4.4 : Distribution de poissons

Une autre distribution de probabilité utile est la loi de Poisson, ou distribution des temps d'attente. Cette distribution est utilisée pour déterminer le nombre de préposés à la caisse nécessaires pour maintenir le temps d'attente à des niveaux spécifiés, le nombre de lignes téléphoniques nécessaires pour empêcher la surcharge du système et de nombreuses autres applications pratiques. Une modification du Poisson, le Pascal, inventé il y a près de quatre siècles, est aujourd'hui utilisé par les entreprises de télécommunications du monde entier pour les facteurs de charge, les niveaux de connexion par satellite et les problèmes de capacité Internet. La distribution tire son nom de Siméon Poisson qui l'a présentée en 1837 comme une extension de la distribution binomiale dont nous verrons qu'elle peut être estimée avec le Poisson.

Une expérience de Poisson présente deux caractéristiques principales.

1. La distribution de probabilité de Poisson donne la probabilité qu'un certain nombre d'événements se produisent dans un intervalle de temps ou d'espace fixe si ces événements se produisent à un taux moyen connu.
2. Les événements sont indépendants du temps écoulé depuis le dernier événement. Par exemple, un éditeur de livres peut être intéressé par le nombre de mots mal orthographiés dans un livre en particulier. Il se peut qu'en moyenne, cinq mots soient mal orthographiés sur 100 pages. L'intervalle est de 100 pages et on suppose qu'il n'y a aucun lien entre le moment où des fautes d'orthographe se produisent.
3. La variable aléatoire\(X\) = le nombre d'occurrences dans l'intervalle d'intérêt.

Exemple\(\PageIndex{12}\)

Une banque s'attend à recevoir six mauvais chèques par jour, en moyenne. Quelle est la probabilité que la banque reçoive moins de cinq chèques douteux par jour ? Le nombre de chèques que la banque reçoit en une journée est intéressant, de sorte que l'intervalle de temps d'intérêt est d'un jour. Let\(X\) = le nombre de chèques impayés que la banque reçoit en une journée. Si la banque prévoit de recevoir six mauvais chèques par jour, la moyenne est de six chèques par jour. Rédigez un énoncé mathématique pour la question de probabilité.

Réponse

\(P (x < 5)\)

Exemple\(\PageIndex{13}\)

Vous remarquez qu'un journaliste dit « euh », en moyenne, deux fois par émission. Quelle est la probabilité que le journaliste dise « euh » plus de deux fois par émission ?

C'est un problème de Poisson parce que vous aimeriez connaître le nombre de fois que le journaliste dit « euh » pendant une émission.

a. Quel est l'intervalle d'intérêt ?

Réponse

a. une émission mesurée en minutes

b. Quel est le nombre moyen de fois qu'un journaliste dit « euh » au cours d'une émission ?

Réponse

b. 2

c. Soit\(X\) = ____________. Quelles valeurs\(X\) revêtent ?

Réponse

c. Soit le\(X\) nombre de fois que le journaliste dit « euh » au cours d'une émission.
\(x = 0, 1, 2, 3\),...

d. La question de probabilité est\(P\) (______).

Réponse

d.\(P (x > 2)\)

Notation pour le Poisson : P = fonction de distribution de probabilité de Poisson

\(X \sim P (\mu)\)

Lisez ceci comme «\(X\) est une variable aléatoire avec une distribution de Poisson ». Le paramètre est \ (\ mu (ou λ) ; \ mu (ou λ) = la moyenne de l'intervalle d'intérêt. La moyenne est le nombre d'occurrences qui se produisent en moyenne pendant la période d'intervalle.

La formule pour calculer les probabilités issues d'un processus de Poisson est la suivante :

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

où\(P(X)\) est la probabilité de\(X\) succès,\(\mu\) le nombre de succès attendu sur la base des données historiques, e est le logarithme naturel approximativement égal à 2,718, et\(X\) est le nombre de succès par unité, généralement par unité de temps.

