4.2 : Distribution binomiale

La distribution binomiale est une fonction de densité de probabilité plus intéressante pour de nombreuses applications. Cette distribution calculera les probabilités pour tout processus binomial. Un processus binomial, souvent appelé processus de Bernoulli du nom de la première personne à développer pleinement ses propriétés, est un cas où il n'y a que deux issues possibles dans un même essai, appelées succès et échecs. Il tire son nom du système de numérotation binaire où tous les nombres sont réduits à 1 ou à 0, qui est à la base de la technologie informatique et des enregistrements de musique sur CD.

Formule binomiale

\[b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber\]

où\(b(x)\) est la probabilité de\(X\) succès dans\(n\) les essais lorsque la probabilité de succès dans N'IMPORTE QUEL ESSAI est\(p\). \(q=(1-p)\)Et bien sûr, c'est la probabilité d'un échec dans un procès.

Nous pouvons maintenant comprendre pourquoi la formule combinatoire est également appelée coefficient binomial car elle réapparaît ici encore dans la fonction de probabilité binomiale. Pour que la formule binomiale fonctionne, la probabilité de succès d'un essai doit être la même d'un essai à l'autre, ou en d'autres termes, les résultats de chaque essai doivent être indépendants. Lancer une pièce est un processus binomial, car la probabilité d'obtenir une tête en un seul lancer ne dépend pas de ce qui s'est passé lors des lancers PRÉCÉDENTS. (À ce stade, il convient de noter que l'utilisation du paramètre\(p\) de la distribution binomiale constitue une violation de la règle selon laquelle les paramètres de population sont désignés par des lettres grecques. Dans de nombreux manuels, on utilise\(\theta\) (prononcé thêta) à la place de p et c'est ainsi que cela devrait être.

Tout comme un ensemble de données, une fonction de densité de probabilité possède une moyenne et un écart type qui décrivent l'ensemble de données. Pour la distribution binomiale, elles sont données par les formules :

\[\mu=np\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber\]

Notez que p est le seul paramètre de ces équations. La distribution binomiale est donc considérée comme provenant de la famille des distributions de probabilité à un paramètre. Bref, nous savons tout ce qu'il y a à savoir sur le binôme une fois que nous connaissons p, la probabilité de succès dans un essai.

En théorie des probabilités, dans certaines circonstances, une distribution de probabilité peut être utilisée pour en approximer une autre. Nous disons que l'un est la distribution limite de l'autre. Si un petit nombre doit être tiré d'une grande population, même s'il n'y a pas de remplacement, nous pouvons toujours utiliser le binôme même s'il ne s'agit pas d'un processus binomial. S'il n'y a pas de remplacement, cela viole la règle d'indépendance du binôme. Néanmoins, nous pouvons utiliser le binôme pour approximer une probabilité qui est réellement une distribution hypergéométrique si nous dessinons moins de 10 pour cent de la population, c'est-à-dire que n est inférieur à 10 pour cent de N dans la formule de la fonction hypergéométrique. Cet argument est fondé sur le fait que, lorsqu'on tire un faible pourcentage de la population, on ne modifie pas de façon significative la probabilité de succès d'un tirage à l'autre. Imaginez que vous ne piochez pas dans un jeu de 52 cartes, mais dans 6 jeux de cartes. La probabilité de tirer un as, par exemple, ne change pas la probabilité conditionnelle de ce qui se passe lors d'un deuxième match nul de la même manière qu'elle le ferait s'il n'y avait que 4 as au lieu des 24 as actuellement sur lesquels tirer. Cette capacité à utiliser une distribution de probabilité pour en estimer d'autres nous sera très utile plus tard.

Une expérience binomiale présente trois caractéristiques.

1. Il existe un nombre fixe d'essais. Considérez les essais comme des répétitions d'une expérience. La lettre\(n\) indique le nombre d'essais.
2. La variable aléatoire\(x\), le nombre de succès, est discrète.
3. Il n'y a que deux issues possibles, appelées « réussite » et « échec », pour chaque essai. La lettre\(p\) indique la probabilité de succès d'un essai et\(q\) indique la probabilité d'échec d'un essai en particulier. \(p + q = 1\).
4. Les n essais sont indépendants et sont répétés dans des conditions identiques. Considérez cela comme un dessin AVEC remplacement. Les n essais étant indépendants, le résultat d'un essai ne permet pas de prédire l'issue d'un autre essai. Une autre façon de le dire est que pour chaque essai individuel\(p\), la probabilité d'un succès et la probabilité d'un échec restent les mêmes.\(q\) Par exemple, deviner de façon aléatoire une question statistique « vrai » ou « faux » ne donne que deux résultats. Si un succès est deviné correctement, alors un échec est une estimation incorrecte. Supposons que Joe devine toujours correctement sur toute question statistique true-faux avec une probabilité\(p = 0.6\). Ensuite,\(q = 0.4\). Cela signifie que pour chaque question statistique vraie ou fausse à laquelle Joe répond, sa probabilité de succès (\(p = 0.6\)) et sa probabilité d'échec (\(q = 0.4\)) restent les mêmes.

