2.5 : Moyenne géométrique

La moyenne (arithmétique), la médiane et le mode sont tous des mesures du « centre » des données, la « moyenne ». Ils essaient tous à leur manière de mesurer le point « commun » des données, ce qui est « normal ». Dans le cas de la moyenne arithmétique, cela est résolu en déterminant la valeur à partir de laquelle tous les points sont des distances linéaires égales. Nous pouvons imaginer que toutes les valeurs de données sont combinées par addition, puis redistribuées à chaque point de données en quantités égales. La somme de toutes les valeurs est ce qui est redistribué en quantités égales de telle sorte que la somme totale reste la même.

La moyenne géométrique ne redistribue pas la somme des valeurs mais le produit de la multiplication de toutes les valeurs individuelles, puis de leur redistribution en portions égales de telle sorte que le produit total reste le même. Cela se voit dans la formule de la moyenne géométrique\(\tilde{x}\) : (Prononcé\(x\) -tilde)

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

où se\(\pi\) trouve un autre opérateur mathématique, qui nous indique de multiplier tous les\(x_{i}\) nombres de la même manière que le sigma grec majuscule nous dit d'additionner tous les\(x_{i}\) nombres. N'oubliez pas qu'un exposant fractionnaire appelle la racine nième du nombre, donc un exposant de 1/3 est la racine cubique du nombre.

La moyenne géométrique répond à la question suivante : « Si toutes les quantités avaient la même valeur, quelle devrait être cette valeur pour obtenir le même produit ? » La moyenne géométrique tire son nom du fait que, lorsqu'elle est redistribuée de cette manière, les côtés forment une forme géométrique dont tous les côtés ont la même longueur. Pour le voir, prenons l'exemple des nombres 10, 51,2 et 8. La moyenne géométrique est le produit de la multiplication de ces trois nombres ensemble (4 096) et de la prise de la racine cubique, car ce produit doit être réparti entre trois nombres. La moyenne géométrique de ces trois nombres est donc de 16. Cela décrit un cube de 16 x 16 x 16 et a un volume de 4 096 unités.

La moyenne géométrique est pertinente en économie et en finance pour gérer la croissance : croissance des marchés, des investissements, de la population et autres variables, croissance qui suscite un intérêt. Imaginez que notre boîte de 4 096 unités (peut-être en dollars) représente la valeur d'un investissement après trois ans et que les rendements des investissements en pourcentage soient les trois chiffres de notre exemple. La moyenne géométrique nous donnera la réponse à la question suivante : quel est le taux de rendement moyen : 16 %. La moyenne arithmétique de ces trois nombres est de 23,6 %. Cette différence, 16 contre 23,6, s'explique par le fait que la moyenne arithmétique est additive et ne tient donc pas compte de l'intérêt sur l'intérêt, l'intérêt composé, intégré au processus de croissance de l'investissement. Le même problème se pose lorsque l'on demande le taux moyen de croissance d'une population ou des ventes ou de pénétration du marché, etc., en connaissant les taux de croissance annuels. La formule du taux de rendement moyen géométrique, ou de tout autre taux de croissance, est la suivante :

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

La manipulation de la formule de la moyenne géométrique peut également fournir un calcul du taux de croissance moyen entre deux périodes en ne connaissant que la valeur initiale a0a0 et la valeur finale anan et le nombre de périodes, nn. La formule suivante fournit ces informations :

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

Enfin, nous notons que la formule de la moyenne géométrique exige que tous les nombres soient positifs, supérieurs à zéro. La raison, bien entendu, est que la racine d'un nombre négatif n'est pas définie pour une utilisation en dehors de la théorie mathématique. Il existe cependant des moyens d'éviter ce problème. Dans le cas des taux de rendement et d'autres problèmes de croissance simples, nous pouvons convertir les valeurs négatives en valeurs équivalentes positives significatives. Imaginez que les rendements annuels des trois dernières années soient de +12 %, -8 % et +2 %. L'utilisation des équivalents multiplicateurs décimaux de 1,12, 0,92 et 1,02 nous permet de calculer une moyenne géométrique de 1,0167. En soustrayant 1 de cette valeur, on obtient la moyenne géométrique de +1,67 % en tant que taux net de croissance démographique (ou rendement financier). À partir de cet exemple, nous pouvons voir que la moyenne géométrique nous fournit cette formule pour calculer le taux de rendement géométrique (moyen) pour une série de taux de rendement annuels :

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

où\(r_{s}\) est le taux de rendement moyen et\(\tilde{x}\) la moyenne géométrique des rendements sur un certain nombre de périodes. Notez que la durée de chaque période doit être la même.

En règle générale, il convient de convertir les valeurs en pourcentage en leur multiplicateur d'équivalent décimal. Il est important de reconnaître que lorsqu'il s'agit de pourcentages, la moyenne géométrique des valeurs en pourcentage n'est pas égale à la moyenne géométrique des équivalents multiplicateurs décimaux et que c'est la moyenne géométrique équivalente à un multiplicateur décimal qui est pertinente.