Pour utiliser la distribution de Poisson, certaines hypothèses doivent être valables. Il s'agit des suivantes : la probabilité de succès est inchangée dans l'intervalle, il ne peut y avoir de succès simultanés dans l'intervalle, et enfin, que la probabilité de succès entre les intervalles est indépendante, selon la même hypothèse de la distribution binomiale.\(\mu\)

D'une certaine manière, la distribution de Poisson peut être considérée comme un moyen intelligent de convertir une variable aléatoire continue, généralement le temps, en une variable aléatoire discrète en divisant le temps en intervalles indépendants discrets. Cette façon de voir le Poisson nous aide à comprendre pourquoi il peut être utilisé pour estimer la probabilité de la variable aléatoire discrète à partir de la distribution binomiale. Le Poisson demande la probabilité d'un certain nombre de succès sur une période donnée tandis que le binôme demande la probabilité d'un certain nombre de succès pour un certain nombre d'essais.

Exemple\(\PageIndex{14}\)

Le répondeur de Leah reçoit environ six appels téléphoniques entre 8 h et 10 h. Quelle est la probabilité que Leah reçoive plus d'un appel dans les 15 prochaines minutes ?

Soit X le nombre d'appels que Leah reçoit en 15 minutes. (L'intervalle d'intérêt est de 15 minutes ou\(\frac{1}{4}\) heure.)

\(x = 0, 1, 2, 3\),...

Si Leah reçoit, en moyenne, six appels téléphoniques en deux heures, et qu'il y a huit intervalles de 15 minutes en deux heures, alors Leah reçoit

\(\left(\frac{1}{8}\right)\)(6) = 0,75 appel en 15 minutes, en moyenne. Donc, \ mu = 0,75 pour ce problème.

\(X \sim P (0.75)\)

Trouvez\(P (x > 1). P (x > 1) = 0.1734\)

La probabilité que Leah reçoive plus d'un appel téléphonique au cours des 15 prochaines minutes est d'environ 0,1734.

Le graphique de\(X \sim P (0.75)\) est :

Figurine\(\PageIndex{3}\)

L'\(y\)axe -contient la probabilité\(x\) où\(X\) = le nombre d'appels en 15 minutes.

Exemple\(\PageIndex{15}\)

Selon une enquête, un professeur d'université reçoit en moyenne 7 courriels par jour. Soit X le nombre de courriels qu'un professeur reçoit par jour. La variable aléatoire discrète X prend les valeurs x = 0, 1, 2... La variable aléatoire X a une distribution de Poisson : X ~ P (7). La moyenne est de 7 e-mails.

1. Quelle est la probabilité qu'un utilisateur de messagerie reçoive exactement 2 e-mails par jour ?
2. Quelle est la probabilité qu'un utilisateur de messagerie reçoive au maximum 2 e-mails par jour ?
3. Qu'est-ce que l'écart type ?

Réponse

un.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}=\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.022\)

b.\(P(x \leq 2)=\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{-7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.029\)

c. Écart type =\(\sigma=\sqrt{\mu}=\sqrt{7} \approx 2.65\)

Exemple\(\PageIndex{16}\)

Les utilisateurs de SMS reçoivent ou envoient en moyenne 41,5 SMS par jour.

1. Combien de SMS un utilisateur reçoit-il ou envoie-t-il par heure ?
2. Quelle est la probabilité qu'un utilisateur de SMS reçoive ou envoie deux messages par heure ?
3. Quelle est la probabilité qu'un utilisateur de SMS reçoive ou envoie plus de deux messages par heure ?

Réponse

a.Let X = le nombre de textes qu'un utilisateur envoie ou reçoit en une heure. Le nombre moyen de SMS reçus par heure est\(\frac{41.5}{24}\) de 1.7292.

b.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{1.729^{2} e^{-1.729}}{2 !}=0.265\)

c.\(P(x>2)=1-P(x \leq 2)=1-\left[\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}\right]=0.250\)

Exemple\(\PageIndex{17}\)

Le 13 mai 2013, à partir de 16 h 30, la probabilité d'une faible activité sismique au cours des prochaines 48 heures en Alaska a été signalée comme étant d'environ 1,02 %. Utilisez ces informations pour les 200 prochains jours afin de déterminer la probabilité d'une faible activité sismique au cours de dix des 200 prochains jours. Utilisez les lois binomiales et de Poisson pour calculer les probabilités. Sont-ils proches ?