Les résultats d'une expérience binomiale correspondent à une distribution de probabilité binomiale. La variable aléatoire\(X\) = le nombre de succès obtenus dans les essais\(n\) indépendants.

La moyenne et\(\mu\) la variance de la distribution de probabilité binomiale sont\(\mu = np\) et\(\sigma^2 = npq\).\(\sigma^2\) L'écart type,\(\sigma\), est alors \ sigma =\(\sqrt{n p q}\).

Toute expérience qui possède les caractéristiques trois et quatre et qui\(n = 1\) est appelée procès Bernoulli (du nom de Jacob Bernoulli qui, à la fin des années 1600, les a étudiés de manière approfondie). Une expérience binomiale a lieu lorsque le nombre de succès est compté dans un ou plusieurs essais de Bernoulli.

Exemple\(\PageIndex{2}\)

Supposons que vous jouiez à un jeu que vous ne pouvez que gagner ou perdre. La probabilité que vous gagniez une partie est de 55 % et la probabilité de perdre est de 45 %. Chaque jeu auquel vous jouez est indépendant. Si vous jouez au jeu 20 fois, écrivez la fonction qui décrit la probabilité que vous gagniez 15 des 20 fois. Ici, si vous le définissez\(X\) comme le nombre de victoires,\(X\) prend les valeurs 0, 1, 2, 3,..., 20. La probabilité de succès est de\(p = 0.55\). La probabilité d'un échec est de\(q = 0.45\). Le nombre d'essais est de\(n = 20\). La question de probabilité peut être formulée mathématiquement comme suit :\(P(x = 15)\)

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Un entraîneur apprend à un dauphin à faire des tours. La probabilité que le dauphin réussisse le tour est de 35 % et la probabilité que le dauphin n'exécute pas le tour avec succès est de 65 %. Sur 20 tentatives, vous voulez déterminer la probabilité que le dauphin réussisse 12 fois. Trouvez\(P(X=12)\) le PDF binomial

Exemple\(\PageIndex{3}\)

Une pièce équitable est retournée 15 fois. Chaque flip est indépendant. Quelle est la probabilité d'obtenir plus de dix têtes ? Soit\(X\) le nombre de têtes sur 15 tours d'une pièce équitable. \(X\)prend les valeurs 0, 1, 2, 3,..., 15. Puisque la pièce est juste,\(p = 0.5\) et\(q = 0.5\). Le nombre d'essais est de\(n = 15\). Énoncez mathématiquement la question de probabilité.

Réponse

\(P (x > 10)\)

Exemple\(\PageIndex{4}\)

Environ 70 % des étudiants en statistique font leurs devoirs à temps pour que les données soient collectées et notées. Chaque élève fait ses devoirs de manière indépendante. Dans une classe de statistiques de 50 élèves, quelle est la probabilité qu'au moins 40 d'entre eux fassent leurs devoirs à temps ? Les étudiants sont sélectionnés au hasard.

a. Il s'agit d'un problème binomial car il n'y a qu'un succès ou un __________, qu'il y a un nombre fixe d'essais et que la probabilité de succès est de 0,70 pour chaque essai.

Réponse

a. échec

b. Si nous nous intéressons au nombre d'élèves qui font leurs devoirs à temps, comment le définissons-nous\(X\) ?

Réponse

b.\(X\) = le nombre d'étudiants en statistique qui font leurs devoirs à temps

c. Quelles valeurs\(x\) revêtent ?

Réponse

c. 0, 1, 2,..., 50

d. Qu'est-ce qu'un « échec », en d'autres termes ?

Réponse

d. L'échec est défini comme un étudiant qui ne termine pas ses devoirs à temps.

La probabilité de succès est de\(p = 0.70\). Le nombre d'essais est de\(n = 50\).

e. Si\(p + q = 1\), alors c'est quoi\(q\) ?

Réponse

e.\(q = 0.30\)

f. Les mots « au moins » se traduisent par le type d'inégalité pour la question de probabilité\(P(x\) ____ (40).

Réponse

f. supérieur ou égal à (\(\geq\))
La question de probabilité est\(P(x \geq 40)\).

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Soixante-cinq pour cent des personnes réussissent l'examen de conduite de l'État du premier coup. Un groupe de 50 personnes ayant passé l'examen de conduite est sélectionné au hasard. Donnez deux raisons pour lesquelles il s'agit d'un problème binomial

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Au cours de la saison régulière 2013 de la NBA, DeAndre Jordan des Los Angeles Clippers a enregistré le taux de buts le plus élevé de la ligue. DeAndre a marqué avec 61,3 % de ses tirs. Supposons que vous choisissiez un échantillon aléatoire de 80 clichés réalisés par DeAndre au cours de la saison 2013. Soit\(X\) le nombre de tirs qui ont marqué des points.

1. À quoi sert la distribution de probabilité\(X\) ?
2. À l'aide des formules, calculez (i) la moyenne et (ii) l'écart type de\(X\).
3. Déterminez la probabilité que DeAndre ait marqué avec 60 de ces tirs.
4. Déterminez la probabilité que DeAndre ait marqué avec plus de 50 de ces tirs.