez des échantillons sans les remplacer dans les groupes combinés.
- Chaque échantillon n'est pas indépendant, car l'échantillonnage se fait sans remplacement.
Les résultats d'une expérience hypergéométrique correspondent à une distribution de probabilité hypergéométrique. La variable aléatoireX= correspond au nombre d'éléments du groupe d'intérêt. h(x)=(Ax)(N−An−x)(Nn).
Distribution binomiale
Une expérience statistique peut être classée comme expérience binomiale si les conditions suivantes sont remplies :
- Il existe un nombre fixe d'essais,n.
- Il n'y a que deux issues possibles, appelées « succès » et « échec » pour chaque essai. La lettrep indique la probabilité de succès d'un essai etq indique la probabilité d'échec d'un essai.
- Lesn essais sont indépendants et sont répétés dans des conditions identiques.
Les résultats d'une expérience binomiale correspondent à une distribution de probabilité binomiale. La variable aléatoireX= est le nombre de succès obtenus dans les essaisn indépendants. La moyenne deX peut être calculée à l'aide de la formuleμ=np, et l'écart type est donné par la formuleσ=√npq.
La formule de la fonction de densité de probabilité binomiale est
P(x)=n!x!(n−x)!⋅pxq(n−x)
Distribution géométrique
Une expérience géométrique présente trois caractéristiques :
- Il y a un ou plusieurs procès de Bernoulli avec tous les échecs sauf le dernier, qui est un succès.
- En théorie, le nombre d'essais pourrait durer indéfiniment. Il doit y avoir au moins un procès.
- La probabilitép de succès et la probabilité d'qéchec sont les mêmes pour chaque essai.
Dans une expérience géométrique, définissez la variable aléatoire discrèteX comme le nombre d'essais indépendants jusqu'au premier succès. Nous disons que celaX a une distribution géométrique et écrivonsX∼G(p) oùp est la probabilité de succès dans un seul essai.
La moyenne de la distribution géométriqueX∼G(p) estμ=1/p lex= nombre d'essais jusqu'au premier succès pour la formuleP(X=x)=(1−p)x−1p où le nombre d'essais augmente, y compris le premier succès.
Une autre formulation de la distribution géométrique pose la question suivante : quelle est la probabilité de x échecs jusqu'au premier succès ? Dans cette formulation, l'essai qui a donné lieu au premier succès n'est pas pris en compte. La formule de cette présentation de la géométrie est la suivante :
P(X=x)=p(1−p)x
La valeur attendue dans cette forme de distribution géométrique est
μ=1−pp
Le moyen le plus simple de maintenir ces deux formes de distribution géométrique droites est de se rappeler qu'ilp s'agit de la probabilité de succès et(1−p) de la probabilité d'échec. Dans la formule, les exposants comptent simplement le nombre de succès et le nombre d'échecs du résultat souhaité de l'expérience. Bien entendu, la somme de ces deux nombres doit s'ajouter au nombre d'essais de l'expérience.
Distribution de poissons
Une distribution de probabilité de Poisson d'une variable aléatoire discrète donne la probabilité qu'un certain nombre d'événements se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace fixe, si ces événements se produisent à un rythme moyen connu et indépendamment du temps écoulé depuis le dernier événement. La distribution de Poisson peut être utilisée pour approximer le binôme, si la probabilité de succès est « faible » (inférieure ou égale à 0,01) et que le nombre d'essais est « grand » (supérieur ou égal à 25). D'autres règles empiriques sont également suggérées par différents auteurs, mais tous reconnaissent que la distribution de Poisson est la distribution limite du binôme lorsqu'ellen augmente etp s'approche de zéro.
La formule pour calculer les probabilités issues d'un processus de Poisson est la suivante :
P(x)=μxe−μx!
oùP(X) est la probabilité de succès,μ (prononcé mu) est le nombre de succès attendu, le logarithme naturele est approximativement égal à2.718, etX est le nombre de succès par unité, généralement par unité de temps.