Réponse

Soit X le nombre de jours de faible activité sismique.

En utilisant la distribution binomiale :

\[P\left(x=10\right)=\frac{200 !}{10 !(200-10) !} \times .0102^{10} \times .9898^{190}=0.000039\nonumber\]

En utilisant la distribution de Poisson :

Calculer\(\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04\)

\[P\left(x=10\right)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{2.04^{10} e^{-2.04}}{10 !}=0.000045\nonumber \]

Nous nous attendons à ce que l'approximation soit bonne car elle\(n\) est grande (supérieure à 20) et\(p\) petite (moins de 0,05). Les résultats sont proches : les deux probabilités signalées sont presque nulles.

Estimation de la distribution binomiale avec la distribution de Poisson

Nous avons découvert précédemment que la distribution binomiale fournissait une approximation de la distribution hypergéométrique. Nous trouvons maintenant que la distribution de Poisson peut fournir une approximation pour le binôme. Nous disons que la distribution binomiale se rapproche du Poisson. La distribution binomiale se rapproche de la distribution de Poisson lorsque n augmente et p est petit, de sorte que np devient une valeur constante. Il existe plusieurs règles de base lorsqu'on peut dire qu'ils utiliseront un Poisson pour estimer un binôme. L'un suggère que np, la moyenne du binôme, devrait être inférieure à 25. Un autre auteur suggère qu'il devrait être inférieur à 7. Et un autre, notant que la moyenne et la variance du Poisson sont toutes deux identiques, suggère que np et npq, la moyenne et la variance du binôme, devraient être supérieurs à 5. Il n'existe pas de règle empirique largement acceptée quant à savoir quand on peut utiliser le Poisson pour estimer le binôme.

Au fur et à mesure que nous parcourons ces distributions de probabilité, nous obtenons des distributions plus sophistiquées qui, dans un sens, contiennent les distributions les moins sophistiquées qu'elles contiennent. Cette proposition a été prouvée par des mathématiciens. Cela nous permet d'atteindre le plus haut niveau de sophistication dans la prochaine distribution de probabilité, qui peut être utilisée comme approximation de toutes celles dont nous avons discuté jusqu'à présent. Il s'agit de la distribution normale.

Exemple\(\PageIndex{18}\)

Une enquête menée auprès de 500 personnes âgées de la Price Business School fournit les informations suivantes : 75 % vont directement travailler après l'obtention de leur diplôme. 15 % poursuivent leur MBA. 9 % restent pour obtenir une mineure dans un autre programme. 1 % obtiennent une maîtrise en finance.

Quelle est la probabilité que plus de 2 personnes âgées fassent des études supérieures pour leur master en finance ?

Réponse

Il s'agit clairement d'un problème de distribution de probabilité binomiale. Les choix sont binaires lorsque nous définissons les résultats comme « Graduate School in Finance » par rapport à « toutes les autres options ». La variable aléatoire est discrète et les événements sont, on peut supposer, indépendants. En résolvant un problème binomial, nous avons :

Solution binomiale

\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]

\[P(0)=\frac{500 !}{0 !(500-0) !} 0.01^{0}(1-0.01)^{500^{-0}}=0.00657\nonumber\]

\[P(1)=\frac{500 !}{1 !(500-1) !} 0.01^{1}(1-0.01)^{500}=0.03318\nonumber\]

\[P(2)=\frac{500 !}{2 !(500-2) !} 0.01^{2}(1-0.01)^{500^{2}}=0.08363\nonumber\]

Additionner les 3 ensemble = 0,12339

\[1−0.12339=0.87661\nonumber\]

approximation de Poisson

\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]

\[n \cdot p \cdot(1-p)=500 \cdot 0.01 \cdot(0.99) \approx 5=\sigma^{2}=\mu\nonumber\]

\[P(X)=\frac{e^{-n p}(n p)^{x}}{x !}=\left\{P(0)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{0}}{0 !}\right\}+\left\{P(1)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1 !}\right\}+\left\{P(2)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{2}}{2 !}\right\}\nonumber\]

\[0.0067+0.0337+0.0842=0.1247\nonumber\]

\[1−0.1247=0.8753\nonumber\]

Une approximation décalée de 1 millième est certainement une approximation acceptable.