4.1 : Distribution hypergéométrique

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La fonction de densité de probabilité la plus simple est l'hypergéométrique. C'est la plus élémentaire car elle est créée en combinant nos connaissances des probabilités issues des diagrammes de Venn, des règles d'addition et de multiplication et de la formule de comptage combinatoire.

Pour trouver le nombre de manières d'obtenir 2 as sur les quatre du deck, nous avons calculé :

\[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

Et si nous ne nous souciions pas de ce que nous avions d'autre en main pour les trois autres cartes, nous calculerions :

\[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

Ensemble, nous pouvons calculer la probabilité d'obtenir exactement deux as dans une main de poker à 5 cartes comme suit :

\[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

Cette solution n'est en fait que la distribution de probabilité connue sous le nom d'hypergéométrique. La formule généralisée est la suivante :

\[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

où\(x\) = le nombre qui nous intéresse provenant du groupe avec des objets A.

\(h(x)\)est la probabilité de\(x\) succès, en n tentatives, lorsque les succès A (les as dans ce cas) se situent dans une population contenant N éléments. La distribution hypergéométrique est un exemple de distribution de probabilité discrète car il n'y a aucune possibilité de succès partiel, c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir de mains de poker avec 2 as et demi. Autrement dit, une variable aléatoire discrète doit être un nombre entier ou décroissant uniquement. Cette distribution de probabilité fonctionne dans les cas où la probabilité de succès change à chaque tirage. Une autre façon de le dire est que les événements ne sont PAS indépendants. En utilisant un jeu de cartes, nous échantillonnons SANS le remplacer. Si nous remettons chaque carte après qu'elle ait été tirée, la distribution hypergéométrique serait un PDF inapproprié.

Pour que l'hypergéométrique fonctionne,

la population doit être divisible en deux et seulement deux sous-ensembles indépendants (as et non-as dans notre exemple). La variable aléatoire\(X\) = le nombre d'éléments du groupe d'intérêt.
l'expérience doit avoir des probabilités de succès variables à chaque expérience (le fait que les cartes ne soient pas remplacées après le tirage au sort dans notre exemple montre que c'est vrai dans ce cas). Une autre façon de dire cela est que vous échantillonnez sans remplacement et que, par conséquent, chaque prélèvement n'est pas indépendant.
la variable aléatoire doit être discrète plutôt que continue.

Exemple\(\PageIndex{1}\)

Un plat à bonbons contient 30 bonbons à la gelée et 20 bonbons. Dix bonbons sont sélectionnés au hasard. Quelle est la probabilité que 5 des 10 soient des gommes ? Les deux groupes sont les bonbons à la gelée et les gommes. Puisque la question de probabilité demande la probabilité de cueillir des gommes, le groupe d'intérêt (premier groupe A de la formule) est constitué de gouttes de gomme. La taille du groupe d'intérêt (premier groupe) est de 30 personnes. La taille du deuxième groupe est de 20 personnes. La taille de l'échantillon est de 10 (bonbons à la gelée ou gouttes de gomme). Soit\(X\) le nombre de gouttes de gomme dans un échantillon de 10. \(X\)prend en compte les valeurs\(x = 0, 1, 2, ..., 10\). a. Quel est l'énoncé de probabilité écrit mathématiquement ? b. Quelle est la fonction de densité de probabilité hypergéométrique écrite pour résoudre ce problème ? c. Quelle est la réponse à la question « Quelle est la probabilité de prélever 5 gouttes de gomme sur 10 pics dans le plat ? »

Réponse: a.\(P(x=5)\)
b.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
c.\(P(x=5)=0.215\)

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Un sac contient des carreaux à lettres. Quarante-quatre des tuiles sont des voyelles et 56 des consonnes. Sept tuiles sont sélectionnées au hasard. Vous voulez connaître la probabilité que quatre des sept tuiles soient des voyelles. Quel est le groupe d'intérêt, la taille du groupe d'intérêt et la taille de l'échantillon ?